Файл: Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
Отсюда получается важная формула для представления любого вектора | А Д> через собственные векторы | Р' >■.
Умножим обе части (1.7) справа на любой вектор состояния } А > . Тогда находим
М> = ^|Р'ХР'И>.
Р ’
Поскольку < Я ' | А > — это числа, то их можно переставлять с векто рами | Р' > , и мы получаем
\ А > = Ъ < Р ' \ А > \ Р ' > . |
(1.8) |
Р ' |
|
Это есть разложение | А > по собственным векторам | Р' >>, |
причем |
< Р ' | А > суть коэффициенты разложения. |
|
Переходя к собственным функциям ф (Р'), можно рассматривать правую часть (1.8) как разложение по собственным функциям ф (Р') вектора состояния, который, таким образом, может быть обозначен
.Ф = 2 > (Р ')Ф (Р '), |
(1.9) |
р1 |
|
где а (Р') — коэффициенты разложения.
Функция ф называется пси-функцией. Она в количественном
виде |
выражает вектор состояния, |
что оказывается |
возможным, |
если |
выбрать собственные функции |
какого-либо набора |
операторов |
(для простоты здесь написан один оператор и его собственная функ ция ф (Р'), принадлежащая собственному значению Р' 1.
Выбор собственных векторов, принадлежащих любому опера тору Р, позволяет построить представление любого оператора Q
через |
таблицу чисел |
< 7 P '|Q |P " > , т. е. матрицу | < Р А| Q | Р,- > ||, |
где k |
и у— значки, |
заменившие штрихи. |
Если состояния описываются собственными векторами опера
торов Р и Q, то согласно (1.4) и |
(1.6) имеем |
|
< Pk\Q [ Р, > = < Pk| Q' | Pj > |
= Q' < |
Pk\P, > = Q'bpkp.' (МО) |
Только диагональные члены матрицы (у = |
k) отличны от нуля. |
|
Таким образом, если состояние является собственным, то пред ставление оператора будет диагональной матрицей. То же самое справедливо и для полного набора операторов, коммутирующих между собой: все их матричные представления могут являться одновременно диагональными матрицами.
Диагональные члены — это собственные значения набора опе раторов, которые могут быть одновременно измерены. Однако если измеряемый оператор не принадлежит этому набору и для него состояния динамической системы не являются стационарными, то надо обратиться к определению среднего его значения.
Нам далее понадобится оператор, который можно назвать булевым. Этот оператор построен как символ Кронекера, однако его индексы могут содержать не только числа (отмечены штрихами), но и линейные операторы. Рассмотрим булев оператор 6Vv' . при
14
чем V — некоторый оператор, а |
V и |
V" — собственные значения |
этого оператора. Умножим вектор |
| У">- на булев оператор слева. |
|
Тогда |
|
|
бик' | У" > = |
&V”V |
\ V" > . |
Это равенство подобно уравнению (1.5): в левой части стоит булев оператор, а в правой—-просто символ Кронекера. Символ Кронекера есть собственное значение булева оператора и может принимать только два значения: 1 при V" = Y и 0 при V" =j= V .
Теперь |
построим среднее значение булева оператора в каком-то |
||
состоянии, описываемом вектором [ |
Это среднее значение на |
||
основании |
определения среднего для |
оператора |
будет равно |
|
< Л | 6 „ И А > |
= Ру. |
(1.11) |
Какой смысл имеет эта величина?
Булев оператор может быть назван оператором «да—нет», потому что его собственные значения 1 («да») или 0 («нет»). Но что такое среднее от «да» и «нет»? Очевидно, это будет результат серии испыта ний, причем каждое испытание дает «да» или «нет».
В качестве наглядного примера испытания можно рассмотреть бросание монеты. Если условиться, что выпадение герба соответ ствует единице («да»), а выпадение цифры соответствует нулю («нет»), то среднее из результатов испытаний есть вероятность того, что монета будет падать вверх гербом.
