Файл: Куликов, К. А. Курс сферической астрономии учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
§ 9] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 31
будет построен последовательно в плоскостях ОВС и
ОАС.
Перегруппировав члены в формулах (1), получим, что
во всяком сферическом треугольнике отношения синусов сторон равны отношениям синусов противолежащих им углов. Иногда эти формулы называются формулами си
нусов. |
равенство: |
|
Напишем очевидное |
|
|
ОК |
ОМ + М К . |
|
Выразим отрезки ОК , |
ОМ и М К через тригонометри |
|
ческие функции углов |
и сторон треугольников |
АКОС, |
A MOD, A DOC, A NDE и A ECD, а именно: |
|
|
OK = R cos а, |
|
|
ОМ = OD cos с = R cos 6 cos с, |
|
|
MX = N E = ED sin c = CD cos A sin c = |
|
|
|
= X sink sine |
cos И. |
Подставив полученные произведения вместо OK, ОМ
и MX, получим первую формулу группы (2):
cos а = |
cosЬ cos с + |
sin Ъ sin сcos А , |
cos Ь = |
cosс cos а + |
sin с sin a cos X, |
cos с = |
cosa cos Ъ + |
sin a sin bcos С. , |
Вторая и третья строки выводятся аналогично первой.
Иначе говоря, во всяком сферическом треугольнике коси нус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих же сторон, ум ноженное на косинус угла между ними. Иногда эти форму лы называются формулами косинусов сторон.
Если применим группу формул (2) к треугольнику,
полярному |
с данным, имеющему, как известно, стороны |
||
180° — А , 180° — В и 180° — С и углы 180° - |
а, 180° - Ъ |
||
и 180° — с, то получим формулы косинусов углов: |
|||
cos А = |
—cosВ cos С + |
sin В sin С cos а, |
|
cos В = |
—cosС cos А + |
sin С sin A cos b, > |
|
cos С — |
—cosA cos В + |
sin A sin В cos е, |
|
т. е. во всяком сферическом |
треугольнике |
косинус угла |
|
32 |
ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ |
[ГЛ. II |
равен |
произведению косинусов двух других углов, |
взятому |
с обратным знаком, плюс произведение синусов этих уг лов, умноженное на косинус стороны между ними.
Напишем еще одно очевидное равенство:
M N = MD — ND.
Так как
M N — К Е = КС cos В = |
R sin a cos 5 , |
|
|
|
MD = OD sin с = R cos b sin c, |
|
|
||
ND = ED cos c = DC cos A cos c = R sin b cos c cos A , |
||||
то имеем |
|
|
|
|
sin a cos В = |
cos b sin c -- |
sin b cos c cos A , |
’ |
|
sin b cos С = |
cos c sin a -- |
sin c cos a cos B, |
|
(4) |
sin c cos А = |
cos a sin b - - |
sin a cos b cos c. |
, |
|
Точно так же справедливо: |
|
|
|
|
sin a cos С = |
cos c sin b - - |
sin c cos b cos A , |
■ |
|
sin Ъ cos А = |
cos a sin c - - |
sin a cos c cos в, |
• |
(4') |
sin с cos В = |
cos b sin a - - |
sin b cos a cos c, |
J |
|
или, словами: во всяком сферическом треугольнике произ ведение синуса стороны на косинус прилежащего к ней уг ла равно произведению косинуса на синус двух других сто рон, минус произведение синуса и косинуса этих же сто рон, умноженное на косинус угла между ними.
На основании свойств взаимно полярных треугольни ков (а' = 180° — А), получаем группу формул:
sin A |
cos Ъ = |
cos В sin С + |
sin В cos С cos а, |
||
sin A |
cos с = |
cos С sin В + |
sin С cos В cos а, |
||
sin В |
cos с = |
cos С sin А + |
sin С cos A cos Ъ, |
||
sin В |
cos а = |
cos A |
sin С + |
sin A |
cos С cos b, ' (5) |
sin С |
cos а = |
cos A |
sin В + |
sin A |
cos В cos с, |
sin С |
cos b = |
cos В sin А + |
sin В |
cos A cos с. |
|
Если формулу из группы (4) разделить почленно на формулу из группы (1), содержащую в левой части такие
§ 9] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 33
же элементы, то получим формулу котангенсов, содержа
щую две стороны и два угла, а именно:
ctg a sin b = cos Ъ cos С + |
sin С ctg А , |
|
|
ctg a sin с = |
cos с cos В + |
sin В ctg А , |
|
ctg b sin с = |
cos с cos А + |
sin A ctg В, |
|
ctg Ъsin а = |
cos a cos С + |
sin С ctg В, |
^ |
ctg с sin а = |
cos a cos В + |
sin В ctg С, |
|
ctg с sin b = |
cos Ъ cos А + |
sin A ctgC . |
|
Можно привести (без доказательств) формулы Деламбра или Молъвейде. Они удобны при решении задач,
в которых дана сторона и прилегающие к ней углы, или угол и прилегающие к нему стороны, и нужно найти дру гие элементы сферического треугольника:
. |
A |
— В |
•sin |
c |
. |
a — b |
•COS |
G |
|
|
sin |
|
2 |
|
T |
_ s m |
2 |
2 ’ |
|||
cos |
A |
— |
В |
•sin |
c |
- s i n |
a 4 - b |
•sin |
C |
• |
|
2 |
|
Y |
2 |
2 |
J |
||||
. |
A |
+ |
В |
•cos |
c |
- c o s |
a — b |
|
G |
’ |
Sin |
|
2 |
|
~2 |
2 |
•cos •2 |
||||
|
A |
+ B |
|
c |
|
a -f- b |
•sin |
C |
|
|
COS---^— •cos |
Y |
= COS —"- |
2 * |
|||||||
Циклической перестановкой можно получить формулы для других элементов сферического треугольника.
