Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

12

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Гл. I

подстановкой в

уравнение

(5)

проверяется,

что

каждая

 

функция

 

 

 

 

 

 

 

х = се*1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

где

с — произвольное

действительное

число,

является

решением

уравнения (5). Решение это

непродолжаемо,

 

так

как

оно

задано

уже

на всей

прямой — oo< ^t< ^oo.

Покажем,

что,

 

придавая

все­

возможные

значения числу

с,

мы получим

в с е

решения

уравнения

(5).

Пусть

x =

y{t) — произвольное

решение

этого

уравнения. По­

кажем,

что

при

надлежащем

выборе

числа

с

мы имеем y(t) — ce%t.

Пусть

t0— некоторая

точка

интервала

существования

 

решения

ср (t)

и

х 0 =» <р (^о)-

Положим

с — х ^ - ^ о .

Тогда

решения

 

x — y(t)

и х =

сел( =

 

уравнения (5)

имеют

одинаковые

начальные

значения (t0, лг„) и потому в силу второй части теоремы 1

совпадают. Таким

образом, формула (6) исчерпывает совокупность

всех

решений

диф­

ференциального

уравнения (5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Дадим математическое

описание

п р о ц е с с а

р а с п а д а

ра­

диоактивного вещества. Количество вещества,

еще

не

распавшегося

к

моменту

времени t,

обозначим через

лг(0-

Из

физических

сообра­

жений следует, что (если нет условий для возникновения цепной

реакции) скорость распада, т. е.

производная x(t),

пропорциональна

имеющемуся количеству

нераспавшегося

радиоактивного

вещества:

 

 

 

 

X (t) =

— Р X (t).

 

 

 

 

Здесь р — постоянный

положительный

коэффициент

пропорциональ­

ности, зависящий от свойств радиоактивного вещества,

а знак

ми­

нус в

правой

части

означает,

что

х (t)

убывает.

Мы

видим,

что

функция

х (t)

удовлетворяет простейшему

дифференциальному

ура­

внению,

рассмотренному

в примере 1,

так

что

 

 

 

х (t) = се~$с.

Для определения константы с достаточно указать какие-либо

начальные значения. Если, например,

известно,

что

в

момент времени

< = 0 имелось количество вещества

х 0, то с =

х 0,

и

мы имеем:

х (() = х 0е~?‘.

Скорость распада выражается эдесь величиной р размерности \/сек. Часто вместо величины р скорость распада характеризуют так на­ зываемым периодом полураспада, т. е. временем, за которое распа­ дается половина имеющегося запаса вещества. Обозначим период полураспада через Г и установим связь между величинами р и Г. Мы имеем:

откуда

2.

5 21

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

13

 

§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования

 

 

Главной задачей, возникающей перед нами, когда мы имеем дело

с дифференциальным уравнением, является задача отыскания его решений. В теории дифференциальных уравнений, так же как в алгебре, вопрос о том, что значит найти решение уравнения, можно понимать по-разному. В алгебре первоначально стремились найти общую формулу с применением радикалов для решения уравнений

каждой степени. Таковы

были: формула для

решения квадратного

уравнения,

формула Кардана для решения кубического

уравнения

и формула

Феррари для

решения уравнения

четвертой

степени.

Позже было установлено, что для уравнений выше четвертой степени общей формулы решения в радикалах не существует. Осталась возможность приближенного решения уравнений с числовыми коэф­ фициентами, а также возможность исследования зависимости корней уравнений от его коэффициентов. Примерно такова же была эволю­ ция понятия решения в теории дифференциальных уравнений. Перво­ начально стремились решать, или, как говорят, «интегрировать диф­ ференциальные уравнения в квадратурах», т. е. пытались записать решение при помощи элементарных функций и интегралов от них. Позже, когда выяснилось, что решение в этом смысле существует лишь для очень немногих типов уравнений, центр тяжести теории был перенесен на изучение общих закономерностей поведения решений.

В

этом параграфе

будут

приведены

методы

интегрирования

в квадратурах

некоторых

простейших

уравнений

первого

порядка.