Таким образом, среднее от булева оператора в написанном слу чае надо понимать как вероятность того, что собственное значение будет V . Поэтому измерение физической величины, соответствую щей оператору V, в данном случае может иметь только статисти ческий характер. Значение физической величины, скажем V', нахо дится только с вероятностью Ру.
Возьмем теперь сумму
} ] ( Г > < Г | = 1.
V"
Подставив эту сумму, равную единице, в равенство (1.11), получим, перенося знак суммы:
Р у = I i < A \ 8 Vy\V" > <V" \ А > . V"
Применяя булев оператор буи' к собственному вектору] V" > , имеем
dVy \ V " > = 8 y y |К" > .
Тогда
Р у = Е < А | 8 у у \ V" > < V" |Л > = |
|
У" |
|
= ^ < A \ V , > < V ' \ A > = \ < V ' \ A > \ 2. |
(1.12) |
15
Здесь принято во внимание то, что
< Л | У '> = < V ' \ A > .
Значит,
< A \ V ' X V ' \ A > ^ < 7 Г\ А > < Г | А > | < V | А >
т. е. равно квадрату модуля числа <СУ'\А^>. Но числа < У '|Л > , согласно (1.8), суть коэффициенты разложения вектора состояния | Л > . Им соответствуют коэффициенты а {V) в разложении (1.9):
¥ - Х а (Г) ф ( П ; |
|||
\'• |
|
|
|
поэтому |
| 2 |
= I а (V) I2. |
|
I < у ' I л > |
|||
Если умножить функцию гЕ слева на |
сопряженную ¥*, то |
||
¥* (V) ¥ (V') = |
1¥ |
(V) |2 - |
] а (Г ) | 2, |
так как все остальные произведения будут равны нулю благодаря ортонормированности cp (V").
Таким образом, |
|
P v -- j ¥ (Г ) I2- |
(1-13) |
Формула (1.13) означает, что вероятность найти собственное значение физической величины V в каком-то состоянии есть квадрат модуля пси-функции.
Конечно, если функция совпадает с собственной функцией опе ратора V, то квадрат модуля вследствие ортонормированности собственной функции равен единице и вероятность тоже равна единице, т. е. есть достоверность.
Общие выводы излагаемой конструктивной теории измерений таковы. Если измерение физической величины, а также наблюдение пси-функции проводится в системе, состояние которой описывается собственной функцией, т. е. пси-функция принадлежит оператору, выражающему физическую величину, то исобственные значения опера тора, и принадлежащие им функции состояния определяются точно. Но если это не имеет места, то результат измерения становится случайным, вероятностным. Пси-функция состояния, квадрат модуля которой по (1.13) представляет вероятность, может быть найдена посредством разложения по собственным функциям согласно (1.9).
§ 1.2. КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Е1деи конструктивного анализа используются при исследованиях в современной акустике и радиотехнике. Измерения, которые с пол ным правом могут быть отнесены к конструктивным, описаны во многих работах, например в работах по измерению распределения амплитуд по корпусу излучателя, по исследованию сложного кварце вого вибратора, по измерению реверберации моря, по обследованию
16
подводных звуковых каналов [6, 16, 52, 105] и др. В радиотехнике блестящими работами конструктивного направления явились радио астрономические измерения [64].
В практике лабораторных измерений обычно принимают все меры, для того чтобы исключить или обойти условия, характеризую щие конструктивность явлений. Например, при изучении распро странения звука в определенном веществе находят поправки, поз воляющие исключить зависимость скорости звука от формы тела, так как требуется найти скорость в данном веществе, а не в данном образце. Кроме того, при измерениях главное внимание уделяется учету систематических и случайных ошибок.
При натурных измерениях на море дело обстоит иначе: цель конструктивных измерений — нахождение образа, характеризую щего структуру акустического поля.
Под образом понимается некоторое множество, или некоторый класс объектов, отличающийся от других классов. Образ надо отли чать от случайной реализации, не обладающей типичностью, стацио нарностью. Самыми наглядными образами служат буквы алфавита какого-либо языка. Как бы ни была написана буква а — любым типографским шрифтом или разными почерками от руки, — написан ный знак относится к образу а, а не к какому-то другому образу, скажем е.
