Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

§ 35]

ФУНКЦИИ МАТРИЦ

31 9

•— аналитическая функция комплексного

переменного

г,

заданная

ря­

дом (8)

с радиусом сходимости р, так что при | z| <^p

ряд (8)

схо­

дится, а

при | z| ^>p

он расходится.

Для дальнейшего

напомним, что ряд

f (2) =

a\~r ^а-2z -р ... - f

татгт~'-\-

...,

мы получим сходящийся матричный ряд

f

(А) — а.цЕ-\-а1А -\- ... -\-атА т-\- ...

(9)

(Матричный ряд

называется сходящимся, если числовой ряд, состав­

ленный из элементов, стоящих в /-й строке

и у-м столбце,

сходится

при любых /, / =

1, ..., п.) В этом случае

говорят, что функция f(z)

определена на матрице А.

предложения

А). Нели

Т е о р е м а

29. Сохраним обозначения

димости ряда (8), т. е.

|М<Р> i = l ,

.... г,

то матричный ряд (9) сходится, так

что матрица / (А)

опре­

делена. Числа

/(*/),

г,

(Ю)

обходимо и достаточно,

чтобы,

функции

f ( z )

и

g(z)

совпадали

на спектре матрицы А.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Составим частичную сумму

fm (z) —

а0

a l z

• • • ~ Ь

ат

ряда

(8); тогда

при

| z |

р

мы имеем:

f i ) (z) =

lim f j ) (z).

oo

Пусть, далее,

cpm(z) — многочлен

степени ^

k — 1,

совпадающий c

многочленом / т (г)на спектре матрицы

Л (см. А)).

Так как

собствен­

ные

значения

(2)

матрицы

А

удовлетворяют

условию

| Х;|<Ср>

/ =

1,..., г, то мы имеем:

Нт ср<Л(Х,)=/<'>(ХЛ

■О,

V

1,

/ =

1,

г.

3 2 0

ДОБАВЛЕНИЕ П. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

L ( A ) = ?m(A);

при

т - у о о правая часть стремится к

9 (А), а это значит,

что и ле­

вая

часть при т —у со сходится. Таким

образом, ряд (9)

сходится

к матрице /(Л ) =

9 (Л).

Докажем теперь, что многочлен

r(z) =

[ z - /( X I)]‘‘ [ z - / W

] ‘* ••• [ z ~ f( K ) } kr

аннулирует матрицу /(Л ). Для этого рассмотрим многочлен

Фт (г) = [<fm (*) -

( М* I?» & ~ *

■

» ' ' *

•••[<Рт(2) — <?т(Хг)]кг

(’ О

и потому многочлен Фт (г) аннулирует матрицу А, т. е.

[9« (А) - tm а ,) Е)"' 1<?т(А) - <PmМ £]*‘'

• ••

=

... \ f ( A ) - f ( \ r)E]kr = 0,

а это и значит, что

многочлен Г (г) аннулирует матрицу / (Л).

Из доказанного,

в частности,

следует,

что

все собственные

зна­

чения матрицы /(Л )

содержатся

среди

чисел

(10) (см. §

34,

Е)).

Докажем, что каждое число (10) является собственным

значением

матрицы /(Л ). Пусть ht — собственный вектор

матрицы Л,

соответ­

ствующий собственному значению

Хг, так

что

5 35]

ФУНКЦИИ МАТРИЦ

321

Допустим теперь,

что круг сходимости

функции g(z) также со­

занного матрица g (A ) определена и существует многочлен

ф(г) сте­

пени

— 1, совпадающий с функцией g(z) на спектре матрицы А,

причем ф(Л) = £(Л).

