Сформулируем в общем виде задачу прогнозирова ния изменения запаса работоспособности или долговеч ности при проектировании систем.
Пусть Xlt Хг, ..., Хи (6.1)—параметры, описываю щие состояния отдельных элементов или узлов проек
тируемой |
системы. |
С течением времени (в |
процессе |
эксплуатации) в результате |
старения элементов узлов |
их параметры будут изменяться, т. е. |
|
|
Хі (х),Х2( х ) , . . . , Х к(х), |
( 6 . 2 ) |
где т — текущее время. |
W (X) системы будет так |
Тогда |
функция |
состояния |
же изменяться во времени: |
|
|
|
Щ В Д ] = Щ В Д , |
Х2(х)........ Х*(т)]. |
(6.3) |
Для определения долговечности проектируемого устрой ства необходимо:
—выделить совокупность К параметров (6.1), наи более полно определяющих с точки зрения запаса работоспособности и долговечности состояние проекти руемой системы;
—определить на основе априорной информации наиболее типичные траектории изменения временных
функций (6.2) для каждого ЙГДт), і —1, 2........ k\
— вычислить момент тж (время жизни), когда функ ция состояния (6.3) достигает значения 1ГД0П, соответ ствующего допустимому запасу (степени) работоспособ ности системы *1.
Для обеспечения тж= тжтаЛ; следует применять раз личные методы оптимизации проектирования систем по критерию надежности. Одним из таких методов явля ется экстраполяция временных зависимостей (6.2)
и (6.3).
Решение поставленной задачи можно осуществлять по трем основным направлениям; в каждом случае используется специальный математический аппарат. Но при оценке характеристик работоспособности проекти руемой системы следует сочетать все эти методы. Исполь зование первого направления связано с получением зависимостей (6.2) и последующей аппроксимацией их аналитическими выражениями, которые можно принять
*> Под степенями работоспособности понимаются различные со стояния объекта, при которых он способен выполнять заданные функции, но с различной вероятностью безотказной работы.
за математические модели Мх изменения параметров Х{. В настоящее время для многих комплектующих изделий зависимости (6.2) известны. Отсюда, зная функцио
нальные связи узлов |
системы, можно перейти от пара |
метров элементов к |
о б о б щ е н н ы м параметрам вы |
сокой степени обобщения, характеризующим состояние узлов и подсистем, и, наконец, к функции состояния системы (6.3). Естественно, характер аппроксимирую щих выражений изменяется от микромоделей вида (5.20) до макромоделей высокого порядка типа (5.23).
Учитывая, что математические модели на практике не являются строго детерминированными, а также при нимая во внимание всевозможные воздействующие фак торы, «деградация» (старение) проектируемой системы, т. е. ухудшение ее характеристик, не будет изменяться по какой-то определенной, заранее вычисленной траек тории.
Применение математических моделей на стадии про ектирования позволяет определить эталонные траекто рии Aw функции состояния для того или иного класса систем. Для конкретной проектируемой системы опре деляется конкретная функция A w , которая уточняется в процессе изготовления и эксплуатации. Если при по лученной закономерности деградации (траектории A w ) системы тах, то необходимо принять меры по обеспечению требований по долговечности.
При вероятностной оценке запаса работоспособности и долговечности проектируемой системы поставленная задача решается методами второго направления. При этом для совокупности параметров (6.1) определяются плотности распределения вероятностей
h(X), Ш ) , ..., fk(X) |
(6.4) |
и исследуются по априорной информации их временные деформации и изменения.
Изменения плотности распределения (6.4) во време ни могут быть учтены, если будут известны временные изменения статистических характеристик распределений. Тогда изменения этих характеристик можно аппрокси мировать математическими моделями вида (5.20) и (5.23). Также могут быть определены эталонные траек тории изменения функций распределения. Точки пере сечения эталонных траекторий и допустимого уровня работоспособности 1ЕД0П соответствуют плотностям рас
пределения, аргументами которых является время жиз ни системы f(t-ж). Отношения правдоподобия позволяют оценить прогнозируемую долговечность проектируемой системы, которая уточняется на стадии эксплуатации.
Третье направление решения поставленной задачи связано с использованием математического аппарата теории распознавания образов. Как известно, теория распознавания образов позволяет на основе априорной информации установить связь между численными зна чениями параметров совокупности (6.1) или функции состояния (6.3), запасом работоспособности и долго вечностью этой системы. Подобные связи используются в качестве критериев при проектировании. Обеспечение определенной совокупности (6.1) или «образа» системы гарантирует необходимую надежность системы.
