Файл: Стабильность свойств ферритов. (Анализ физических свойств при внешних воздействиях, прогнозирование. Элементы проектирования).pdf

ратуре хранения по известным (Лц/ц) были вычислены коэффициенты А и q; (ДрУр)т= — 5,3-х0’25.

В табл. 50 приведены значения Др/р, вычисленные аналитически. С увеличением времени хранения данные контроля подтверждают вполне приемлемую точность прогнозирования.

корреляции между значениями параметра в различные дискретные моменты времени, можно воспользоваться элементами регрессионного анализа.

Пусть X— текущее, а у — предсказываемое значения контролируемого параметра изделия и соотношение

300

между ними определяется их распределением. Тогда связь между прогнозируемыми значениями параметров X и У отличается от функциональной. И пусть средние значения одной величины обнаруживают известную за­ висимость от соответствующих значений другой величи­ ны. Тогда можно построить эмпирическую формулу вида

Y=a + bX,

которая называется уравнением регрессии [144].

Непосредственно уравнение регрессии для решения задачи прогнозирования записывается как

где п — число изделий в прогнозируемой партии.

Как видно из (5.27), конечный результат существен­ но зависит от количества известной информации, по­ этому для малого п, очевидно, при вычислении коэффи­ циента ірегрессии погрешности 'будут значительными. Для устранения этого недостатка следует определять р предложенным ранее способом. Кроме того, для прогно­ зирования необходимо знать заранее коэффициент ре­ грессии. С помощью полученных по ограниченной информации уравнений регрессии осуществляется про­ гнозирование значений индуктивности ферритовых сер­ дечников во временном промежутке 0—т, для которого вычислен коэффициент регрессии.

301

Так, для конкретного случая для ферритов марки 2000НМ1 были ‘получены уравнения

= 1 000 ч и т = 2 000 ч.

На рис. 5.24 построены интегральные функции рас­ пределения экспериментальных Тэксі/, Тэксп" и прогно­ зируемых Т ’п р о п / , Т ’п р о п / ' значений индуктивности (а —

прогноз на 1 000 ч; б —прогноз на 2 000 ч). Точность прогноза достаточно высокая. Среднеквадрэтическое от­ клонение экспериментальной функции распределения от полученной путем прогнозирования для т=1 000 ч равно 0,0190, для т = 2 000 ч равно 0,0262. Преимуществом ме­ тода является возможность прогнозирования значений параметра при известном коэффициенте регрессии по единственному нулевому распределению.

Прогнозирование при известном законе распределения. Задача прогнозирования может отличаться от ранее рассмотренной принципом определения прогнозируемой величины, когда требуется определить вероятность невы­ хода за допустимые пределы значений параметра в бу­ дущие моменты времени. В этом случае сформулируем задачу следующим образом.

3 0 2

нение х(т) в области Й2 .

Такое решение задачи прогнозирования иногда назы­ вают в е р о я т н о с т н ы м [14].

Пусть известны законы распределения х в каждом временном сечении x(fz(x) и Fz(x)); эти законы харак­

теризуются математическим ожиданием тх и диспер­ сией Dx. Поскольку па­

раметры изделий являют­

также функциями време­ ни; тх(т) и Dx(т), т. е.

руемых параметров х(х)

вданном случае сводится

копределению момента

вбудущем, когда нару­

стимая вероятность. Это можно выполнить, экстраполи­ руя тх с помощью математической модели (5.24) при условии, что Dx= const.

Учитывая это, нормальный закон, которому подчи­ нено распределение параметров ферритов, для случаев одностороннего предела примет вид:

где еДоп —Ядоп—>пх\ Хдоп — допустимое значение контро­ лируемого параметра; Ф — функции Лапласа, для кото­ рых составлены таблицы [19].

При осуществлении вероятностного прогнозирования весьма ценной является возможность решения обратной задачи. При этом определяется, через какой интервал времени (время жизни тж) вероятность выхода за до­ пустимые пределы достигнет значения Рхяоп. Выражение (5.28) можно переписать

Преимущество этого метода состоит в том, что ве­ роятность нахождения параметра в допустимых преде­ лах характеризует надежность изделий, а прогнозиро­ вание этой величины во многих случаях крайне необ­ ходимо.

Если вернуться к примеру прогнозирования норм ухода параметров ферритов на стадии хранения, то можно отметить, что значения параметров партии изде­ лий обладают определенной дисперсией. Поэтому нор­ мы ухода целесообразно прогнозировать вероятностны­ ми методами.

Воспользуемся выражением (5.29); пусть РДОп=0,99. Тогда аргумент функции Лапласа 2доп=1,85 и выраже­ ние для норм ухода (Ац/[х)ДОп примет вид:

Прогнозирование при неизвестном законе распреде­ ления. На практике часто текущая информация не опре­ деляет однозначно закон распределения контролируемо­ го параметра. Тогда для решения поставленной задачи могут быть использованы вероятностные неравенства, в частности наиболее распространенное из них неравен­ ство Чебышева [14], которое для задачи прогнозирова-

304

ния параметров ферритов имеет вид:

значение Хдоп, Вдоп= -^доп м-х- Время жизни в данном случае вычисляется по фор­

муле:

(5.31)

В(5.30), (5.31) предполагается, что Dx= ox2= const.

Неравенство Чебышева дает сравнительно грубую

тем, что получается результат, наихудший из возможных при любом законе распределения.

Прогнозирование с помощью математических мето­ дов теории распознавания образов. В этом случае зада­ ча прогнозирования сводится к задаче статистической классификации, т. е. по изменениям параметров в огра­ ниченной области £2 или по их значениям в единствен­ ном временном сечении необходимо отнести изделия к тому или иному классу. Классы объединяют группы изделий, которые характеризуются определенной общ­ ностью или сходством.

Если можно достаточно точно (в виде конкретных признаков — параметров) сформулировать то общее, что объединяет изделия в классы, то задача распознавания сводится к сравнению признаков предъявляемых изде­ лий с заранее известными, эталонными. При геометри­ ческом представлении каждому изделию соответствует точка в многомерном пространстве параметров. Очевид­ но, что сходным изделиям соответствуют близкие точки и классы легко различимы, если точки, принадлежащие им, располагаются кучно. Иными словами, эти методы основываются на том, что изделия, имеющие в среднем равную долговечность или одинаковую степень работо­

мощью различных критериев отнести изделие по долго-