заданная вероятность правильного обнаружения DMIIHобеспечивается при максимально возможном уровне квантования У + АУ.
При достаточно большом числе реализаций, на основании теоремы Ляпунова, можно считать, что суммы Zml и Zci (где i — номер канала) подчиняются нормальному закону распределения. Тогда
D = J |
У~2п а |
ехр |
(г —гс)2 |
dz\ |
(9.98) |
^ |
|
202 |
|
|
F = [ |
-tL - |
ехр |
(г — гш)2 |
dz, |
(9.99) |
Т У ^2 л а |
|
2о2 |
|
|
к |
|
|
|
|
|
где сг — среднеквадратичное отклонение. |
|
|
После преобразований получим |
|
|
|
D = 0,5 |
1 + ф ( ^ = * |
|
(9.100) |
F —0,5 |
|
|
|
(9.101) |
где Ф — интеграл вероятности |
|
|
|
|
Ф(*) = |
|
|
|
Так как вероятность ложной тревоги Рмакс достигается |
при Умин = У, |
то |
|
|
|
|
|
|
Zm = {N + rn)Pm(y) |
|
|
а = У (N + т) Рш(1 — Рш).
Вероятность правильного обнаружения должна обеспечиваться При Умакс = У + АУ. При этом
Z'c= (N + m) Рс(У + ДУ),
& = V ( N + т) Рш(У + АУ) [ 1 - Р ш(У + АУ)] '
Для упрощения записи в дальнейшем будем обозначать
РС(У) = РС; |
Рс (У + АУ) = Рс(АУ), |
РШ(У) = РШ, Рш (У + АУ) = Рш (АУ). |
При заданных £>мин |
и |
Рмакс имеем систему из двух уравнений |
с двумя неизвестными К и (N 4- т). Найдем эти величины |
ф | |
( К - 2 Ш\ — 1 |
__ 9 F |
|
к |
0 |
— 1 |
^ * макс |
|
1 |
|
|
ф |
J( К |
|
— 2 D |
__ 1 |
|
|
а ' |
--- ^ ^ м и н |
1 ’ |
|
|
) |
|
|
откуда
К-
а |
=ф - Ч 1 - 2 ^ макс). |
|
|
|
К - К |
0 |
- 4 2 0 , |
1). |
|
а'
где Ф — функция, обратная интегралу вероятности.
Учитывая значения Zm; Zc; а и а', решим систему относительно (N + т) и получим
|
К Р Ш( Д У )[ 1 - Р Ш(АУ)][Ф-1(2DMH„ - |
l)+ |
(N + т) |
+ / Л д ( 1 - Р ш) ф - ‘ ( 1 - 2 Р макс)]2 |
(9.102) |
|
[Рс (АТ/) — Рш]2 |
|
Решая подобным образом эту систему и считая, что АР = 0, най дем необходимое число накапливаемых импульсов при тех же D н
и F
Xl 1 макс
л; Р ш (1 - Р ш )[ Ф ~ 1(2Рмин-1) + Ф ~1( 1 - 2 Р макс)]2
(9.103)
(Рс ~ Рш)2
Так как выигрыш при накоплении пропорционален корню квадрат ному из числа накапливаемых импульсов, то проигрыш при нестабиль ном уровне квантования можно характеризовать следующим выраже нием:
N + т
N
Подставляя в это выражение значение N + т и N, получим
|
|
|
1+ |
"Рш (АТ) [1 - Рт (ЛТ)] Ф- 1 |
(2DMHH - 1) |
|
А |
Р с - Р * |
Р щ ( 1 - Р щ ) |
ф - 1 |
(1 - 2Р макс) |
|
|
|
Рс(ДР)- |
|
Ф_ 1(2БЬ |
1) |
|
|
|
|
|
Ф *(1 2 Fмакс)
Подставляя сюда значение Рш и Рс для слабых сигналов, получим выражение для проигрыша в зависимости от о = 1 + — и от отно шения сигнал/шум (а<1)
к2 |
|
a 2 V 2 |
X |
|
|
|
( 1 - в * ) |
14 |
a2V2 |
|
|
v2 |
б2 |
_ Y1 |
Ф 1(2D мин — 1) |
|
1 — е |
2 |
e- ”? ( l _ e- T ) |
© "‘ (l-Z^aK c) |
|
|
Ф- 1 (2Ду |
. (9.104) |
|
|
1) |
Ф~1(1 - 2 Р иак^
