Необходимо найти переходную функцию фильтра h (т), при которой
отношение сигнал/помеха достигнет максимума. |
от |
|
функционалов |
Отношение сигнал/помеха является |
функцией |
|
£/с. вых (^о) = |
|
Y i |
и Р„ = |
Y 2, |
которые, |
в |
|
свою очередь, зависят от |
операторов |
Uc, BUX(t) = Ф1 с |
ядром Uc. BX(t—x) |
и |
Un_вых (/) = Ф? |
с ядром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[V0U„. вх (t — x) + V (t — x) Uu.вх (t— x) + V (t — т) £/с. вх (/—т)]. |
Для частных производных имеем |
|
|
|
|
|
|
3G |
— 2U |
С- ВХ (to) ; |
dfi |
= 6 (t—t0); |
dG |
P c |
(to) . |
|
|
дФг |
д¥2 |
|
|
» |
дУг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
* = 2 f |
[V0f / n. вх ( * - т ) + |
V (t |
|
t ) |
U n, BX(f- т ) + |
РФ? |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ V (t— t ) |
£/c. bx(/ —r)] h (t ) dr. |
|
|
|
Теперь, воспользовавшись обобщенным уравнением Эйлера (9.14), |
запишем уравнение фильтрации |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ б (t — t0) Uc. BX(t - x ) d t - |
Uc |
■Atо) гГ |
4 I Ur |
; ( / — Т ) X |
|
РпТ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
x h {x)d xjU n, вх (t— x)dt + ] [Un. BX (t — x)V(t — x)h (т) dxj х |
X t/n.Bx (t — т) V (f—T)df + J |
J |
V (t— x)UCBX (t — x) h (т) X |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X dxj V (t—t) Uc, bx(t—t) dt] = 0. |
|
(9.86) |
Наложим условие равенства нулю ядер |
при t |
— т |
Это необт |
ходимо для |
|
возможности |
представления |
интегралов |
|
по dt в (9.86) |
в форме свертки |
[15] и перейдем в (9.86) |
к преобразованию Фурье. |
При этом учтем, |
что в (9.86) все интегралы, |
кроме первого,— двойные |
свертки переходной характеристики h (х) с Un. вх (t—т), Un BX (t—т) х X V (t—x) и V (t—т) Uc вх (t—т) по dx и по dt.
(со)е—7®U и с (to) Sn(co)K"(co) S*(CO) +
Р п Т
J Sn (со) V (со—Q,)dQI2 + | 5 , BX(Q)l/(co-Q)dQ|2 = 0. (9.87)
Обозначим их соответствие:
tJп. вх (t) = 5 П(со) — спектр реализации шума; Uc_вх (t) == S c вх (со) — спектр сигнала;
V (t) == V (со) — спектр реализации мультипликативной помехи; h (т) == К (со) — коэффициент передачи фильтра.
Вводя обозначения
F ( cd) = | Sn (П) V (со— £2) dQ
— |
СО |
00 |
|
Ф(со) = J |
V (fl)Sc. BX(fi>-Q)dQ |
с учетом того, что N (со) = Sn (со) Sn (со) — спектральная плотность шума, найдем коэффициент передачи оптимального фильтра с точ ностью до постоянного множителя
S* (со) е - /ш |
(9.88) |
к и |
N (со) + Ф (со) + |
F (со) |
Как и следовало ожидать, структура фильтра зависит не только от спектральной плотности шума, но и от спектра мультипликативной помехи, причем спектр мультипликативной помехи входит в выраже ние для коэффициента передачи в виде свертки со спектром сигнала и шума. Это объясняется тем, что во временной области мультиплика тивная помеха является сомножителем.
Если флуктуационный шум не подвержен действию мультиплика тивной помехи (так бывает в канале с замираниями), то F (со) = 0. Если флуктуационный шум на входе является стационарным процес сом, то, используя функцию спектральной корреляции, можно F (со) представить
00 |
|
|
F (со) = J |
A(Q)|E(co — Q)\4Q. |
(9.89) |
Аналогично |
|
|
СО |
|
|
Ф(со) = J |
| V (й) |2 |SC(со—£2) \2dQ, |
(9.90) |
если V (t) — стационарная |
помеха. |
стационарном |
При мультипликативной помехе V (t) — белом |
шуме — и N (со) = const |
оптимальным является |
согласованный |
фильтр с коэффициентом передачи |
|
ЛГ (со) = S* (со) |
(9.91) |
Это объясняется тем, что свертка постоянной с любой функцией есть величина постоянная, в чем нетрудно убедиться, выполняя замену переменных.
Рассмотренный в работе [71 ] случай оптимальной фильтрации яв ляется частным случаем формулы (9.88) при F (со) — 0. В этом случае воздействие мультипликативной помехи на флуктуационный шум от сутствует; спектр сигнала S (со) много уже спектра мультипликатив ной помехи. Тогда можно приближенно считать |S (со) |2 за 6-функцию и Ф (со) « \V (со)|2
К{ <о) = S* (со) |
е-/(О |
! V (со) |
I* |
Такой случай встречается только в очень узкополосных каналах с до статочно быстрыми запираниями и хорошей энергетикой.
Если при прочих равных условиях в последнем случае считатьспектр мультипликативной помехи много уже спектра сигнала (этот случай встречается при медленных изменениях усиления или неста бильности порога), то Ф (со) « 15 (со) |2 и оптимальным являетсяфильтр с коэффициентом передачи
К (со) = — . |
(9.92) |
v ' S (со) |
' |
Спектры сигнала и помех и коэффициенты передачи фильтров для крайних случаев представлены на рис. 9.12.
