Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

щей) силы f(t) груз отклонялся бы на одно и то лее наибольшее расстояние вверх н вниз от пололеения рав­

новесия; это наибольшее отклонение груза

называют

амплитудой собственного

колебания

груза.

 

При наличии внешней

силы f(t)

— ~s'm

at откло­

нение груза от положения равновесия определяется вы­

ражением

(65),

содержащим

слагаемое

—tcosot.

С течением

времени

t

функция

cos at колеблется между

значениями

—1

и

+1,

а

множитель

t непрерывно

возрастает.

При

значениях

cosco/ = ±l абсолютная ве­

личина слагаемого — t cos at будет принимать значе­ ния -^- t, т. е. с возрастанием t будет возрастать и ам­

плитуда колебания груза около положения равновесия. В рассмотренном примере период собственных коле­

баний груза совпадает

с периодом изменения возбуж­

дающей силы, что влечет за собой совпадения

частот

собственных

колебаний

груза и

возбуледающей

силы.

Этот случай

носит наименование

резонанса. Как

мы от­

метили, резонанс вызывает увеличение амплитуды ко­ лебания груза.

Ясно, что увеличение размахов колебания может по­ влечь за собой поломку пружины.

Мы рассмотрели явление резонанса применительно к простейшей идеализированной схеме колебательного движения. В более осложненном виде это явление на­ блюдается и на практике. Наличие резонанса вызывает деформацию деталей различного рода конструкций и может привести даже к их поломке. Поэтому в инже­ нерных расчетах учитывается возможность возникнове­

ния

резонанса,

и

конструкторы

соответствующим

обра­

зом строят свои проекты.

 

 

 

 

У П Р А Ж Н Е Н И Я

 

 

 

 

 

 

 

У р а в н е н и я с р а з д е л я ю щ и м и с я

п е р е м е н н ы м и

Проинтегрировать следующие уравнения:

 

 

 

1 .

у dx

— xdy

=

0.

 

Отв.

у =

сх.

 

2.

(1 +

у) dx-(l—

x) dy

= 0.

Отв.

(1 +

у) (1 - х)

= с.

3.

(\+x)ydx+(\-y)xdy

 

= 0.

 

 

 

 

Отв. In j ху

I +

x — у =

с.

 

 

 

 

422

4. (x2-yx2) -g-+ ^ - 1 - ^ = 0.

0 Т В . А ± Л + 1 П

JL

xy

x

5.

x2

dy

+

(y

— a) d.v = 0.

 

 

 

Ors.

y

— a

—

ce

 

 

Найти частные решения (интегралы), удовлетворяющие началь­

ным условиям, указанным в примерах:

 

1.

 

 

 

 

 

6.

(1 + у2) dx -Vxdy = 0; у (0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

Г'—

 

 

 

зх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.

2 У x — arc tg у + —

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

7-

I / '

+

У tg л =

0;

г/ (0) =

2.

 

 

Ore.

# = 2 cos je.

 

 

8.

cos

x sin у

dy

— cos

г/ sin

л;rf.v=

0;

 

я \

 

я

 

 

 

у у ^ j —

^

 

 

 

Отв. cos

у =

 

cos Л:.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Найти

уравнение

кривой,

угловой коэффициент касатель-:

ной в любой точке которой равен Зх—

2.

 

 

 

 

 

 

 

Ога. у = ^ х 2

— 2х+

 

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Найти

уравнение

кривой,

проходящей

через

точку

(0,3),

если известно, что угловой коэффициент касательной

в любой

ее

точке равен х2 +

5х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. y=±-x3

+

-jX2

 

+ 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

Найти

уравнение

кривой,

проходящей

через

точку

(1; 1),

если известно, что угловой коэффициент касательной

в любой

ее

точке пропорционален квадрату ординаты точки.

 

 

 

 

 

Отв.

k(x—1)і/

— у +

1 =

0, где

k — коэффициент

пропорцио­

нальности.

 

 

 

 

при t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t,

Полагая,

что

s = 0

=

0,

найти

соотношение

между

s и

зная, что скорость ѵ равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Постоянной величине ѵа.

 

Отв. s = v<>t.

 

 

 

 

13.

m +

kt.

 

 

 

 

 

 

Отв. s =

mt

+ у ^ 2 .

 

 

14.

3 +

2t

— 3t2.

 

 

 

 

 

Отв. s = 3t + t2 —

t\

 

 

15.

Скорость

тела,

выходящего

из

состояния

покоя,

равна

Ы2 м/с по истечении t с. Определить: 1) как далеко будет оно от­ стоять от точки отправления спустя 3 с; 2) во сколько времени пройдет оно 360 м, считая от точки отправления?

