Файл: Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике.pdf

два рода векторов состояний. Эти векторы взаимно сопряжены наподобие сопряженных комплексных чисел. Сохранив для одного из них название вектор, другой называют совектором.

Каждому состоянию в пространстве Гильберта соответствует вектор. Этому же состоянию соответствует и совектор. Значит, одно и то же состояние может быть обозначено или вектором, или сопряженным ему совектором.

Приведенные определения заимствованы из современной физики. Более подробно они излагаются в работах [27, 67, 78].

Следует еще раз подчеркнуть, что изменение длины вектора при неизменном направлении не нарушает состояния. Поэтому длина является произвольной и может быть нормирована, т. е. может иметь любое определенное значение.

Для векторов и совекторов в пространстве Гильберта применяются скобочные обозначения Дирака. Вектор состояния обозначается как | Л > . Совектор обозначается зеркальным отображением вектора:

< А | = | А > .

Мы обозначили через А систему. Вектор | А > будет изменяться при изменении состояний системы; чтобы отразить это в самом сим­ воле, можно в скобках записывать еще одну букву. Например,

Но нет необходимости повторять одно и то же указание системы А, если подразумевается, что перемена происходит не в системе, а только в ее состоянии, поэтому обозначение системы опускается. Тогда мы имеем для векторов состояний следующие выражения:

I Л > , | В > , | С > , . . .,

г^е А, В, С, . . . обозначают различные состояния одной и той же системы.

сопряженные им совекторы, является необходимость определения скалярного произведения векторов в пространстве Гильберта. Ска­ лярное произведение записывается так, чтобы левый множитель был совектором, а правый вектором, например -<Л | В >■. Ни вектор, ни совектор не являются числами, а представляют собой абстракт­ ные символы, но скалярное их произведение является числом [78].

Векторы состояний можно складывать и перемножать. Сложение дает суперпозицию состояний; при этом соблюдается перемести­ тельный закон сложения: порядок суммирования несуществен.

10

При умножении переместительный закон (т. е. коммутативность) обычно не соблюдается.

Пусть система из состояния А перешла в состояние В. Этот

шел в вектор состояния | В > . Процесс изменения состояний может быть очень сложным. Однако в любом случае формула (1.2) характе­ ризует это изменение. Переход (1.2) может быть описан более под­ робно через систему алгоритмов [81 ].

Все сказанное применимо и к совекторам состояний. Переход одного состояния в другое может быть записан и с по­

мощью уравнения. Пусть состояние А перешло в состояние В:

\ А > - » \ В > .

Введем вместо стрелки знак равенства, применяя некоторый

вектор в другой (иначе говоря, одно состояние в другое). На свой­ ствах линейных операторов [67, 78] останавливаться не будем.

Операторы соответствуют определенным схемам алгоритмов, и динамические процессы могут быть описаны на основе теории алго­ ритмов. С другой стороны, операторы, примененные к вектору состояния, дают дифференциальные уравнения, и динамические процессы описываются дифференциальными уравнениями.

Особое значение имеет случай, когда действие оператора Р не изменяет вектора состояния, а только приводит к умножению его на число Р ' . В этом случае формула (1.3) принимает следующий вид:

Таким образом, если состояние сохраняется при действии опе­

так как собственный вектор является функцией собственного зна­ чения и имеет числовое выражение.

Обычно один и тот же оператор может иметь множество собствен­

11

этим значениям. Они могут принадлежать и собственным значениям набора операторов, если последние коммутируют между собой.

Физическая величина есть оператор — это одно из основных положений современной физики. Как подчеркивал О. Д. Хвольсон [116], физическая величина есть величина sui generis, т. е. «своего рода». В современной физике слова sui generis заменяются словом «оператор».

Что означает «измерить оператор»? Вопрос этот имеет простой ответ в том частном случае, когда оператор может быть представлен обычной величиной (скалярной, векторной и т. д.), как это имеет место в задачах классической физики. Тогда нужно установить единицу измерения и через нее выразить данную физическую вели­ чину. Например, единицей звукового давления, которое, как известно, измеряется силой, отнесенной к единице площади, в системе СИ будет паскаль, равный одному ньютону на квадратный метр: 1 Па — = 1 Н/м2. Единица звукового давления в системе СГС — 1 дн/см2 -- = 0,1 Па. Таким образом, в рассматриваемом случае измерение — это процесс приема и преобразования информации об измеряемой величине путем ее сравнения с однородной физической величиной, принятой за единицу.

Измерить данное звуковое давление — значит сравнить его с однородной с ним величиной, принятой за единицу, и получить число, выражающее данное звуковое давление.

Как обстоит дело, если линейный оператор, выражающий физи­ ческую величину, обладает свойствами некоммутативности при умножении на другие физические величины? Такой оператор не мо­ жет быть сведен к обычной величине, или, как говорят, «не может считаться С-числом» (от английского термина conventional number). Требование найти меру, измерить неприменимо непосредственно к такому оператору, так же как к абстрактному понятию sui generis. Для случая, когда справедливо уравнение (1.5), с помощью кото­ рого вводится собственное значение Р' оператора Р, можно выска­ зать положение: измерить физическую величину — это значит найти собственное значение оператора. Искомая мера получается тогда путем сравнения с единицей измеряемой величины. Более подробнее рассмотрение этого вопроса читатель может найти в монографии Дирака [27].

Вектор состояния, в том числе и собственный вектор, принадле­ жащий какому-либо оператору, выражает состояние системы. Что означает «измерить состояние»?

Приведем пример Пусть рассматриваемая система — колеблю­ щаяся пластина. Стационарными состояниями такой системы будут колебательные моды. Эти состояния можно наблюдать. Например, следуя интерференционному методу [38] или исследуя известные фигуры Хладни, можно наблюдать на пластине детали колебатель­ ной моды той фигуры, которая дает распределения амплитуды или фазы колебания пластинки. Амплитуды и сдвиги фаз в разных точ­ ках пластинки можно измерить. Совокупность результатов этих измерений будет характеризовать состояние.

12

Под измерением состояния следует понимать совокупное изме­ рение значений физических величин, характеризующих это состоя­ ние. В приведенном примере под измерением состояния пластинки, соответствующего определенной колебательной моде, следует пони­ мать совокупные измерения амплитуды в разных точках и нахожде­ ние распределения амплитуд на пластинке. Набор тех операторов, собственные значения которых служат для измерения состояния системы, не может быть произвольным: одновременному измерению можно подвергать только собственные значения коммутирующих операторов.

Определить состояние динамической системы означает найти собственный вектор, соответствующий этому состоянию. Собствен­ ные векторы ортонормированы. Это свойство может быть записано так:

или через символ Кронекера:

< Р ' \ Р " > = бр.р>.

Как быть с измерениями некоторой физической величины, если состояние системы не может быть описано собственным вектором соответствующего оператора? В этом случае утверждение, что резуль­ татом измерения физической величины будет собственное значение оператора, уже не справедливо.

Приведем пример из акустики — пример пластинки. При соб­ ственных колебаниях круглой пластинки получаются определенные моды, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением. В результате решения этого уравнения можно найти собственное значение физической величины, в данном случае волнового числа k, умноженного на радиус а пластинки, т. е. величины ka. Но если колебания не установились, колебательные моды не возникают. Очевидно, здесь возможен только путь усреднения.

При наличии состояния, которое не является собственным для оператора, измерения соответствующей ему физической величины сводятся к определению среднего значения оператора. В теории

13