Если теперь f (A) — g{A),

то ср(Л) =

ф(Л), и в

силу

предложения А)

многочлены y(z) и t|>(z)

совпадают

на спект­

спектре

матрицы А. Обратно, если

функции /( г )

и g(z) совпадают

на спектре матрицы Л, то

многочлены <p(z) и

tjj(z) также

совпа­

дают на спектре матрицы Л,

и потому в силу А) ср(Л) = ф(Л), но

тогда и f (A )= g (A ). Таким

образом, теорема 29 доказана.

Н е я в н ы е ф у н к ц и и м а т р и ц

Пусть

F(z,w) — функция

двух

комплексных

переменных,

задан­

ная рядом

F (z, w) — а -)- bz -(- cm -f- dz4 -j- ezw -f- fw %

(12)

при замене произведения

на w^z") функция F (г, w) не меняется.

Поэтому при подстановке

в ряд (12) м а т р и ц Л и В вместо его

ряд вместо z и w любые перестановочные матрицы А и

В, мы по­

лучим

сходящийся

матричный

ряд,

который

определит

некоторую

матрицу, обозначаемую через F (А, В). Однако доказывать сходимость

этого ряда в общем

случае

мы не будем, гак

как

ниже

рассматри­

ваются

лишь

такие

частные

случаи, в

которых

имеется

к о н е ч н о е

ч и с л о

членов,

зависящих от г, так что фактически

речь идет о схо­

дящихся рядах

о д н о г о комплексного

переменного

w.

В)

Пусть

F (z,

w ) — аналитическая

функция двух

переменных,

определенная

рядом

(12),

сходящимся

при

всех

значениях

z, w,

и Л — заданная

матрица. Пусть, далее, каждому

собственному

значе­

нию \ 1 матрицы

Л

поставлено

в соответствие

число [хг,

удовлетво­

ряющее условиям

Р{К>

Ц|) =

0, ^ F

( \ l t r , ) *

о,

1 = 1 .......

г.

(13)

Тогда существует перестановочная с

Л матрица В, удовлетворяющая

условию

F(A, В) = 0.

(14)

Далее,

если коэффициенты

ряда (12)

и

матрица Л

действительны

и если

для каждых двух

комплексно

сопряженных

собственных

322

ДОБАВЛЕНИЕ II. ЛИНЕШ1АЯ АЛГЕБРА

виачемий X,

и Х7 = Х( матрицы А соответствующие числа и |хутакже

комплексно

сопряжены: \>ч = \ху-, то существует действительная пере­

становочная с А матрица В, удовлетворяющая условию (14).

Докажем

предложение В). Из соотношений (13) в силу теоремы

бого

г

существует функция

W(z) — Wi (z),

определенная

для значений г,

близких к Х;, и удовлетворяющая условиям

F(z,

W(z)) =

0,

(15)

№(*,) = !*„

1 = 1 , ... , г.

(16)

^ j F ( z , 117(г))и. =

0.

(17)

Из этих соотношений

можно

последовательно

определить

числа

(X,),

/ = 1 , . . . ,

k t —

1, Z —

1,..., г.

(18)

пулю на спектре

матрицы А

(см. теорему 29).

При

вычислении

производных

(Xj) функции

Ф(г) в точке Х;, / =

0,

1 ,..., kt — 1,

функций производные порядков

0, 1....... kt — 1 в точке

Х; соответ­

ственно равны. Но при замене в

F(z,

<р(с)) многочлена

<p(z) функ­

цией W (г), определенной вблизи

Хг,

мы получаем тождественный

спектре матрицы

А.

Докажем теперь, что если коэффициенты ряда (12) и матрица А

действительны, а

числа

удовлетворяют

условиям

сопряженности,

т. е.

U7(XT) =

W(X^,

/ = 1 ,

.... Г,

то многочлен <р(г), а следовательно,

и матрица В = у(А)

действи­

тельны. В самом

деле,

при

этих предположениях

числа

WJ) (Хг),

вычисляемые из условий

(17),

удовлетворяют условиям (5),

и по­

тому многочлен ср (z) действителен (см. Б)).

Итак, предложение В) доказано.