Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

Скачать файл (11,11Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 36]	ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ		3 2 3
Г) Аналитическая функция ez комплексного			переменного z
определяется рядом
	в' = 1 + *	+ £ + ... + S + - -	(,9>
который	сходится при всех	значениях переменного	z. Как известно,

для двух произвольных комплексных чисел z и w имеет место тождество ez + ® = ez • ew, вытекающее из свойств ряда (19). Отсюда следует, что для двух перестановочных между собой квадратных матриц А и В имеет место тождество

еА + В — еА . еВ'	( 20)
Оказывается, что для любой невырожденной матрицы А	существует
перестановочная с А матрица В, удовлетворяющая условию
еВ = А.	(21)

Далее оказывается, что для любой действительной невырожденной матрицы А существует действительная матрица В и перестановочная с Л и удовлетворяющая условию

е = Л2.	(22)
Для доказательства разрешимости	уравнения (21) относительно

В достаточно применить предложение В) к функции F (z,w) — ew — z. В самом деле, так как матрица Л невырождена, то все ее собствен ные значения Af отличны от нуля, и потому существуют числа [л,, удовлетворяющие условию с11/ — ).,■= 0 (см. первое из соотношений (13)), причем второе из соотношений (13) здесь, очевидно, выполнено.

Для доказательства		существования действительной					матрицы Вj,
удовлетворяющей условию			(22),	достаточно к	функции P(z,w)=*
= ew — za~ применить вторую часть предложения					В).	В	самом	деле,
если А,- есть действительное, положительное					или	отрицательное
число,	то положим [л,-=	In Af, взяв		действительную ветвь			логарифма.
Если	же А,- — комплексное		число, то за ^(А,) и		W (Аг)		можно	при
нять комплексно сопряженные числа.
Итак, предложение		Г) доказано.
	§ 36. Жорданова форма матрицы
А)	Последовательность		векторов
			fti, .... h m					(1)

пространства R называется серией с собственным значением А отно сительно преобразования А, если выполнены соотношения

h i	A h i = t-h b A h i — kh.L -J-ftx,..., A h m = Ш т -j-h m A .

324		ДОБАВЛЕНИЕ И. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Если матрица А преобразования А действительна, то						последователь
ность
			К	hm,			(2)
очевидно,	образует		серию с	собственным значением		X. Серии	(1)
и (2) будем называть комплексно сопряженными.					Если число		X и
векторы	(1)	действительны,		то серия считается	действительной.
Т е о р е м а		30.	Существует базис пространства			R, состоят,ий

из всех векторов одной или нескольких серий относительно пре образования А. Если матрица А действительна, то серии, состав ляющие базис, можно выбрать так, чтобы серии с действитель

ными собственными значениями были действительными,								а серии
с комплексными собственными				значениями			были попарно	сопря
жены.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть
	Д(2) =	(г -Х ,)* ‘			...	(* -Х ,)* '		(3)
— минимальный аннулирующий матрицу						А многочлен, где
			Х„ ....		X,
— попарно различные собственные					значения		матрицы А.	В силу
предложения Ж) § 34 пространство R можно разбить в								прямую
сумму его подпространств St, ..., Sr,					соответствующих множителям (3),
так	что пространство 5 г	состоит		из	всех векторов х, удовлетворяю
щих	условию (А — XiE)k‘x =		0.	Это	значит, что аннулирующим мно
гочленом преобразования		А,	рассматриваемого				на пространстве S,,

является многочлен (z — Хг) '. Легко видеть, что этот многочлен явля ется минимальным.

Допустим, что матрица А действительна. Объединим сначала все множители из (3) с действительными Хг в множитель Aj (г), а все остальные — в множитель (г). Тогда Д (г) — А, (г) Д 2(г) есть раз ложение на действительные взаимно простые множители, и соответ ствующее разложение пространства R в прямую сумму подпространств Ri и Rt можно считать действительным. Пространство R t разобьем теперь в прямую сумму действительных слагаемых, соответствующих действи тельным собственным значениям Хг, и в этих действительных прямых слагаемых мы в дальнейшем построим базисы, состоящие из действи тельных серий. Пространство R2 разобьем на попарно комплексно сопряженные прямые слагаемые, соответствующие комплексно сопря женным собственным значениям, и в этих комплексно сопряженных про странствах мы в дальнейшем построим базисы, состоящие из комплексно сопряженных серий; при этом достаточно построить базис из серий в од

ном	из двух комплексно сопряженных пространств, а во втором
взять	комплексно сопряженный баз^с.

§ 36]	ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ		325
Итак, нам	достаточно доказать,	что если линейное	преобразова
ние А, действующее в векторном		пространстве 5, имеет минималь

ный аннулирующий многочлен (z — X)*, то в этом пространстве можно

выбрать базис, состоящий из серий

относительно

преобразования

А,

причем из серий действительных,

если

пространство 5,

матрица А

число

X действительны.

Перейдем к доказательству этого утверждения. Для краткости по

ложим

С — А — Х£ и

обозначим

через Ti совокупность всех векто

ров

из 5,

удовлетворяющих условию

С'х =

Мы

имеем тогда

7'« = 0 .

Пусть

h),

...,

ftf

( /= 1 ,

..., к)

— система векторов из Т1,

линейно

независимых

относительно про

странства Т‘~и, это

значит,

что вектор

f l iA } - f - . . . - j - a r h i

может

принадлежать

пространству

Т‘~х лишь при условии

Покажем, что при

фиксированных I

и j

векторы

h U j = C ’ K

V < i )

принадлежат

пространству

Tt _j и

линейно

независимы

относительно

пространства

Мы

имеем:

C i ~Jh i - j = C

ihai = 0

( а = 1 ........