Рассмотрим оба сомножителя этого выражения. Очевидно, проиг рыш зависит от второго сомножителя в незначительной степени, так как выражение, стоящее под корнем, даже при весьма больших не стабильностях (б = 2 -ь 3) почти не изменяется. Первый же сомножи тель в очень сильной степени зависит от б, а также от отношения сигнал/шум. Очевидно, что при любом фиксированном отношении сигнал/шум найдется некоторое значение б, при котором знаменатель обращается в нуль и проигрыш А равен бесконечности. Это означает,
что накопление и |
обнаружение сигнала с отношением |
сигнал/шум |
а = const < 1 при |
некоторой нестабильности уровня |
квайтования |
А, дБ
2k
20
16
12
В
k
О
Рис. 9.15. Зависимость накопления от относительной нестабильности уровня
принципиально невозможно. |
Графики проигрыша в зависимости от |
A VIV представлены на рис. |
9.15 для значений |
V = 1,786 (Рш = 0,203), |
|
а = 1 , а= 1/2, а = |
1/3, |
а = |
1/4, |
F |
= 10-7 |
D |
= 0 |
9 |
Из графиков видно, что для каждого из значений а существует свой критический уровень нестабильности. Для отношения сигнал/шум, равного единице, критический уровень нестабильности несколько ниже из-за того, что при а — 1 необходимо пользоваться полной фор мулой для Рс, а не упрощенной формулой для а <1. Из графиков также видно, что проигрыш в незначительной степени зависит от за данных вероятностей Г>мин и Рмакс и в гораздо большей степени за висит от отношения сигнал/шум.
Для оценки влияния нестабильности уровня квантования на об наружитель, работающий по блок-схеме, представленной на рис. 9.13,
воспользуемся этим же способом. Также считаем, что установлен минимально возможный уровень квантования, заданы £>мин и FMHH и что распределения Zm и Zc нормальные. Распределения Zmi — Zm.+1 и Z — Z будут также нормальными.
Учитывая независимость шумов в соседних каналах, найдем не обходимое число накапливаемых импульсов при абсолютно стабиль ном уровне квантования:
|
^МИН -- 0,5 |
1 + Ф |
AZc - K |
|
|
|
|
У 2 о |
(9.105) |
|
0,5 |
1 —Ф |
К |
|
|
|
|
|
У 2 а
где
AZc = N (Pe- P J ,
а = УАГУРш( 1 - Р ш).
Тогда
N = V 2 |
[Ф -1(2DMHH_ 1) + ф-1 (1 - 7 + акс)]2. |
(9.106) |
(Ре - |
Рш» |
|
Из (9.106) следует, что число накапливаемых импульсов в случае
абсолютно стабильного порога для данного рода обнаружителя в J/2 раз больше, чем в обнаружителе по сумме.
При изменении уровня квантования для сохранения характеристик обнаружителя также необходимо дополнительное число накапливае мых импульсов. Найдем дополнительное число накапливаемых им пульсов т
D |
= 0,5 |
1 + Ф A z ;~ y ' |
(9.107) |
|
|
|
|
. У2 а' |
|
F |
макс |
— OR |
1—ф |
К' |
|
1 |
u ’u |
y i a |
|
|
|
|
|
|
где
AZ e’ = (N + m) [Pc{ A V ) - P m(AV)Y,
o '^V N + m VPm(AV) И - Яш(АV)];
а = У 7 У + ^ У Р шУ - Р шУ,
( V + АV)3 Г |
а2 (V + АР)2 ~ . |
Яс (ДЮ = е 2
(T+AVT
Яш(A V )= e 2