Следует отметить, что в общем случае структура оптимального фильтра зависит от соотношения мультипликативного и флуктуацион-
|
|
|
|
|
|
|
ного |
компонентов |
помехи |
|
и при |
|
изменении |
интенсивностей |
помех |
|
фильтр должен перестраиваться. |
|
Из рассмотренного выше следу |
|
ет, что при воздействии мультипли |
|
кативной |
помехи одновременно на |
|
сигнал и шум, в случае узкополос |
|
ной |
мультипликативной |
помехи, |
|
фильтр является |
укорачивающим. |
|
Его |
коэффициент |
передачи |
равен |
|
1/5с |
(со). |
Рассмотрим одну из воз |
|
можных реализаций такого филь |
|
тра |
и сравним его с обычным |
|
оптимальным накопителем. При |
|
мем в качестве реализации фильтра |
|
дифференциатор, |
нагруженный |
|
на |
накопитель, |
с постоянной |
:. 9.12. Коэффициент передачи |
времени, |
позволяющей |
|
самому |
импульсу проходить без искаже |
оптимального фильтра |
ний. |
При выполнении |
фильтра |
|
в дискретном варианте для накопления удобно использовать частотно временной фильтр со стробированием, при длительности строба, рав ной длительности импульса. В этом случае можно накапливать одну из спектральных составляющих (см. § 9.2). Блок-схема такого фильтра приведена на рис. 9.13. Здесь дифференциатор приближенно реали зуется вычислением конечной разности, накопленной в двух сосед них каналах.
Для оценки качества работы фильтра, работающего по обычной схеме, и накопителя конечной разности (рис. 9.13), рассмотрим влияние мультипликативной помехи на эффективность работы цифро вых накопителей. Будем рассматривать обнаружение с фиксирован ными вероятностями правильного обнаружения D и ложной тревоги F. Оценим влияние мультипликативной помехи на обычный накопи тель. В этом случае принимается решение о наличии сигнала по ре зультатам сравнения накопленной суммы импульса, превышающих
уровень квантования в выбранном интервале времени, с выходным порогом К- Вероятность правильного обнаружения равна
|
N |
|
|
|
|
|
D = 2 |
С2кРс (1 — Рс)к~2. |
|
|
(9.93) |
|
К=2 |
|
|
|
Вероятность ложной тревоги выражается так: |
|
|
|
|
F = § |
СКРШ2 ( 1 - Р Ш)К- 2. |
|
|
(9.94) |
*3+а3 /С—2 |
|
|
|
|
о о ------— |
|
|
|
|
Здесь Рс = \С хе 2 |
I0(ax)dx — вероятность |
превышения |
уровня |
v |
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
квантования смесью |
сигнала |
00 |
2 |
dx = e |
2~ |
и шума; Р ш = j |
хе |
— ве- |
v
Рис. 9.13. Фильтр с вычислением конечной разности
роятность превышения уровня квантования шумом; N — число на капливаемых реализаций; / 0 — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; V — уровень квантования; а — нор мированная амплитуда сигнала (отношение сигнал/шум); К — выход ной порог обнаружителя.
Величины D и F являются функциями уровня квантования (1/), поскольку последний определяет вероятности Р с и Р ш. Для удобства расчетов будем влияние мультипликативной помехи сводить к влия нию нестабильности уровня квантования. Введение фиксированного порога К резко усиливает влияние нестабильности уровня квантова ния на эффективность обнаружения. Для наглядности функции рас пределения приведены на рис. 9.14, где в целях упрощения вместо дискретных распределений показаны их огибающие. Измерение уровня квантования приводит к изменению Рш и Рс. Последнее, в свою оче редь, влечет за собой изменение средних значений накопленных пре
вышений уровня квантования за счет шума Zm и сигнала Zc. Измене
ние средних Zm и Zc приводит к изменению вероятностей ложной тре воги и правильного обнаружения.
Вероятности Рс и Рт являются функциями уровня квантования. Тогда можно выразить Рс через Рш
1РС |
= Р■* О |
о° |
1 |
(9.95) |
|
Рш{1 — \пРш)п |
|
|
■2 Г |
|
Для интересующего нас случая отношение сигнала к шуму много меньше единицы. Тогда выражение (9.95) упрощается и принимает' вид
ГРС = РГ ! 1 + |( 1 - 1 п Рш) |
(9.96) |
_Т!
Учитывая значение Рш = е 2 , получим
Pc= e ~ ^ ( l + ^ y |
(9.97) |
При оценке влияния нестабильности уровня квантования V будем исходить из того, что заданные вероятности Дмакс и 7)миН обеспечи ваются при минимально возможном уровне; квантования. Средние
значения Zc и Zm при увеличении уровня квантования будут сме щаться справа налево (см. рис. 9.14). При этом, если зафиксирован выходной порог К, вероятности F и D уменьшаются. Очевидно, что для обеспечения заданных F и D необходимо увеличить число накапли ваемых импульсов. Дополнительное число импульсов будет затрачи ваться на компенсацию потерь за счет нестабильности уровня кванто вания. Оно и будет характеризовать потери эффективности накопле ния.
Найдем дополнительное число импульсов т. Для его нахождения будем считать, что заданная вероятность ложной тревоги FuaKC обе спечивается при минимально возможном уровне квантования V, а