При решении поставленной задачи для системы в целом необходимо изучить вопросы, имеющие отно шение к определению приращений функции состояния системы через приращения изменяющихся параметров отдельных изделий. Рассмотрим в связи с этим некото рые вопросы прогнозирования изменения работоспособ ности на стадии проектирования. Пусть функция состоя ния (6.3) зависит от изменения параметров элементов или узлов, которые рассматриваются как независимые переменные. Приращения функции состояния будут за висеть от приращений параметров бхі- Зависимость
8W=f(6Xu 6Х2, ..., 8Xh) |
(6.5) |
можно выразить через элементарные математические функции. Любую сложную функцию W=f(Xi, Хг, ..., Хи) можно представить в виде ряда функций:
W = fi (Yl), yi = f2(y2), Yz= fs(Y3), ... |
|
.... Ym= fm(Xit X2, ..., Xh), |
(6.6) |
где fi, f2, ..., fm — элементарные функции. |
функ |
Для наиболее употребительных элементарных |
ций можно определить зависимость приращений функ ций от приращений независимых переменных. Представ ляя исходную функцию рядом неявных функций и при меняя к ним поочередно теоремы приращений элемен тарных функций, можно достаточно просто (минуя опе рации дифференцирования) и точно определить при
зм
ращения исходной функции при вариации независимых переменных [85].
Если функция состояния представлена в виде
то ее относительное приращение при любой величине изменений X и Y равно
6 Г = (6 Х -6 У )/(1 + 6У), |
(6.8) |
где bW = (Wü— W^)/Wq (Wü, |
— начальное |
и текущее |
значения функции состояния).
Аналогичным образом определяются 6А и 6У. Если принять в (6.8) относительные изменения ЬХ, SУ за единицу времени, то это выражение будет представлять собой не что иное, как коэффициент старения системы
по параметрам Х и У. Тогда время жизни проектируе мой системы может быть определено из следующих со отношений
Тж=(^0-№ доп)/Ш '. |
(6.9) |
Если функция состояния представлена |
в виде про |
изведения параметров, т. е. |
|
W ^ l l X i , |
(6.10) |
і=1 |
|
то ее относительное приращение при изменении пара метров равно сумме сочетаний из k относительных при
ращений параметров бАі, öX2, ..., |
öXk по і, |
где і при |
нимает все значения от 1 до k, т. е. |
|
|
k |
|
|
|
b W = % C i(b X lt |
6Х2...... ЬХь). |
(6.11) |
i=I |
|
|
|
Для малых приращений, |
когда |
|8Х|<СІ, |
сочетанием |
элементов ЬХи ЬХ2........bXk по два, по три и т. д. можно пренебречь. Тогда (6.11) перепишется так:
£ б Х г-, ( | 8 Х | < 1). |
(6.12) |
;=i |
|
И наконец, когда функция состояния представлена как сумма:
k |
|
1 Г = Ц Х г-, |
(6.13) |
і |
|
І= I |
|
при любом изменении параметров X относительное при ращение
k |
|
b W = '£ (X ilW )b X i. |
(6.14) |
i=i |
|
Поскольку обычно функции состояния (коэффициен |
ты передачи) представлены в виде дроби |
(6.7), произве |
дения (6.10) или суммы (6.13), то в большинстве слу чаев приращение функции состояния можно выразить через приращения параметров системы.
Необходимо отметить, что при постановке задачи должны быть оговорены условия работоспособности {см. (5.16)], описаны степени работоспособности и опре делена область работоспособности проектируемой си стемы. Изменения функции состояния W должны по стоянно оцениваться при помощи критериев работоспо собности системы.
При учете всех изменений 6Хі, г=1, 2, ..., k расчеты получаются достаточно громоздкими, причем зачастую невидно, какие параметры в первую очередь определяют состояние системы. Для ограничения числа k и оценки
|
влияния параметра Л,- на |
изменение функции |
состоя |
|
ния W обычно используют |
чувствительность или коэф |
|
фициент влияния Zi [85]: |
|
|
|
7 _ \dW X t |
(6.15) |
|
— d X t ' W ' |
|
|
|
Параметры с малыми 2 { |
не учитываются при опреде |
|
лении 6W. Кроме того, влияние Хі может быть опреде |
|
лено с помощью весовых коэффициентов щ: |
|
|
хі= б Г і№ , |
(6.16) |
которые определяют приращение функции состояния, вызванное изменением і-го параметра. Параметры, ото бранные по значениям Z2- и щ, должны достаточно пол но характеризовать состояния проектируемой системы.
Выражение (6.16) позволяет записать более целе сообразную форму зависимости (6.5):
6И7= %ідХі + X2 ÖX2 + ... |
(6.17) |
Приращение 8Х{ характеризует собственное измене ние параметра узла, вследствие разброса параметров элементов, временных изменений параметров элементов
