Файл: Галушкин, А. И. Синтез многослойных систем распознавания образов.pdf

Уверенность ответа системы распознавания образов о принад­ лежности текущего образа х на входе, например, к первому классу должна определяться разницей апостериорных вероятностей при­ надлежности к первому и ко второму классу. В этом плане много­ мерное пространство признаков должно делиться на три части:

область / соответствует решению СР о принадлежности ее к первому классу

г ( е = - 1 / х ) - ^ > / " ( 8 = 1/х);

область I I соответствует решению СР о принадлежности ее ко

второму классу

Г (е = — 1/х) |- d2< /" (8 = 1/х);

область I I I , в которой СР либо вообще не может ответить на

вопрос о принадлежности текущего образа к первому или второму

степень уверенности СР в отнесении образов на входе к первому или второму классу. В частном случае возможно, что d1 = d2 — d или rfi = d2 = d — 0; в последнем случае вариант с двумя разде­ ляющими поверхностями вырождается Ввариант с одной разделяю­

щей поверхностью. В случае двух разделяющих поверхностей си­ стема распознавания образов с оптимальными параметрами разде-

/ляющих поверхностей преобразует входной сигнал х (га) в выходной xk(n) (указание системы о принадлежности текущего образа к тому или иному классу) следующим образом: х (га) в области / — х* (га) =

Общее выражение для разделяющих поверхностей, оптималь­ ных по величине апостериорной вероятности, имеет вид:

( 2- 1)

Это окончательное выражение для разделяющих поверхностей, когда в качестве критерия первичной оптимизации используется величина апостериорной вероятности. В работе автора (Л. 52] представлена более подробная интерпретация величин d1 и d2 через условные плотности [' (х/е) и /" (г]х).

Система распознавания, оптимальная по критерию ми­ нимума средней функции риска, делит многомерное про­

странство признаков на три части: область, относимую СР к первому классу; область, относимую СР ко второму классу; область, в которой СР отказывается от принятия решения о принадлежности образов к тому или иному классу:

Условная функция риска есть сумма потерь при отне­ сении образа г-го класса к /-й области. Потери вычисляются как соответствующие вероятности, умноженные на вели­

34

Необходимо найти выражения для S' (х) и S " (х), обес­ печивающие минимум R. Достаточно просто показать, что минимум R обеспечивается в том случае, когда подынтег­ ральные выражения отрицательны внутри соответствую­ щей области интегрирования и положительны вне ее, т. е. минимум R обеспечивается при условии

Выражения (2-2) и (2-6) определяют оптимальную мо­ дель СР двух классов образов с двумя разделяющими по­ верхностями. Рассмотрим несколько подробнее частный случай, который более физически отражает сущность СР двух классов образов с дву­ мя разделяющими поверх­

ностями. Примем

На рис. 2-3 представлена иллюстрация (в одномерном случае) зависимостей изменения порогов Лх и /г2 от /0.

Анализ выражений для разделяющих поверхностей позволяет сделать следующие выводы:

а) При /0 = 0 зона, в которой СР отказывается от распознава­ ния, занимает все пространство признаков. Это естественно, так как в данном случае потери при отказе от распознавания равны нулю.

б) При 10 = 1/2 СР с двумя разделяющими поверхностями вырождается в СР с одной разделяющей поверхностью. Это случай, когда потери при отказе от распознавания в 2 раза меньше потерь при неправильном распознавании, а потери от правильного рас­ познавания равны нулю.

в) При конечном значении 10 в пределах 1/2]> /о^>0 сущест­ вует зона нечувствительности, где СР не относит текущий образ на входе ни к первому, ни ко второму классу.

г) При значении /0 в пределах 1 > /„ > 0 ,5 СР имеет две разде­ ляющие поверхности, причем в зоне между ними СР относит теку­ щие образы на входе и к первому и ко второму классу. На рис. 2-3

36

На рис. 2-3 кг — порог, которым определяется (в одномерном случае) поверхность S' (х), h2 — порог, которым определяется по­ верхность S ” (х).

д) При l0 = 1 все многомерное пространство признаков счи­ тается принадлежащим и первому и второму классу.

Если сравнить оптимальные модели СР, построенные по крите­ рию апостериорной вероятности (2-1) и критерию минимума сред­ ней функции риска (2-5), то видно, что при условии

оптимальные решения по указанным критериям совпадают. Кроме того, данные равенства являются дополнительной интерпретацией коэффициентов dt и d2. Использование того или другого критерия возможно при наличии априорной информации о коэффициенте di или 1ц.

Анализ выражения для средней функции риска показы­ вает возможность рассмотрения критериев первичной оп­ тимизации при следующих ограничениях:

1) равенство отдельных составляющих средней функции риска

S " (x)<0

37