Разделив первую формулу Деламбра на вторую, а третью формулу — на четвертую, а также разделив пер вую формулу на третью, а вторую — на четвертую, мы получим так называемые аналоги Непера (не путать с пра
вилом Непера!):
. а — Ъ
sm_--!—
tg sin a -f- b
~YT
А + Я tg 2
i '
f
2 К. А. Куликов
34 ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ 1ГЛ. И
sin A — В
tg |
а — Ъ |
|
|
2 |
|
» |
|
2 |
sin A |
+ |
B |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a -j- Ъ |
cos A |
— В |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
||
tg ~~2~~ |
cos |
A |
+ |
B |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Аналоги Непера дают зависимости между пятью эле ментами сферического треугольника.
Имеется еще ряд других, иногда с внешней стороны весьма изящных формул, но они используются очень ред ко и в нашем изложении будут излишни.
§10. Прямоугольные и узкие сферические треугольники
Во многих задачах астрономии приходится решать прямоугольные сферические треугольники. Если в груп пах формул (1) — (6) положить один из углов, например
А, равным 90°, то формулы будут иметь такой вид: для группы (1)
sin Ъ = |
sin a sin В , |
sin с = |
sin a sin С\ |
для группы (2) |
|
cos а = |
cos Ь cos с; |
для группы (3) |
|
cos а = |
ctg В ctg Су |
cos В = cos b sin Су |
|
cos С = cos с sin В ; |
|
для групп (4) и (4') |
|
sin a cos В = |
cos b sin с, |
sin a cos С = |
cos с sin by |
cos В = |
ctg a tg Су |
cos С = |
ctg a tg b; |
(8)
(9)
( 10)
для группы (5)
cos a sin В — cos b cos С, *
( l i )
cos a sin С = cos с cos В ,,
§ 10] ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И УЗКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 35
и две совпадающие с уже полученными в (9). Группа (6) новых формул не дает.
Для запоминания формул прямоугольного сфериче ского треугольника существует правило Непера. Распо
ложим по окружности пять величин, зависящих от эле
ментов треугольника: 5, с, 90° — В , 90° — а, 90° — С . |
|||
У каждой величины есть две соседние |
и |
||
две дальние. Тогда |
синус любой величины |
||
равен: |
тангенсов |
соседних |
ве |
1) произведению |
|||
личин, |
косинусов |
дальних |
ве |
2) произведению |
|||
личин.
Иногда приходится решать узкие сфери ческие треугольники, т. е. такие, у которых одна сторона мала по сравнению с двумя другими. В этом случае вместо точных фор мул применяют более простые — приближен ные, если точность получаемых результатов достаточна.
Пусть имеем узкий сферический треуголь ник АВС (рис. 15). Так как в этом треуголь нике угол А мал и его косинус можно заменить
а синусы малых величин а и (с — Ъ) можно заменить са
мими этими величинами, выраженными в радианах, то, применяя в данном случае первую формулу группы (4),
получим формулу первого |
приближения |
|
a cos В |
= {с — Ь). |
(12) |
Первая формула группы (1) при этих допущениях прини мает вид
A sin Ь — a sin В, |
(13) |
или
A sin с = a sin J5,
так как b и с — величины, мало отличающиеся друг от
Друга.
На практике иногда приходится решать сферические треугольники, у которых все три стороны настолько ма лы, что допустима замена синуса или тангенса дуги самой дугой, выраженной в радианах без существенного ис кажения требуемого результата. Такие треугольники
2*