ОГО. 1) 45 м; 2) 6 с.

 

 

 

 

 

16. Найти закон движения тела, движущегося

 

со

скоростью,

пропорциональной пройденному пути, если известно,

что за

10 с

тело проходит 100 м и за 15 с проходит 200 м.

 

 

 

 

Ors.

s =

25 - (2)' / 5 .

 

 

 

 

 

17. Температура

воздуха 15° С.

Известно, что

за

30

мин

тело

охлаждается

от 90°

до 40° С. Какова

будет температура

тела

через

час после

первоначального измерения?

 

 

 

 

Ors.

23Ѵз°С.

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е . Способ решения, как в примере 3 §

109.

 

 

423

18. Активность "некоторого радиоактивного разложения пропор­ циональна скорости своего уменьшения. Наііти зависимость этой активности от времени, если известно, что в течение 4 дней она

уменьшилась

вдвое.

 

 

 

 

 

in 2

 

 

 

 

Ors. R = R0e 4 .

 

 

 

19. В резервуаре

находится 100 л рассола,

содержащего

10 кг

растворенной

соли. Вода вливается в резервуар

со

скоростью 3 л

в минуту и

вытекает

из него со скоростью 2 л

в

минуту,

причем

концентрация поддерживается равномерной посредством перемеши­

вания.

Сколько

соли

будет

содержаться в смеси

по

истечении

1 часа?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. 3,9 кг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О д н о р о д н ы е

у р а в н е н и я

 

 

Проинтегрировать

уравнения:

 

 

 

 

20.

(x + у) dx + x dy = 0.

 

Отв. х2 + 2ху =

С.

21.

(.V2 +

у2)

dx — 2ху dy =

0.

Отв. х2

— у2

=

Сх.

22.

[хуе х

+ x2} dy — у2е х

dx =

0. Отв. е х

+ In | у | = С.

23.

х3у' =

у (у2 +

x2).

 

Отв. x =

Ce

W.

24. ^х — у cos—j dx + x cos-^- dy = 0.

Ore. In j x | + sin = C. x

Найти частные интегралы уравнений, удовлетворяющие указан­ ным в примерах начальным условиям:

25.

(2Vst

- s) di + t ds = 0; s ( l ) =

4.

 

Отв. ter

'

= e*

26.

(x — y) dx + x dy = 0;

г/ ( U = 0.

 

 

Отв. xe x

=

1.

Л и н е й н ы е у р а в н е н и я п е р в о г о

п о р я д к а

Найти общие решения

уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

Ore.

^у — ^ « £ ± 1 .

Or*. „ =

С * « +

 

"

 

 

27.

dx

*

x

"

а

 

 

 

*

 

1

1 -

 

 

 

28.

ж (1 -

x2) dy + (2х2—

1) t/ dx = ал 2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

= ах 2 + сх У і — x 2 .

 

 

 

^

 

 

 

29.

y'-ay

= e b x .

 

 

Отв. у = Сеах

+

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о — a

 

30.

—• у clg x — ctg x.

Отв. у =

С sin x — 1.

 

 

31.

x 2 - ^ - — 2*0 =

3.

 

Ore.

j / =

C x 2 - — .

 

 

424

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие

началь­

ным условиям,

указанным

в примерах:

-

 

 

 

 

32

 

 

( л с + ) ) 3 ;

 

( 1 ) = 4

 

 

 

 

Отв. у =

 

±-(х+\У-{х+\)\

 

 

 

 

 

 

- » ' - т + т "

 

 

^

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83.•--JJ- cos

t + s sin t =

1; s (0) = J.

Ore.

s =

sin / +

cos /.

34. Найти-уравнение

кривой,

проходящей

через

точку

(1,—2)

и обладающей

тем свойством, что начальная ордината касательной,

проведенной в

любой точке М(х\у)

кривой, на

2 единицы

меньше

абсциссы точки

касания.

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. у = —x In x — 2.

35. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;3) и обладающей тем свойством, что площадь прямоугольника, построен­ ного на абсциссе х произвольной точки M(x; у) кривой (х > 0) и начальной ординате касательной, проведенной к кривой в точке М,

равна 6 кв. един. 3

Отв. у =—.

Л и н е й н ы е у р а в н е н и я в т о р о г о

п о р я д к а

сп о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и

Решить следующие уравнения:

36.

у"

+ 3у'

-4у =

0.

Отв. у = С1ех +

С2е~іх.

37.

у"

— 2у'

- 5у =

0.

 

 

Отв.

у =

СѴ<'

х

+

С#Ь

38.

у"

-9у

=

0.

 

 

39.

у"

— у=

0.

 

 

40.

4у"

— \2у'

+ 9у =

0.

41.

