Файл: Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы.pdf

Легко найти математическое ожидание mf (x,y) и кор­

реляционную функцию #//(*!, ?2) случайного поля f ( x , y ):

П

Щ (•*. У) — М {/ (X, У)} = 2 Pifi (X, у) =

Rf.i (z,, *a) = M {[f (г,) — m, (?,)]\f (ft) -

1

— % (**)]} = 2 Pifi (2.) /г (г*) — Щ (г,) mf (ft) =

г=1

n

—2 PiT(-^oz + -ft COS % — yt sin ft, i=l

Здесь M —символ операции математического ожидания,

* - ( ; ) •

Будем считать, что исходное детерминированное поле

чайная функция f(x, у) является среднеквадратически непрерывной в любой точке г. Подобное задание случай­ ного поля f(x, у) на основании априорных вероятностей Pi траекторий движения гДг* ( 0 позволяет получить ис­

44

ментов а,, а, , ..., ак. Е(а,, а2, . . . , ah) является исчерпываю-

Т„ И,......~~zk

щей исходной статистической характеристикой. Иногда, как это будет показано ниже, достаточно знать мате­ матическое ожидание ntf(x, у) и взаимно-корреляцион­ ную функцию Rif(zi, 22), определяемые равенствами (2 .6 )

и (2.7).

Закон распределения, математическое ожидание и корреляционная функция поля, рассчитанные по форму­ лам (2 .6 ) — (2 .8 ), однозначно определяются исходным полем f (х*, у*), множеством траекторий гщ* (t) и рас­ пределением вероятностей {/?;} на этом множестве. Если множество траекторий движения меняется или на тех же траекториях задается новое распределение вероятно­ стей, то математическое ожидание, корреляционная функция и закон распределения случайного поля также меняются. В качестве частного случая избранная поста­ новка вопроса охватывает движение по одной-единст- венной траектории. При этом корреляционная функция поля тождественно равна нулю, а вся информация о по­ ле содержится в математическом ожидании т/(х, у).

45

Как задать траекторию движения датчика полягд(О? В соответствии с формулой (2.5) эта траектория являет­ ся случайной и может быть статистически определена через исходные вероятности р\ и траектории 2дг*(0- Од­ нако часто является обоснован­ ным предположение о д е т е р ­ м и н и р о в а н н о с т и траек­ тории zn(t). Это справедливо, когда все исходные траектории движения z„i*(t) получаются одна из другой переносом на­ чала координат и поворотом координатных осей (рис. 2 .3 ).

В различных практических задачах 3'io могут быть параллельные линии (рис. 2.3,а) либо прямые различ­ ных направлений (рис. 2.3,6); иногда траектории движе­ ния имеют некоторый специальный вид (рис. 2.3,в). Если все исходные траектории 2Д;* ( 0 могут быть получены из какой-то одной траектории zao('t) путем переноса нача­ ла координат и поворота координатных осей, то все пре­ образованные траектории 2Д;(/) в новой системе коорди­ нат хОу совпадают с траекторией гд0(t). Поэтому

46

В рассмотренном выше варианте от исходной поста­ новки задачи, когда случайной была траектория движе­ ния za*(t), а детерминированным — поле f (х*, у*), мы пришли к эквивалентной задаче, в которой траектория движения *(t) детерминированна, а поле f(x, у) —слу­ чайно. Этот случай более всего интересует нас в настоя­ щей работе и именно он рассматривается в дальнейшем. Тем не менее следует заметить, что излагаемый в после­ дующих главах подход может быть без особого труда и усложнений распространен и на вариант, когда траекто­ рия 2Д(t) предполагается случайной.

