Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8

ВВЕДЕНИЕ

 

 

[Гл.

I

будут,

как правило, обозначаться точками: х =

dx ■

d^x

и т-

Д-

— ,

 

В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указы­

вать

порядок

производной

верхним

индексом в скобках; например,

v-( л) _dnx

 

 

 

 

~

dtn'

очередь мы

займемся

рассмотрением о д н о г о

д и ф ­

В

первую

ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я п е р в о г о п о р я д к а ,

т. е.

уравнения, в которое входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде:

F(t, х, х ) = 0.

(1)

Здесь t — независимое переменное, х — его неизвестная

функция,

dx

j£=r — — ее производная, a F — заданная функция трех переменных.

Функция

F может быть задана не для всех значений ее

аргументов;

поэтому

говорят об области В задания функции

F. Здесь имеется

в виду

множество В

точек координатного пространства

трех

пере­

менных

t, х, Л. Решением уравнения (1) называется

такая

функ­

ция jc =

tp(i) независимого переменного t, определенная на некотором

интервале г1<^<<^г2

(случаи г, =

— оо, rs = -|- оо

не

исключаются),

что при

подстановке

ее вместо х

в соотношение

(1)

мы получаем

тождество на всем интервале r i< ^ < V 8. Интервал

rj< ^ < V a

назы­

вается интервалом определения решения y(t). Очевидно, что под­

становка

х = ср (f) в

соотношение (1) возможна

лишь тогда, когда

функция

<р (t) на всем

интервале r ,< ^ < V a имеет

первую производ­

ную (и, в частности, непрерывна). Для того чтобы подстановка дг==<р(<) в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы при произвольном значении переменного t из интервала г ,< ^ < V S точка с координатами (£,?(<)> Ф(0) принадлежала множеству В, на котором определена функция F.

Соотношение (1) связывает три переменные величины t, х, х . В не­ которых случаях оно определяет переменное х как однозначную неявную функцию независимых переменных t, х . В этом случае диф­ ференциальное уравнение (1) равносильно дифференциальному урав­

нению вида

 

£ * = f(t,x ) .

(2)

Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относи­ тельно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1). Именно уравнения, разрешенные относительно производной, мы и будем те­ перь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (2) получено в результате разрешения относительно х уравнения вида (1), а будем исходить из функции f(t, х) как из заданной функции двух независимых переменных t, х.

5 П

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

УРАВНЕНИЕ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

9

 

Для

того

чтобы

пользоваться наглядными геометрическими пред­

ставлениями,

мы

введем

в рассмотрение координатную плоскость Р

переменных t и х. При

этом

t как независимое переменное мы бу­

дем

откладывать

по

оси

абсцисс,

а

х как

зависимое переменное —

по оси

ординат.

 

Функция / ,

определяющая

дифференциальное

урав­

нение (2),

может

быть

 

задана

не

 

 

г

 

для

всех

значений

своих

аргумен­

 

 

 

тов t и at, или, говоря геометри­

 

 

 

 

ческим языком, не во всех точках

 

 

 

 

плоскости

Р, а лишь в точках

не­

 

 

 

 

которого множества

Г плоскости

Р

 

 

 

 

(рис. 1). Относительно множества Г

 

 

 

 

мы в дальнейшем всегда будем

 

 

 

 

предполагать,

что

оно является

от­

 

 

 

 

крытым.

Это

значит,

что

наряду

 

 

 

 

с каждой точкой р в Г входит и

 

 

 

 

некоторый

 

круг

 

положительного

 

 

 

 

радиуса

с

центром

в р

(см.

§

32).

 

 

 

 

Относительно

функции

 

/

будет

 

 

 

 

предполагаться,

что

как

она

сама,

так

и

ее частная производная

являются непрерывными функциями пары переменных t, х на всем

множестве Г. Решение x = y(t) уравнения (2) будем геометрически изображать в плоскости Р в виде кривой с уравнением л; = ср(<). Кривая эта в каждой точке имеет касательную и полностью прохо­ дит в открытом множестве Г; она называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2).

 

Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я и е д и н с т в е н н о с т и

 

Известно, какую большую

роль

в алгебре играют теоремы,

отве­

чающие на вопрос о том, сколько

решений имеет та или другая си­

стема

алгебраических уравнений. Такова, например,

о с н о в н а я

те о ­

р е ма

а л г е б р ы , утверждающая,

что многочлен л-й степени всегда

имеет

ровно п корней (считая

с их кратностями).

Точно так

же в

теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифферен­ циальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное

уравнение имеет

б е с к о

н е ч н о е множество решений, и потому при­

ходится ставить

вопрос

не о числе решений, а о том, как можно

описать совокупность всех решений данного дифференциального урав­

нения. Ответ на этот

вопрос дает

т е о р е м а

с у щ е с т в о в а н и я и

е д и н с т в е н н о с т и

(теорема 1),

которая в

этом параграфе приво­

дится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. § 20).