г),

и, следовательно, векторы (4) принадлежат пространству

T{_j. До

пустим теперь, что вектор

a\h)—j + ••• +

arh i - j = x

принадлежит

пространству

Тогда имеем:

0 =

C l - J- ' x

C* - 1(a1h) +

...

- f a , А'),

а это

значит,

что

вектор a t ft! -)-

...

-]- a r h r.

принадлежит

простран

ству

Tt_x и потому числа

а„

аг

равны

нулю.

Выберем

теперь

максимальную

систему

векторов

(5 )

3 2 6

ДОБАВЛЕНИЕ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

пространства Тк, линейно независимых относительно пространства Тк_1. По доказанному векторы

(а = 1, ... , гк)

(«)

принадлежат пространству Tk_t и линейно независимы относительно пространства 7'ft_s; таким образом, систему (6) можно дополнить до максимальной системы

ftк—I ’

ftк- 1

(rk- i ^ r k)

(7)

векторов пространства Тк_„ линейно независимых относительно про странства Т k_i. Продолжая этот процесс дальше, мы построим в пространстве ^ (/^ > 0 ) максимальную систему векторов

h \,

. . .

, h r i ,

(8)

линейно независимых относительно пространства

Tt_lt

причем

будут

выполнены

соотношения

ft1 = <Ж ,

( г =

1 ,

'1+ 1> П 5гП + !)-

Докажем теперь, что совокупность Vy всех

векторов,

принадле

жащих всем системам

(8),

/ =

у, у — 1,

... ,

составляет базис про

странства

Т ]. Доказательство

будем вести индуктивно по числу у.

Для ] — 1 система V,

совпадает

с системой (8)

при j =

потому

является базисом пространства

7\(Т№— 0). Допустим,

что

наше

ут

верждение

доказано для

системы

£у>

докажем

его

для

системы

,. Допустим, что имеет

место

соотношение

a, ft' +

в,/ + , hr] f t - f

ft, ft' 4-

... +

brj H'j -f- ...

== 0.

(9)

Применяя

к соотношению

(9)

преобразование

В1,

получаем:

a, ft14- ...

-4- ar

йгЯ-1 =

1+ i

а это возможно лишь при условии ах—

...

= а г

= 0 ;

таким

об

разом, в соотношение (9)

могут

входить

лишь

векторы

системы

и, следовательно, по предположению индукции, соотношение (9) три

виально.	Пусть теперь х — произвольный вектор пространства					7)+1.
Так как	система	(8) при / = у — 1 есть		максимальная линейно		неза
висимая	система	относительно пространства			Ту, то существует	такой
вектор
		y ~ a \ h ) + \ - J -	. . . +	a r y + i й ;/ + 1 ,
					у Н-1
что вектор х —у принадлежит			пространству		7У и в силу предложе

5 36]

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ

827

ния индукции выражается линейно через векторы системы \]у, а »то значит, что вектор X выражается линейно через векторы системы

Итак,	доказано, что система	есть базис	пространства	5 = Г*.
Если	пространство 5, матрица А и число		X действительны, то,
выбирая	векторы системы (5) действительными,		мы получаем	дейст

вительную систему (6), которую можно дополнить до действительной

системы	(7).	Продолжая		таким	образом, мы		получаем	д е й с т в и
т е л ь н у ю систему
Покажем теперь, что система					состоит из		серий.	Именно,	по
кажем, что векторы			Щ, h*, ... образуют			серию	с собственным		зна
чением	X. Мы	имеем:
			О = СЩ = {А — Х£) Л«,
так что	Ah— Hi', далее,
			h] =	Ch* — (А — Х£) h*,
так что	Ahl — Xft* -)- ft’, и т. д.
Итак, теорема 30 доказана.									А
В построенном согласно теореме 30						базисе	преобразованию		А
соответствует		уже	не исходная		матрица	А = (а'.), а некоторая			но

вая матрица В = (Ьр1, имеющая особо простую форму, называемую

жорданоеой. Таким образом, теорема 30 является теоремой о при ведении матрицы к жорданоеой форме. Разберем этот вопрос подробнее.

Б) Жордановой клеткой порядка т с собственным значением X называется квадратная матрица (g'p порядка т, определяемая соот ношениями

g'. = \,	/ = 1 ,	...	,	от;	£\|. + 1= i,			t —	т — 1;
	g j = 0	при у — I <^0				и при у — i			1,
т. е. матрица			/X	1	0 .	.	0
			/X	1	0 .	.	0	° \
			0	X	1 .	.	0	0
			0	0	X .	.	0	0
			0	0	0 .	.	х	1
			\ о	0	0 .	. о		х/
Оказывается, что для каждой					квадратной матрицы А порядка п
можно подобрать такую			невырожденную					квадратную матрицу S, что
матрица В — SAS~l, получаемая					из матрицы А путем трансформации
матрицей	имеет	ж о р д а н о в у				форму , т. е.			состоит из одной

Смотрите также файлы

Занятие 5 Анализ микросреды организации Цель работы изучить методику анализа параметров внутренней среды организации.docx

Мектепке даярлы тобы Абота. ыркйек айы 2022ж.docx

Конспект в зависимости от цели высказывания в английском языке существуют следующие виды предложений.doc

Программирование (Python) Одномерные массивы.pptx

Давайте протянем руку природе!.docx

Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно