Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

328

ДОБАВЛЕНИЕ II.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

или нескольких

жордановых клеток, расположенных по ее главной

диагонали, в то

время как все элементы ее, не входящие в жорда-

новы клетки, равны нулю.

Докажем

это. Пусть

R — координатное векторное пространство

размерности

л и

Л — линейное

преобразование, соответствующее

(в

некоторой системе

координат) матрице А. Пусть теперь /,,

. . . , / „

—

базис

пространства

R,

составленный

из серий (см. теорему 30). Мы

предположим

векторы /,, . . . , / „

расположенными в таком

порядке,

что векторы каждой серии идут в

последовательности / , ........ /„

один

за другим.

Обозначим через

B =

(b‘p матрицу преобразования А

в базисе / „

... ,

/„.

Пусть

hi :=fl> •

• • •

==f т

Ь\ — \,

1= 1 ,

b\ +x= 1;

........ т — 1;

blj = 0

при / — 1 <^у ^/те

и при

Таким образом, первой серии последовательности / , ........ /„

соответ­

ствует

первая

жорданова

клетка

в матрице В. Точно так же второй

серии

базиса

/ , ........../„

будет

соответствовать

вторая

жорданова

клетка

в матрице В, и т.

д. Так

как

переход от

матрицы А к мат­

рице В осуществляется при помощи

трансформации (см. § 34, А)),

то S =

SAS-'.

Б) доказано.

Таким образом, предложение

330

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Матрицы жорданова форма 323, 327

Положение

равновесия

устойчивое 111,

206,

Матричная запись систем линейных уравнений

252,

261

136,

146

Полупространство замкнутое 297

Матричиое исчисление 146

150,

316, 319,

321

— открытое 297

Матричиыс

ряды степениые

Порядок квазимногочлена 65

Маятник математический

31

16,

134,

143

— системы дифференциальных уравнений 26

Метод вариации

постоянных

— — ------относительно одного неизвестного

— исключения 67, 102

77

ч

26

ограниченная

289

— комплексных амплитуд 76,

Последовательность

153,

— контурных токов 85

Последовательных

приближений

метод

— неопределенных коэффициентов^ 101

ПО,

170, 299

— последовательных

приближений

153,

Постоянные интегрирования 44

236, 214,

243,

209

Предельный

цикл 224,

225,

234,

— сжатых отображений 153, 170, 299

230, 279

— узловых напряжений 85

------грубый 234, 242, 280

Многогранник выпуклый 297

------неустойчивый 225, 234, 280

Многочлен аннулирующий 309, 311, 312

------полуустойчивый $25

— — ыииимальиыи

302, 313, 314, 315

------устойчивый 225, 234, 280

— устойчивый 57, 58, 60, 61

Проводимость операционная (двухполюсника)

— характеристический 44, 310

86

решения

11,

23

Множество (й-предсльное 235, 236

Продолжение

— замкнутое 287

Прообраз множества при отображении 293

— компактное 291

Пространство векторное 285

— ограниченное

2S9

— евклидово 285

— открытое 287

162,

235

Процесс переходный 77

Модуль

вектора

— установившийся 77

Прямая

собственная

125

Напряжения

узловые 85

Радиоактивный

распад 12

Начальная фаза гармонического колебания 30,

Расстояние между множествами 297

75

значения,

начальные

условия

10,

— от точки до множества 297

Начальные

Регулятор центробежный 218, 219, 220

22, 28, 34

метод 101

Резонанс

79, 90

Неопределенных коэффициентов

Решение

комплексное 32, 33, 35

Неравенства

интегральные 172

— матричного уравнения 136

Неравномерность хода паровой машины 223

— непродолжаемое

11,

18,

23,

173, 174

175

Норма векторной функции 164, 300

176,

178,

179,

182,

184

— функции 154

— особое 30

Нормальная система дифференциальных урав­

— уравнения

и системы уравнений 8,

21, 25,

нений 21

26,

33, 35

— установившееся 77, 78

Область задания

8,

9, 21, 25, 26, 27, 29,

173,

— устойчивое 205

— частное

линейного

неоднородного

уравне­

178,

182.

186,

187,

191,

192

ния 62, 63,

143

Обратная связь 245

Рождение предельных циклов 242,

243

Объединение множеств 287, 289

Ряды

матричные 150, 316, 319, 321

Окрестность точки 287, 298

Операционные (символические) обозначения

Свойства топологические 284, 296

42, 43

Основная матрица решении 146

Седло 118, 119, 125, 251, 253

97,

Отображение последования 281

Серия

векторов

относительно матрицы 96

— аффинное 295

102, 323

— непрерывное 293

Сжатых отображений метод 153, 170, 299

— равномерно непрерывное 293, 294

Сила тока 80

обозначения 42, 43

Отрезок 163

Символические

Система

гамильтонова

203

Падение напряжения 80

— решений фундаментальная 129, 130, 139, 141

— уравнений 21. 26, 27, 29, 38,

73, 93, 94, 97.