А)

( Ур а в н е н и е в

п о л н ы х

д и ф ф е р е н ц и а л а х ) .

Решим

уравнение

 

_

g(t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)

 

 

 

—

h (t, х) '

 

 

 

 

 

 

 

 

правая

часть

которого

представлена

в

виде отношения

функций

g (t,x )

и h{t,x). Предполагается,

что

функции g (t,x ) и h (t,x ) опре­

делены и непрерывны на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х, причем знаменатель h (t, л:) не обращается в нуль

пи в

одной точке

этого

множества,

а выражение

h (t,

x )d x —

— g(t,

x )d t

представляет собой

полный

дифференциал

на всем

мно­

жестве ‘ Г.

Последнее

означает,

что

существует функция

F (t, х),

определенная на множестве Г и удовлетворяющая на всем

этом

мно­

жестве

условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d- ^ l = h

( t ,

X),

^ L

^ l

= - g ( t , X).

 

 

 

(2)

Уравнение (1) условимся символически записывать

в

виде

ура­

внения

 

hit, x )d x — git,

x )d t — О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 ВВЕДЕНИЕ [Гл I

левая часть которого является полным дифференциалом. Оказывается,

что для каждого решения х =

ср(^) уравнения (1) справедливо тождество

 

 

 

F(t, <p(t)) =

const.

 

Обратно,

каждая

функция х — ср (t),

заданная

на некотором интер­

вале и определяемая

как неявная функция

из уравнения

 

 

 

 

F (I, х) =

с

 

(3)

(с произвольной

константой

с), является

решением дифференциаль­

ного уравнения (1).

 

 

 

 

 

 

Докажем предложение А). Пусть x =

y(t)

— решение дифферен­

циального

уравнения

(1),

определенное

на

интервале Г!<[Д<^г4.

Тогда для

всех точек

этого интервала мы имеем:

 

 

 

Ф(0

А(*,т(0)

 

 

откуда получаем:

 

 

 

 

 

h(t , <р(0Ж 9— ff(#, ?(*))=

о.

 

 

Левая часть этого равенства, в силу (2), представляет собой полную производную по t функции F{t, <р(£)), так что

 

 

 

± F { t ,

<р(0) = 0

на всем интервале

ri< ^ < ^ r* .

В

силу

известной теоремы анализа,

функция F(t,

<р (t))

есть

константа

на всем этом интервале.

Обратно,

пусть

х =

<р(^) есть

решение уравнения (3), рассматри­

ваемое на некотором интервале,

так что

 

 

 

 

F(t,

<р (<)) =

*.

Дифференцируя это тождество по t, мы в силу (2), получаем:

hit,

?(О Ж 9 -г (* ,< р (О ) = 0.

откуда видно, что x =

'f it) есть решение дифференциального уравне­

ния (1).

 

Итак, предложение А) доказано.

Результату, сформулированному в предложении А), можно дать следующее геометрическое истолкование. Каждая интегральная кри­ вая дифференциального уравнения (1) расположена целиком на неко­ торой линии уровня функции Fit, х), т. е определяется уравне­ нием (3). Обратно, каждая связная наешь линии уровня im. е. гра­ фик решения уравнения (3), рассматриваемого на некотором и н ­

т е р в а л е

ri< ^t < V 2) представляет

собой интегральную кривую.

Так как линия уровня функции Fit,

х) может состоять из н е с ­

к о л ь к и х

отдельных кусков, то в этом случае целая линия уровня не

S 21

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

15

является

одной интегральной кривой, а

распадается на несколько

интегральных кривых. Иными словами,

одна константа

с может,

в силу неявного уравнения (3), определять несколько (и даже беско­

нечно много, см. пример 3)

различных непродолжаемых решений.

Б) ( Ли н е й н ые у р а в не ния ) .

