Файл: Галушкин, А. И. Синтез многослойных систем распознавания образов.pdf

Уравнения оптимальных разделяющих поверхностей, имеющие вид:

S' ( х ) = (1п — /ю) P i f i (х) (1 -)- X) -f-

есть результат минимизации функционала I. Значение X, обеспечивающее минимум /, получается из условия ра­ венства нулю производной dlldX, т. е. при подстановке (2-10) в уравнение (2-9) для соответствующего ограниче­ ния.

Для критерия минимума составляющей средней функ­ ции риска для одного из классов при заданном значении составляющей средней функции риска для другого класса, т. е. с учетом ограничения (2 -8 ), выражения для оптималь­ ных разделяющих поверхностей имеют следующий вид:

Выражение для X получается подстановкой (2-11) в уравнение для соответствующего ограничения, имеющее вид:

N

Р^2 = Р21 ц + \ ■ ■ ■ [ ( 4 l — 4о) Р2 / 2 (х) ^Х +

"s' (x)<d"

N

+ !’ • • • j (l20— li i ) P i f i ( x ) d x = a.

' s" (x)<o

Рассмотрим систему распознавания 36 (табл. 2-1) на два класса образов, имеющую (Кр—1) разделяющую по­ верхность. Для данной системы д р = const означает, что число (целое) решений равно или больше четырех.

Определим оптимальную модель СР по критерию сравнения апостериорных вероятностей. По аналогии со случаем двух клас­ сов образов и двух разделяющих поверхностей определим деление многомерного пространства признаков на области следующим об­ разом.

Область kp (kp = 1, . . . , Кр) определяется следующей систе­ мой неравенств:

38

при d0 1 = 1, dk k +1 = —1 и следующем условии:

Иллюстрация такого деления пространства признаков в одно­ мерном случае приведена на рис. 2-4. Выходной сигнал СР должен иметь kp градаций по уровню, т. е. СР принимает при наличии двух классов образов kp решений. Из рис. 2-4 следует, что отнесение той или иной области многомерного пространства признаков к первому

Области

Рис. 2-4. К рассмотрению критерия первичной опти­ мизации СР по величине апостериорной вероятно­ сти в случае двух классов образов и (/Ср — 1)-й разделяющей поверхности.

или второму классу производится с определенным запасом по апо­ стериорной вероятности, например в области йр с запасом, равным

m in{|V - ь kv\’ I V p '-'I).

Учитывая известные выражения для апостериорных вероятно­ стей I (е = 1/х) и f (в = — 1/х), можно получить выражение для области kp решения СР в исходном многомерном пространстве при­ знаков в следующем виде:

Определим оптимальную модель СР по критерию ми­ нимума средней функции риска. В данном случае СР по­ сле обучения делит многомерное пространство признаков на Кр частей, в каждой из которых существуют априори

39

потери при отнесении образов к тому или иному классу. Матрица коэффициентов потерь имеет следующий вид:

терь при отнесении образов г'-го класса к &р-й области. Оче­ видно необходимо, чтобы

Найдем выражение для S p (x), минимизирующее сред­ нюю функцию риска. Введем дополнительное обозначение следующим образом:

Sр(х)>0

Сиспользованием приведенного выше материала до­ статочно легко показать, что минимальное значение R до­ стигается при

5 (Йр)(х) = £." (х)—g k (х)>0, Г - 1 , ... , К

40

или

Выражения для оптимальных моделей СР в случае дру­ гих рассмотренных выше критериев первичной оптимиза­ ции могут быть получены достаточно просто на основании изложенного выше метода.

Системы распознавания 4 и 9, Это — системы распозна­ вания К классов образов, имеющие (Кр— 1) разделяющую поверхность.

При использовании критерия минимума средней функ­ ции риска система неравенств, ограничивающая в много­ мерном пространстве признаков область kp-ro решения, имеет следующий вид:

Система распознавания 5. При наличии на входе двух классов образов система распознавания имеет на выходе непрерывный (по уровню) сигнал. Естественно, что данный сигнал, как и входной сигнал СР, является дискретным по времени.

В случае использования критерия первичной оптимизации СР по величине апостериорной вероятности необходимо иметь априори функцию d (хь) превышения апостериорной вероятности принад­ лежности текущих образов на входе к первому классу над апосте­ риорной вероятностью принадлежности этих образов ко второму классу при конкретном значении выходного сигнала х* ,т. е. для каждого значения х* в СР априори должна быть определена «уве­ ренность» СР в отнесении образов к тому или иному классу по апо­ стериорной вероятности. В этом случае уравнение для оптималь­ ной модели СР двух классов образов и континуумом решений имеет следующий вид:

/"(e = - l / x ) - d ( * ft) = / " ( e = 1/х).

в рассматриваемом случае. Это уравнение определяет связь между входным и выходным сигналом СР, которую в принципе необходимо реализовать, исходя из выбранного критерия первичной оптимиза­ ции и структуры СР.

41