2.2. Уравнения движения непрерывных корреляционно-экстремальных систем первого класса (общий случай)

Из рассмотрения различных видов непрерывных (аналоговых) систем класса КЭС I*) следует, что общая схема двумерной непрерывной КЭС, приведенная на рис. 2.4, содержит датчик поля 1, блок памяти 2, устрой­

ства перемножения 3, 4. Линейная часть системы харак­ теризуется передаточными функциями Wx(p), Wy(p) каналов х и у. Общим для всех непрерывных КЭС явля­ ется наличие коррелятора в контуре управления. На рис. 2.4 корреляторы представлены устройствами пере-

*) Поскольку далее в разд. I речь идет о корреляционно-экстре­ мальных системах класса КЭС I, для сокращения записи вместо по­ нятия «корреляционно-экстремальная система класса КЭС I» будет употребляться понятие «корреляционно-экстремальная система».

47

мпоженпя 3, 4\ передаточные функции фильтров корре­ ляторов входят в выражения Wx, Wv,

Линейная часть непрерывных КЭС описывается обыч­ ным способом. Чтобы получить замкнутые уравнения непрерывных КЭС, следует рассмотреть передающие свойства коррелятора как элемента непрерывных КЭС.

Свойства коррелятора как прибора, предназначенно­ го для приближенного вычисления корреляционной функ­ ции, достаточно хорошо исследованы

(см., например, [50, 55, 56]). Однако результаты, полученные в этих рабо­ тах, не могут быть использованы для описания коррелятора, являющегося частью системы экстремального регу­ лирования, главным образом потому,

что в корреляторе, входящем в КЭС, нарушается основное требование, предъявляемое к процедуре вычисления кор­ реляционных функций: постоянство сдвига между реали­ зациями. В силу динамики системы экстремального регу­ лирования перемножаемые и усредняемые в корреляторе величины непрерывно смещаются друг относительно дру­ га. Это приводит к возникновению специфической ошиб­ ки коррелятора, которая не рассматривалась в [55, 56]. Кроме того, в этих работах не рассмотрены спектраль­ ные свойства различных возмущений, присущих корре­ лятору, что необходимо для оценки влияния этих возму­ щений на контур экстремального регулирования. В ра­ ботах [52, 53], (57] была сделана попытка учесть сдвиг реализаций, однако полученные результаты носят сугу­ бо приближенный характер и не учитывают замкнутости контура управления.

В настоящей главе выводятся точные уравнения дви­ жения непрерывных КЭС, справедливые для различных схем поиска отклонения от экстремума, а также учиты­ вающие преобразования поля, которые имеют место в процессе изготовления карт и во время приема сигна­ ла датчиком поля. Эти уравнения справедливы для ста­ ционарных и нестационарных (в пространственном смыс­ ле) полей, при форсированных и квазистационарных режимах управления. В любой непрерывной КЭС осуще­ ствляется операция перемножения двух реализаций слу­ чайных полей gi(xд, Ун) и ц>г(хп, Уп), где хя, уя — коор­ динаты той точки, откуда в данный момент t снимается сигнал датчиком информации; х„, у„ — координаты бло­

48

ка памяти (рис. 2.5). Случайные поля g(xR, уд) и <р(л:п, Уп) обычно представляют собой суммы некоторых ли­ нейных преобразований исходного поля f(x, у) и адди­ тивных помех. Координаты xA(t) и уд(/), определяемые траекторией движения объекта, на котором установлен датчик поля, предполагаются детерминированными, а ко­ ординаты xa(t), yn(t) являются случайными функциями времени. Для удобства дальнейшего изложения перей­ дем к отклонениям

разие задачи определения передающих свойств корреля­ тора как элемента замкнутой непрерывной КЭС.

компактное метрическое пространство. Практически под Z понимается ограниченная область на плоскости х, у;

В частности, при рассмотрении вопросов навигации под х и у можно понимать соответственно долготу и ши­ роту места. Тогда замкнутому пространству Z будут со­

ласти значений полей g, ф совпадают с действительной числовой осью и что эти поля (с вероятностью 1) явля­ ются ограниченными в области Z, т. е. существуют кон­ станты Mg, Мф такие, что с вероятностью 1 g(zR)< M g,

<p(zu) < Мфдля любых 2Д, zneZ .

Будем считать также, что поле ф является средчеквадратически непрерывным в любой точке zn*^Z, т. е. для любого zn^ Z п любого е> 0 существует б> 0 такое,