Решим уравнение

 

 

 

 

х =

a (t) х —j—b (t),

 

 

 

(4)

где а (0 и

b(t) определены

и непрерывны

на

некотором

интервале

r,< ^ i< V 4

(случаи

Г\ = — оо

и r4 = -j-oo

не

исключаются). Таким

образом, открытое

множество

Г в плоскости Р определяется

усло­

виями ^ < ^ < ^ 2.

налагаемыми на t

при

произвольном х.

Это

мно­

жество представляет собой полосу,

если гх и г4 конечны;

полупло­

скость, если конечна только

одна

из

величин

ru г4, и

плоскость,

если бесконечны обе величины rt, г4. Правая часть уравнения (4) непре­

рывна вместе

со

своей

частной производной

по х на всем

множестве

Г, так что для

уравнения (4)

выполнены

условия

теоремы

1.

Пусть

t0— некоторая точка интервала r\< ^ t< ^ г4. Положим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (t) — ^ a (t) dx.

 

 

 

 

 

 

(6)

Функция

A (t)

определена

на

всем интервале г, <^t <^г4. Оказывается,

что

совокупность всех решений уравнения (4)

записывается

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

где дг0 — произвольная константа. Каждое

из

этих

решений

опреде­

лено на

всем интервале

T i< ^ < V 4

и потому

непродолжаемо

(так

как

за пределами этого интервала не определена

правая часть уравне­

ния

(4)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства предложения Б) заметим прежде всего, что

функция л:, заданная соотношением (6), является решением

уравнения

(4). Это

непосредственно проверяется путем подстановки.

 

 

 

 

Докажем,

чго

формула

(6)

содержит

все

решения.

Пусть

xt=<f(t) — некоторое

решение уравнения

(4),

определенное

на

ин­

тервале

Sj

t <[ s4.

Этот

интервал

должен

содержаться в

интервале

rt <^t < V 4, так

как

правая

часть

уравнения

(4)

определена

только

на

этом

последнем интервале. Пусть

т0,

£0 — начальные значения

ре­

шения х = ср (t).

Докажем,

что можно так подобрать число х 9 в фор­

муле (6), чтобы определяемое этой формулой решение имело своими начальными значениями т0, £0, т. е. удовлетворяло условию

(7)

16

 

 

ВВЕДЕНИЕ

[Гл I

Этим

будет доказано

(см. теорему 1), что решение x = y(t)

совпа­

дает с

решением (6) на

всем

интервале s ,< ^ < ^ s 4.

 

Соотношение (7) является уравнением первой степени относи­

тельно

неизвестной величины

х 0, причем коэффициент ел (Хо)

при х №

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (7) разрешимо относи­ тельно неизвестной величины х 0.

Итак, предложение Б) доказано.

Для сравнения приведем другой (принятый в большинстве учебни­ ков) вывод формулы (6), облегчающий ее запоминание. Прежде всего

рассматривается о д н о р о д н о е

уравнение

 

S =

a(t)y.

(8)

Это — уравнение

в полных дифференциалах (см. А)). В самом де­

ле, символически его

можно записать в виде

 

^ - — a(t)dt =

0.

Соответствующая функция F(t, у) задается формулой

F(t, у) — \п\у\ — A(t),

и потому, в силу А), решения однородного уравнения (8) определя­ ются как неявные функции из соотношения

In Lvl — А (0 = Cl-

Отсюда получаем [у| = еЛ(/)+с‘ или,

иначе,

У = «

А (О

'

,

(9)

где с может принимать любые действительные значения. (Этот вывод содержит неточность, поскольку функция h(t, у ) = у может обра­ щаться в нуль, так что условие 1) предложения А) не выполнено; неточность легко может быть устранена, но мы этого делать не бу­ дем, так как формула (9) является частным случаем формулы (6), которая выше была полностью доказана.)

Для получения с помощью формулы (9) решения н е о д н о р о д ­ н о г о уравнения (4) применяется так называемый метод вариации постоянной. Именно, решение уравнения (4) ищется в виде (9), где с уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя это предполагаемое решение в уравнение (4), получаем:

сет - f са (t) ет = a (t) ceA{t) -f- b (f)

или, что то же,

Смотрите также файлы