Файл: Куликов, К. А. Курс сферической астрономии учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
36 |
ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ |
[ГЛ. II |
считаются малыми, и для их решения применяют формулы
плоской тригонометрии, например,
V| |
а __ |
Ъ |
с |
! • |
s in A |
s in В |
s in С ’ |
j ' |
а2 = |
Ъ2+ |
с2 — 2be cos А. |
§ 11. Дифференциальные формулы сферической тригонометрии
Можно привести дифференциальные формулы сфери ческой тригонометрии, которыми иногда пользуются в некоторых разделах сферической астрономии. Дифферен цируя первую формулу группы (1), получаем
cos a sin В da + sin a cos В dB =
= sin A cos b db + sin b cos A d A .
Разделив полученное выражение на первую формулу группы (1), будем иметь.
ctg a da + ctg В dB — ctg b db + ctg A dA .
Дифференцируя первую формулу группы (2), получим
—sin a da = (— sin b cos c |
+ cos b sin c cos A)db + |
|
+ |
(— cos b sin c + |
sin b cos c cos A)dc — |
|
|
— sin b sin csin A dA. |
__ |
|
j |
Всилу первой формулы группы (4) коэффициенты при db
иdc равны соответственно —sin a cos С и —sin a cos В;
следовательно, можно написать
— sin я da = |
(— sin a cos C)db + (—sin a cos B)dc — |
|
— sin b sin c sin A dA . |
t . |
: ' |
Заменив в последнем члене sin с sin А равным ему выраже нием sin a sin С и сократив все члены на sin а, получим
da = cos С db + cos В dc + sin b sin C dA.
Взяв взаимно полярный треугольник к треугольнику АВС и заменив в полученной формуле стороны а, b и с допол
нениями противолежащих углов до 180°, а углы А , |
В и |
|
С — дополнениями противолежащих сторон до 180°, |
по |
|
лучим v |
‘ ’ |
|
dA = |
—cos с dB — cos b dC -f- sin В sin c da. |
|
§ |
12] |
ПЕРЕВОД |
СИСТЕМ КООРДИНАТ |
|
37 |
|||
|
Продифференцировав третью формулу группы (6), |
|||||||
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
— cosec2 В sin A dB + |
(cos A ctg В — sin A cos c)dA + |
|||||||
+ |
cosec2 b sin c db — (ctg b cos c + |
sin c cos A)dc = 0. |
(16) |
|||||
Из формул синусов (1) |
можно получить: |
|
|
|||||
|
sin A cosec2 В = |
s in |
а |
|
9 7 |
s in C |
|
|
|
b s in В |
sin c cosec*5b = |
——?—:— ъ |
|
||||
|
|
s in |
’ |
|
s in b s in В |
|
||
Формулы косинуса стороны (2) и косинуса угла (3) можно переписать так:
ctg b cos с + |
sin с cos А — |
ctg В cos А |
cos с sin А = |
cos Ъ cos с 4 - s in b s in с cos А |
cos |
а |
|
s in Ъ |
s in |
b |
’ |
cos A cos В — s in A s in В cos с |
cos С |
||
s in В |
s in |
В * |
|
Сделав соответствующие подстановки в (16) и умножив все члены на sin b sin В , получим
sin а dB = sin С db — cos a sin В dc — sin b cos C dA .
Соединив все выведенные формулы вместе, получим сле дующую группу дифференциальных формул:
ctg a da + ctgB dB = ctg bdb + ctg A dA , |
(a) |
|
da = |
cos C db + cos В dc + sin b sinC dA, |
(b) |
dA = |
—cos c dB — cos bdC + sin В sin c da, |
(c) |
sin a dB = sin C db — cos a sin В dc — sin b cosC dA. |
(d) |
|
|
|
(17) |
Для прямоугольного треугольника будут справедли вы следующие выражения:
tg a da |
= |
tg b db + |
tg c dc, |
|
tg B dB |
= |
tg b db — ctg C dC, |
, |
|
ctg b db — ctg a da + |
ctg В dB, |
|
||
da = |
cos C db + |
cos В dc. |
|
|
§12. Параллактический треугольник. Перевод систем координат
Сферический треугольник, у которого вершинами яв* ляются: зенит места наблюдения, полюс мира и светило,
называется параллактическим треугольником (рис. 16),
38 |
ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ |
[ГЛ. II |
В параллактическом треугольнике одна сторона — дуга небесного меридиана между полюсом Р п и зенитом Z —
равна 90° — ф, где ф — широта места наблюдения. Другая сторона — полярное расстояние светила С, равна 90° — 6, и третья
равна зенитному расстоянию све тила z. Если светило находится к
западу от небесного меридиана, то угол при полюсе есть часовой угол светила t, угол при зените 180°—А .
