Файл: Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы.pdf

корреляционной функции проводилось не по формуле (11.4), а с использованием нелинейного преобразования

рис. 11.10. Исследование проводилось для следующих типов нелинейного преобразования:

— линейная^зависимость с ограничением (кривая 3). Зависимость частоты правильного срабатывания от параметра А для серии из 500 испытаний представлена

на рис. 11.11. Номера кривых указывают на тип нели­ нейного преобразования (они соответствуют номерам на рис. 11.10), а доверительные интервалы соответствуют уровню значимости 0,05. Пунктиром показаны резуль­ таты, полученные без нелинейного преобразования весов.

Полученные результаты показывают, что лучшим не­ линейным преобразованием является квантование весо­ вых коэффициентов точек изображений на два уровня. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что все ве­ совые коэффициенты равны единице.

Проведем аналитический расчет вероятности пра­ вильной работы астроориентатора.

Пусть для реализации метода слепого поиска (126] изображение корреляционной функции разбито равно­ мерной сеткой на малые квадратные ячейки со сторо­

355

ной k. Так как веса всех точек равны единице, то кор­ реляционная функция будет задана распределением числа точек по ячейкам. Будем задавать ячейки двумя

обозначим через Ям- В § 11.2 показано, что изображение корреляционной

функции строится путем наложения друг на друга щ копий реального изображения, повернутых на 180° и сдвинутых относительно начала координат на величины Хц, уи, где хц , ун — координаты точек эталонного изо­ бражения, t= l, 2, ..., tii. Поэтому число точек в ячейке изображения корреляционной функции Ям будет равно числу точек в rii таких же ячейках реального изображе­

ной сеткой на квадратные ячейки со стороной k. Ячейки задаются номерами s и t (столбца и строки соот­ ветственно), которые могут принимать значения —и,

— ( и — 1), . . . , — 1, 0 , 1, 2 , . . . , « .

Пусть ориентиры занимают на реальном изображе­ нии ячейки с номерами sm*—k*, tm*—/* (m= 1, 2, ..., «i); k*, l* — величины смещения реального изображения от­ носительно эталонного. Пусть sm*, tm* лежат в квадра­

помех есть случайные величины с равномерным распре­ делением, то совместное распределение rst запишется как

356

+ £ 8 (s*m 4-k* — s*m, - k, t*m+ /* - t*m, - l)

ш'.-!

( 11.21)

где

I 0 , если л: ^ 0 или уфО .

Величина

m = 1

является главным максимумом, щ — число точек, обра­ зованных совпадающими точками изображений, осталь­ ная часть точек образуется за счет помех.

Корреляционно-экстремальная система сработает правильно, если

Вероятностью правильной работы системы назовем вероятность одновременного выполнения 4со2—1 нера­ венств (11.23). Для вычисления такой вероятности нуж­ но из всех возможных реализаций гл1 выделить реали­ зации, удовлетворяющие (11.23), и просуммировать ве­ роятности появления этих реализаций. Однако этот метод вычисления является чрезвычайно громоздким, так как требуется перебрать все возможные реализации,

число которых равно (4н2)

Величины Rhi являются статистически зависимыми, так как в образующие их суммы могут входить одни и те же /\,/. Максимальное число одинаковых rst, вхо­ дящих в две величины Ri,i и Rh'i', равно максимальному числу равных структурных векторов эталонного изобра­ жения. Если предположить, что координаты ориентиров являются независимыми случайными величинами с рав­ номерным распределением, то следует ожидать, что чис­ ло реализаций эталонного изображения с двумя или более равными структурными векторами очень мало. Поэтому следует ожидать, что статистическая связь между Rki н Rhi достаточно слаба. Первым упрощаю­ щим предположением будет пренебрежение этой связью.

357

Второе упрощающее предположение состоит в том, что в одну ячейку реального изображения может по­ пасть только один ориентир. Анализ карт звездного неба показывает, что если в качестве ориентиров брать звезды с видимой звездной величиной не выше 4т , а угловой размер ячейки выбирать не более 1°, то изо­ бражение участка звездного неба удовлетворяет этому условию.

П,

= * .+ £ •

Случайная величина g есть число точек помех, попав­ ших в «1 ячеек реального изображения. Ее распределе­ ние— биномиальное распределение В(п, п2, pi) с числом испытаний я2 и вероятностью успешною испытания

где />= 1/4я2.

Ложный максимум Ям образуется как за счет точек по­ мех, так и за счет ориентиров. Так как их координаты являются независимыми, то такие точки можно считать равноправными, их общее число n = ni + n2—1. Здесь —1 появляется потому, что за счет ориентиров в ложный максимум может войти не более tii— 1 точек, как это показано в § 11.2. Таким образом распределение Ям

есть В {Ям, п, p i) .

Вероятность Р того, что Rk,lt— Ям' е, найдется как

Так как мы считаем Ям независимыми случайными чис­ лами, то Р не зависит от /г, /. Тогда перебор всех Ям можно рассматривать как /V = 4оэ2—1 независимых испы­ таний с вероятностью успеха Р. Вероятность правиль­ ной работы корреляционно-экстремальной системы опре­ делится при этом как вероятность иметь N успехов в N испытаниях:

358

Если q— 1—р очень мало, а вернее Nq<^l, то можно считать приближенно

р = 1—Nq + 0,5/V(Л/—1)q2—0,1667N(N— l) (N—2)q3. (11.27)

При принятых предположениях форма ячейки не играет роли, важна лишь ее площадь. Если считать ячейки круглыми, то должно выполняться условие

где р — радиус круга. Зависимость р от р\, щ, п2 была протабулирована, результаты приведены в табл. 2 .

359

Так как эти результаты получены при упрощающих предположениях, необходимо проверить их опытным путем. Проверка была проведена методом статистиче­ ских испытаний, описанным выше. В табл. 3 приведены частоты правильного срабатывания W для серии из 1 000 испытаний и вычисленные при этих же условиях значения Р. Для Р^О,99 разность между Р и ее экспе­ риментальной оценкой не превосх'одит дисперсии оцен­

ки, определяемой как a= V W (1—И^)/1 000 [166]. Такое совпадение результатов следует считать очень хорошим. Таким образом ошибка вычисления по приближенной

формуле (11.27) не превосходит 3 У0,001Р (1—Р )я*0,1Х

X V P ( l - P ) .