Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 1
Л. С. П О Н Т Р Я Г И Н
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М О С К В А 1 9 7 4
517.2
II56
УДК 517.9
гвС.публичная
каучьо-тгехн*_.е «а* |
Ж |
- |
библиот s»*** vv^-r |
1ЭКЗЕМПЛЯР
!ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА
'умчззъз
20203— 020
14-74
053(01)-74
СОДЕРЖАНИЕ
От автора .............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
; |
5 |
||
Г л а в а п е р в а я . |
В в е д е н и е .......................................................................... |
|
|
|
|
7 |
|||
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка |
......................... |
|
7 |
||||||
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования...................... |
|
13 |
|||||||
§ |
3. |
Формулировка теоремы существования и единственности . . . |
21 |
||||||
§ |
4. |
Сведение общей |
системы |
дифференциальных |
уравнений |
к |
25 |
||
|
нормальной.................................................................................................. |
дифференциальные |
уравнения |
|
|
||||
§ 5. |
Комплексные |
|
|
32 |
|||||
§ |
6. |
Некоторые сведения о линейных |
дифференциальных уравне |
38 |
|||||
|
ниях ............................................................................................................ |
|
|
|
|
|
... |
||
Г л а в а |
в т о р а я . Линейные уравнения |
с постоянными коэффи |
41 |
||||||
|
|
циентами ............... |
|
..................................................................................... |
|
|
|
|
|
§ |
7. |
Линейное однородное уравнение с постоянными коэффици |
42 |
||||||
§ |
|
ентами (случай простых корней ) |
|
коэффициен |
|||||
8. Линейное однородное уравнение с постоянными |
50 |
||||||||
§ |
9. |
тами (случай кратных корней) ........................................................... |
|
|
|
||||
Устойчивые многочлены ....................................................................... |
|
|
|
|
58 |
||||
§ |
10. |
Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффици |
62 |
||||||
|
|
ентами ......................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
§ И. Метод исключения ................................................................................ |
|
|
|
|
67_ |
||||
§ 12. Метод комплексных амплитуд ........................................................... |
|
|
|
75 |
|||||
§ |
13. |
Электрические |
цепи ............................................................................ |
|
система с постоянными |
ко |
80 |
||
§ |
14. |
Нормальная линейная однородная |
93 |
||||||
§ |
15. |
эффициентами |
......................................................................................... |
|
|
|
|
||
Автономные системы дифференциальных уравнений и их фа |
103 |
||||||||
§ |
|
зовые пространства ................................................................................ |
|
|
|
|
|||
16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоян |
115 |
||||||||
|
|
ными коэффициентами ....................................................................... |
|
|
|
|
|||
Г л а в а |
т р е т ь я . Линейные уравнения |
с переменными коэффи |
128 |
||||||
|
|
циентами .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 17. Нормальная система линейныхуравнений .................................... |
|
|
128 |
||||||
§ |
18. |
Линейное уравнение я-ro порядка ............ ................................. |
: |
|
|
139 |
|||
§ |
19. Нормальная |
линейная однородная |
система с периодическими |
|
|||||
|
|
коэффициентами...................................................................................... |
|
|
|
|
148 |
||
Г л а в а |
ч е т в е р т а я . |
Теоремы |
существования ............................... |
|
|
15'2 |
|||
§ |
20. |
Доказательство теоремы существования и единственности для |
1г>2 |
||||||
§ |
21. |
одного уравнения ................................................................................... |
|
|
|
|
|||
Доказательство теоремы существования и единственности для |
|
||||||||
|
|
нормальной системы уравнений....................................................... |
|
|
|
1®1 |
|||
1
4 |
СОДЕРЖАНИЕ |
§22. Непродолжаемые решения .................................................................
§23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и
параметров ...............................................................................................
§ 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и
параметрам ................................................................................................
§25. Первые интегралы ................................................................................
Гл а в а п я т а я . Устойчивость ....................................................................