Если светило находится к востоку от небесного меридиана, то угол при полюсе будет 360° — t, а угол нрн зените А — 180°. Угол q при светиле называется параллактиче ским углом. Возьмем из трех ос
новных групп формул сферической тригонометрии (1), (2) и (4) по одной. Применив их к параллактическому тре угольнику, найдем
a) sin z sin А |
= |
cos б sin t, |
|
b) cos z = sin 6 sin ф + cos 6 cos ф cos t , |
(19) |
||
c) sin z cos A |
= |
— sin 6 cos ф + cos 6 sin ф cos t. |
|
Эти формулы связывают горизонтальную систему координат с первой экваториальной. Таким образом, при известной широте места наблюдения ф, зная часовой угол и склонение светила, можно вычислить его зенитное рас стояние и азимут. Точно так же по известному зенитно му расстоянию и азимуту светила можно вычислить его часовой угол и склонение; формулы (19) для этого случая будут иметь другой вид, а именно:
a) |
cos б sin t |
= |
sin z sin A , |
b) |
cos 6 cos t |
= |
cos z cos ф + sin zsin ф cos A , |
c) |
sin 6 = sin ф cos z — cos ф sin z cos A . |
||
В § 14 будет показано, что часовой угол светила равен звездному времени минус прямое восхождение этого све тила, т. е,
t = s — а.
§ 13] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОПРАВОК ШИРОТЫ и долготы 39
Поэтому формулы (19) |
можно написать в таком виде: |
|
a) cosh sin А = cos б sin (5 — а), |
||
b) |
sinh — sin 6 sin ф + |
cos 6 cos ф cos (s — a), |
c) |
cos h cos A — — sin 6 cos ф + cos 6 sin ф cos (5 —a),- |
|
|
|
( 21) |
где s — звездное время в момент наблюдения. Эти" фор
мулы связывают горизонтальную систему координат со второй экваториальной и дают возможность по извест ным ф, s, а и б вычислить Л и А .
Точно так же можно получить формулы, связывающие вторую экваториальную систему с эклиптической; они имеют следующий вид:
a) cos р cos I — cos б cos a,
b) sin p = cos e sin 6 — sin e cos 6 sin a, |
(22) |
c) cos p sin l — sin e sin 6 + cos 8 cos 6 sin a.
Из наблюдений получают координаты светила в ка кой-нибудь одной системе, а затем, если необходимо, вы числяют координаты этого светила в любой другой систе ме. В дальнейшем, преследуя цель дать необходимый ми нимум сведений по сферической астрономии, который был бы вполне достаточным как для проработки всех дру гих астрономических предметов, так и для практической деятельности, мы будем рассматривать вопросы приме нительно ко второй экваториальной системе координат, так как переход к другим системам не имеет принципи альных трудностей.
§ 13. Вычисление поправок широты и долготы места наблюдения за движение полюсов Земли
Обозначим через Рт средний полюс, а через Р — мгно
венный полюс Земли. Возьмем на поверхности Земли точ ку М . Построим прямоугольную систему координат #, у с началом в точке Р т. Направим ось х по меридиану, проходящему через Гринвичскую обсерваторию G, а ось у к западу от него (рис. 17); расстояние между мгновен ным полюсом Р и средним Р т обозначим через г и угол между направлениями х и г через о . Тогда из узкого