Паровав машина 218,

220

98, ЮЗ, 108, 128,

146,

251

Первые интегралы

196

198,

199, 200

— — автономная 103, 108, 251, 279

— — , независимые в точке 197,

в вариациях 193, 194, 195, 196

Передаточное число

220

------линейная 38, 39, 67, 69, 70, 72, 73, 74, 93,

Пересечение множеств 287, 289

94, 97, 98, 128, 146

Переходный процесс 77

------нормализуемая 73

94, 97, 98,

103, 128, 146

Период

106

------нормальная 21,

93,

Периодическое решение 106, 268, 271, 279, 280

----------

автономная

103

Плоскость фазовая

115,

224

----------линейная 23, 93, 94, 97, 98, 128, 146

Показатель

характеристический 151

--------------однородная с периодическими коэф­

Поле направлений 11, 24

106,

109

фициентами

146

коэффициентами

Положение

равновесия 105,

--------------с

переменными

------ автономной системы второго попядка

128

119,

251

------, разрешенная относительно высших про­

— ---------------- невырожденное 119, 251

изводных

27

------неустойчивое

111. 216, 217,

261

Скалярное произведение векторов 285

— — полуустойчивое

Ш

Скалярный квадрат 285

ПРЕДМЕТНЫЙ

УКАЗАТЕЛЬ

331

Скорость фазовая 109

Устойчивость по Ляпунову 206, 208, 269, 271

Смешения формула 51

— предельного цикла 225, 231

Снижение порядка линейного уравнения 141

— произвольного решения 26 \ 272

------системы 138, 200

Устойчивые многочлены 57, 58

Собственная прямая 125

Усы седла 253

— частота контура 89

------неустойчивые 253

Собственные векторы и собственные значения

------ устойчивые 253

309, 310

Сопротивление 81

Фаза

начальная гармонического

колебание

— операционное (двухполюсника) 85, 86

Спектр матрицы 317

30, 75

Сходимость последовательности 289

Фазовая плоскость 115, 224

— равномерная 155,

165, 300

—

— линейной системы с постоянными коэ ф-

фициентами 115

Тезисы Выпшеградекого 224

— скорость 109

— траектория 104, 109, ПО, 116

системы

Теоремы

о непрерывности и дифференцируе­

Фазовое пространство автономной

мости

решений

152,

184, 186, 18/, 191, 192

103,

108, ИЗ

— — неявных функциях 298, 299, 303

Фильтр электрический 92

— существования и единственности 10, 22, 23,

Фокус 120, 251. 261, 264

27. 29, 33, 35. 152

—

неустойчивый 120, 251

Ток анодный триода 244

—

устойчивый 120, 251

— контурный 85, 87

Форма квадратичная 219

Тор 113

------положительно определенная 210

Точка co-предельная 235

Формула Лиувилля 132, 133, 143, 145, 280

Траектория 104

— смешения 51

— замкнутая 104, 105, 106

Формулы Эйлера 36

— фазовая 109, 116

Фундаментальная матрица 131, 136

Трансформатор 90

— система решений 129, 130, 139, 141

— идеальный 91

Функции матриц 316, 319

Триод 244

— — неявные 321

—

, совпадающие на спектре матрицы 317, 319

Узел 117, 118, 251, 261

Функция, заданная на спектре матрицы 317

125

— Ляпунова 208. 210, 211, 213. 216, 272

— вырожденный 122, 124,

—

последования 226, 227, 230, 233, 242, 280

Узловые напряжения 85

Характеристика триода 241

Уравнение гармонического осциллятора 76, 78

Характеристики 202

— дифференциальное 7

Характеристический многочлен 44, 310

—------

в частных производных 7, 201

201

— показатель

уравнения с

периодическими

-------------- линейное первого порядка

коэффициентами 151

— линейное 15, 28. 42, 44, 50. 62, 63, 136

Характеристическое число 150

—

— с переменными

коэффициентами

15, 139

— ----- постоянными

коэффициентами

42,

44,

Центр 120

50, 62, 63

-----------------

неоднородное 62, 63

Центробежный регулятор 218, 219, 220

—-----------------

однородное 42, 41, 50

1(епи электрические 80, 83

матричное 136, 116

Цикл 106

— первого порядка 8

Циклы предельные см. Предельный цикл

•----------

в полных дифференциалах 13

линейное 15

Частное решение 62, 63, 143

—

----- однородное 17

, разрешенное относительно производ­

Частота колебаний 30, 75

----------

— собствен н ая

к олебател ь н ого

к о ш у р а ¥9

ной 8

— с периодическими коэффициентами

146, 148

Ш ар 287

Уравнения в вариациях 193, 194, 195, 196

Условия начальные 10, 22 28, 34

Эйлера формулы 36

Установившийся процесс 77

Устойчивость асимптотическая 206 213 252

Эквивалентность уравнений с периодическими

269, 271

коэффициентами 147, 148

— многочленов 57, 58, 69, 61

Электрическая цепь 80, 8-3

— периодических решений 268, 271, 280

Электрический фильтр 92

положения равновесия 206, 207, 213,

251

Электронная лампа (триод) 244