173
178
185
196
204
§ 26. |
Теорема Ляпунова ................................................................................ |
|
205 |
|
§ |
27. |
Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского) |
218 |
|
§ |
28. |
Предельные циклы ................................................................................ |
|
224 |
§ |
29. |
Ламповый генератор............................................................................. |
второго порядка |
244 |
§ |
30. |
Положения равновесия автономной системы |
251 |
|
§ 31. Устойчивость периодических решений ........................................ |
|
268 |
||
Д о б а в л е н и е 1. Некоторые вопросы анализа .................................. |
|
284 |
||
§ 32. Топологические свойства евклидовых пространств................... |
284 |
|||
§ 33. Теоремы о неявных функциях .......................................................... |
|
298 |
||
Добавле ние II. Линейная алгебра ......................................... |
• . |
309 |
||
§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен..................................... |
|
309 |
||
§ |
35. |
Функции матриц ................................................................................... |
|
316 |
§ 36. Жорданова форма матрицы .............................................................. |
|
323 |
||
Предметный указатель ......................................................................................... |
|
329 |
||
ОТ АВТОРА
Эта книга написана на основе, лекций, которые я в течение ря да лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории
автоматического управления. Эти применения |
и послужили руковод |
||||||
ством |
при |
выборе |
материала для моих |
лекций. |
Теория |
колебаний |
|
и теория автоматического управления, несомненно, |
играют очень важ |
||||||
ную |
роль |
в развитии всей современной материальной |
культуры, |
||||
и потому я |
считаю, |
что такой подход |
к |
выбору материала для |
|||
курса лекций является, если и не единственно возможным, то во
всяком случае разумным. Стремясь |
дать |
студентам |
не |
только |
чисто |
|||||
математическое орудие, пригодное для применений в |
технике, но |
|||||||||
также продемонстрировать и сами применения, я |
включил |
в |
лекции |
|||||||
некоторые |
технические вопросы. В книге они изложены |
в § |
13, 27, |
|||||||
29. Эти |
вопросы составляют неотъемлемую органическую часть |
|||||||||
моего курса лекций и, соответственно, этой книги. |
|
|
|
|
||||||
Кроме |
материала, излагавшегося |
па |
лекциях, |
в |
книгу |
включены |
||||
некоторые |
более |
трудные вопросы, |
разбиравшиеся |
на |
студенческих |
|||||
семинарах. |
Они |
содержатся в § 19, |
31 |
книги. |
Материал, |
содержа |
||||
щийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год.
Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использую щийся в нем. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множеств
6 ОТ АВТОРА
расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной
алгебре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом, втором издании по новому изложены |
теоремы |
о |
непре |
||||||||
рывной зависимости |
решений от начальных |
значений |
и |
параметров, |
|||||||
а также о дифференцируемости решений по |
этим |
величинам. |
Сдела |
||||||||
ны также многие более мелкие исправления. |
|
|
|
|
|
|
|||||
В заключение я |
хочу |
выразить |
благодарность |
моим |
ученикам |
||||||
и ближайшим товарищам |
по работе В, |
Г. |
Болтянскому, |
Р. |
В. |
Гам- |
|||||
крелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке |
и |
чте |
|||||||||
нии лекций, а также |
при |
написании |
и |
редактировании |
этой |
книги. |
|||||
Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александ ром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долго летние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.
Л. С. Понтрягин
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое система обыкно венных дифференциальных уравнений, что называется ее решением и как много этих решений существует — таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не дока зываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда дру гих теорем того же типа дается в четвертой главе, а до этого сфор мулированные в первой главе теоремы многократно используются, чем выясняется их значение. Кроме этих основных сведений, в первой главе приводятся решения дифференциальных уравнений нескольких простейших типов. В конце главы рассматриваются комплексные диф ференциальные уравнения и их комплексные решения и приводятся простейшие замечания относительно систем линейных дифференциаль ных уравнений.
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения,
в которых неизвестными являются функции одного или нескольких
переменных, причем |
в уравнения |
входят не только |
сами функции, но |
|
и их производные. |
Если неизвестными функциями |
являются |
функции |
|
многих переменных, |
то уравнения |
называются уравнениями в |
частных |
|
производных, в противном случае, т. е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем мы будем иметь дело только с последними.
Так как в ряде физических применений независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через t, то всюду в дальнейшем неза висимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через х, у, z и т. д. Производные функций по t