Важно отметить, что образам присущи вероятностные (стоха стические) черты. Так, читатель может сделать ошибку при распозна вании буквы, принимая одну букву за другую. Поэтому установление образов всегда производится с вероятностью, в принципе отличной от единицы (т. е. от достоверности), хотя иногда это отличие пре небрежимо мало.
Звуки речи, подводные шумы судов, шумы машин, шум моря, звуки рыб тоже представляют собой образы; все они определяются не с полной достоверностью, а лишь с достаточной вероятностью.
Распределение скорости звука в океане при данных условиях дает образ, характеризуемый не только, например, общей формой волноводного канала, но и значением скорости звука на границе, на поверхности, на дне и в канале. Общая картина, получаемая при нахождении образа распределения скорости звука, может быть выражена некоторой геометрической структурой с числовыми зна чениями.
Наблюдатель, посыпая порошком поверхность колеблющейся пластинки и зарисовывая характерную форму возникающих фигур (фигур Хладни), отличает образ качественно. Но если он производит при этом еще измерения амплитуды в разных точках, то образ фигуры дополняется числовыми данными и представляет собой измеритель ный образ.
Можно привести подобные же примеры и из радиотехники. Так, исследования полых резонаторов и волноводов, осуществляе мые с помощью зондов, представляют собой массовые измерения, целью которых является определение конфигурации электромагнит
ного |
поля |
сверхвысоких частот. |
__2 |
|
|
2 |
Л . Л |
М ясников |
' |
, |
17 |
|
|
|
|
, "1 |
Пусть динамической системой будет корабль—источник звука. Состояние корабля обозначается с помощью вектора состояний или с помощью пси-функции. Возникает задача определения соб ственных состояний системы, описываемых собственными функциями, и собственных значений физических величин или динамических переменных. Корабль как источник звука может быть, разумеется, заменен какой-нибудь более простой моделью, например сферическим или цилиндрическим излучателем звука или колеблющимся в воде эллипсоидом. Такие модели позволяют вычислить создаваемое судном в воде звуковое поле и сравнить расчеты с опытными дан ными. Однако применимость простых моделей ограничена. Измере ния параметров, связанных с акустикой корабля, относятся, по существу, к конструктивным измерениям.
Если в качестве динамической системы рассматривать корабль как источник низкочастотных электромагнитных волн, то состояние корабля также выражается с помощью вектора состояний или псифункции и исследуются динамические переменные, характеризую щие конфигурацию поля. В этом случае простые модели тоже не всегда применимы; излучение электромагнитных волн кораблем — процесс очень сложный, имеющий структурный характер. Измерения параметров, связанных с электромагнитным полем корабля, отно сятся к конструктивным измерениям.
Параметры образуют некоторый набор, который обозначим одной буквой а '. Собственные функции соответствующих операторов обра зуют базис, на основе которого произвольное состояние корабля может быть выражено функцией W (а'). Как известно, квадрат модуля этой функции есть вероятность того, что параметры будут иметь значение а '. При измерении параметров следует учитывать эту вероят ность. Для точного измерения необходимо, чтобы функция ¥ была собственной функцией набора операторов, коммутирующих между собой.
В данном случае существенное значение имеет теорема, глася щая, что одновременно с любой точностью можно измерить только те физические величины, которые коммутируют между собой. В самом деле, если оператор Р, выражающий одну физическую величину, не коммутирует с оператором Q, выражающим другую физическую величину, то нельзя найти общий собственный вектор, который принадлежал бы им обоим, и нельзя найти собственные значения операторов.
В ходе измерений происходит смена состояний системы. Может иметь место процесс, когда одни состояния чередуются с другими. Если каждое состояние описывается некоторым набором собствен ных функций, то изучение всего процесса требует рассмотрения смены одного набора другим. Описание каждого состояния есть описание некоторого звена; поведение системы в целом характери зуется цепочкой таких звеньев. Благодаря статистическим свойствам пси-функции, описание звеньев носит статистический характер,
описание же закономерной смены состояний носит детерминистский характер.
18