у"+2Ѵ2у'

+ 2у =

0.

42.

у"

-

2г/' +

50</ =

0.

 

Отв. у — ех

(Ci cos 7х +

С 2 sin

43.

у"

— 4у'

+

7у = 0._

 

Отв.

г/ =

е2 д с

(С, cos Уз

 

х+С2

44.у" + 25у = 0.

45.у" + б / = 0.

~ѴГ>

7х).

sin

х.

 

 

 

 

Отв. у =

С,е 3 * +

С2е~3х.

Отв. t, =

С,е* +

С2е~х.

 

Отв. у =

(С, +

С2х)

е2

*

Отв. у =

(С, +

С2х)

 

е - / Г Ч

_

 

 

 

 

/ з х).

 

 

 

 

Отв. у =

Ci cos 5х + С 2

sin 5*

Отв. у =

С, +

C2 e-6 j c .

 

ore.

«/ =

0 ^

+ 0

^ +

- ^ ! .

47.

у" +

б /

+ 5у =

в2*.-

Отв. у = С , в _ * + С 2 е ~ 5 * +

425

 

d2ii

.

dy

 

„

 

„

,

„

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв. y =

Clex

+ C2e~2x

—

(6 sin 2л; +

2 cos 2л:).

 

 

 

49.

у"

— у = Ъх +

2.

 

 

Ore. ff =

Cjex +

С2е~х

-

5л; -

2

50.

у" - б!/' +

9г/ =

2х 2 -

 

л: +

3.

 

 

 

 

 

 

 

Ore. г/ =

(С, 4- С2л:) е3х

+

 

- | л-2

+ ~

x

+

 

 

 

 

 

51.

у" +

9</ =

18-ѵ3

+

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ore. ^ =

Ci cos З.ѵ +

C2 sin Зх +

2x3 -

~

x +

 

.

 

 

 

52.

y"

-

5 /

+

6ff =

З е Ч

 

 

Ore.

г/ =

Cie3x

 

+ (С, -

Зх) <?Ч

53.

ff"

-

4ff' + Ay =

З е Ч

 

 

Отв. у =

( С, +

С 2 х +

- |

х 2 )

е Ч

54.

ff"

+

9ff =

(43 +

ІОх -

26л:2 ) еЧ

 

 

 

е Ч

 

 

 

Ore. ff =

С, cos Зх +

С2

sin Зх' + (З +

2х — 2х2)

 

 

 

 

55.

ff"

+

6ff' +

lOff =

9 cos x + 27 sin x.

 

 

 

 

 

 

Отв. ff =

e~3x

 

( d

cos x +

C2 sin x) — - ~

cos x +

sin x.

 

 

56.

ff"

— 6ff' +

9ff

=

2 sin 2x.

 

10 sin 2x

 

 

 

 

 

^

 

 

ir>

,

^

\

3v

I

24 cos 2x +

.

 

 

 

 

Ore. (/ =

(C, +

C2 x) eJ V

H

 

 

^

 

 

 

 

 

 

57. ff" +

9ff =

3cos3x +

6sin3x.

 

 

 

 

 

 

 

Отв. ff =

(Cj — x) cos 3x +

 

(c2 + y xj sin 3x.

 

 

 

 

 

58. ff';

+

9ff

=

3 cos Зх.

 

Отв. у = С, cos Зх +

 

(c2 + -i- x ) sin 3x.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие началь­ ным условиям, указанным в примерах:

\ 59.

ff"

+

3//' +

2ff = 0;

у ( -

In 2) = 1,

у' ( -

In 2) =

3.

Ore. ff = -|- e -

x — е ~ Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

60.

ff"+

10ff' +

25ff =

0;

ff

(i) = <?- 5 ,

ff'

(1) =

3 e - 5 .

 

Ore.

ff=(-7

+ 8 x ) e _ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

61.

y"

+

2ff' +

5ff = 0;

ff

(0) =

1, ff' (0) =

3.

 

 

 

Отв. у =

e * (cos 2x +

2 sin 2x).

 

 

 

 

 

62.

ff"

+

2ff =

3 c o s x / 2 ;

y(nY2)=\,

 

у'

(л

VÏÏ)

= — я / " 2 .

Ore. ff =

cos x J^2 + (2 y y

—J t j sin x

V2.

 

 

 

63.

ff"

+

16ff =

 

sin 4x;

ff

(0) =

1, ff' (0)

 

 

 

 

 

Отв. ff = — sin 4x + ( 1 —^-j cos 4x.

 

 

 

 

 

64. Материальная точка массы m притягивается каждым из двух центров притяжения с силой, пропорциональной расстоянию точки от центров притяжения. Множитель пропорциональности равен k.

426

Смотрите также файлы