10

ВВЕДЕНИЕ

[Гл. !

Т е о р е м а

1. Пусть

 

 

х )

(3)

— дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t, х ) задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х. Относительно функции / будем предполагать,

что она сама и ее частная производная

являются

непре­

рывными функциями на всем открытом

множестве Г. Теорема

утверждает, что:

 

 

 

1)

для всякой точки (/0, лг0) множества

Г найдется решение

х = ?(/) уравнения (3), удовлетворяющее условию

 

 

<?((<>) = х 0;

 

 

(4)

2)

если два решения x = if{t) и x =

i(()

уравнения (3)

совпа­

дают

хот я бы для одного значения t =

t0,

т. е. если

 

?(*о)=Х(*о).

то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены.

Числа

/0, х 0

называются

начальными

значениями

для решения

х — <р (0.

а соотношение (4) — начальным условием для этого

реше­

ния.

Говорят также, что решение лг= ср(/)

удовлетворяет начально­

му условию (4) или же что

оно

имеет

начальные

значения

t0, х 0.

Утверждение, что решение x = y(t) удовлетворяет

начальному

усло­

вию

(4)

(или

имеет

начальные значения

£0,

лг0),

предполагает,

что

интервал

rl < ^t< ^ri определения

решения

л: =

<р(<) содержит

точку ta.

образом, теорема

1

утверждает,

что

координаты

любой

Таким

точки (^о,

*„)

множества Г являются начальными

значениями для не­

которого

решения уравнения (3) и что два решения с общими началь­

ными значениями совпадают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическое содержание

теоремы

 

1 заключается в том, что

через каждую

точку (ta, jt0) множества Г проходит одна и толь­

ко одна интегральная кривая уравнения (3) (см. рис. 1).

 

Говоря, что

через

каждую

точку (^в,

дг0) множества Г проходит

«только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточ­

ность. В

самом деле, решением

уравнения (3) называется функция

X —

заданная

на

вполне

определенном интервале

r1< ^ < C ,V

Наряду с этой функцией может существовать функция дг=

ф(0,

также удовлетворяющая

уравнению (3)

и

имеющая те же

начальные

вначения

t0, лс0, но

заданная на

другом

интервале

 

Вто­

рая часть теоремы 1 утверждает

лишь,

что функции <р (t)

и ф(£)

сов­

падают там, где они обе определены,

но вовсе не утверждает,

что

интервалы их определения

и Si< ^t< ^st одинаковы.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

УРАВНЕНИЕ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

11

Если один из интервалов,

например Si< ^t< ^sit полностью содер­

жит другой,

то мы будем говорить,

что

решение х = ф(£),

заданное

на интервале

s{<^t <^в.г, является

продолжением

решения

лг= ср(0-

Естественно

сосредоточить все внимание

на тех

решениях,

которые

нельзя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми. Нетрудно доказать (но это будет сде­ лано позднее, см. § 22), что каждое решение может быть продол­

жено до непродолжаемого и при­

 

 

том единственным способом. Если

 

 

теперь подразумевать под интег­

 

 

ральной кривой график непродолжа­

 

 

емого

решения,

то

утверждение

 

 

о

том,

что

через

каждую

точ­

 

 

ку

(*0,

х л)

проходит

единственная

 

 

интегральная

кривая,

становится

 

 

точным.

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждое решение д; = ср(£)

урав­

 

 

нения

(3)

мы

интерпретировали

 

 

геометрически в виде графика функ­

 

 

ции (р(<). Дадим теперь геометри­

 

 

ческую

интерпретацию самого

уравнения

(3). Через

каждую точку

(t,

х) множества

Г проведем прямую 10х

с угловым

коэффициентом

f(t, х). Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и гео­ метрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2),

что

любая

интегральная кривая х = <f (t) в каждой своей

точке (t, <р (t)) касается

прямой lt, f (/).

 

 

 

П р и м е р ы

1.

Для

того чтобы

проиллюстрировать значение теоремы 1

(в данном случае второй ее части), решим дифференциальное ура­

внение

 

 

х = а х,

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

где

а — действительное число. Здесь

 

 

 

 

 

 

 

/ (t, х) = ах,

 

 

 

так

что

функция / в

действительности

зависит

лишь от

перемен­

ного х.

Множество точек, на котором определена

функция /, в дан­

ном

случае

совпадает

со всей плоскостью Р.

Как сама

функция

/ (t,x) =

a x,

так и ее

производная

— а являются непрерыв­

ными функциями переменных t и х во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (5) применима. Непосредственной

Смотрите также файлы