Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение системы дифференциальных уравнений можно запи­

сать в виде:

 

 

 

 

 

 

kn (х) = Dj +

е~2а(т~‘>[Dn +

Di2cos

(х — г?) +

Dl3 sin 2|3 (х — t)];

k12(т) — D2+

е - 2а <■'-« [D21 - f D22 cos 2(3 (г — t) +

D 23 sin 2p (x — *)];

k22(t) =

D3 +

e~2a

[D31 - f D32 cos 2P (x — £) 4- A 3 sin 2[3 (x — 2?)].

Чтобы

найтп

постоянные Du D2 и D3, подставим эти

выражения

в исходные дифференциальные уравнения и сравним

постоянные

в левых и правых частях. Тогда получим:

 

 

 

2txiD\ — 2D2 =

0; o,\D2-j- a2D] — D3= 0;

2a2D2 = p2 •

Поэтому

 

a*

 

D 2

 

 

 

 

 

2ao2;

o2;

 

 

 

D 2~ ~ - =

D {= — =

 

 

 

 

2a3

 

a.x

 

 

 

 

D3 = aiD2+

a2Oi =

a2(5a2 -f p2).

 

Из сравнения коэффициентов при показательных функциях сле­ дует, что D2i = qDu; D3l = a2Du. Справедливы также следующие равенства:

D22= aD]2-(- Р^1з! D23— aDx3— P.D12;

D32=

2рD23 a2D\2 — 2арП[3 -\- (a2 — P2)^ i2i

D33=

ci2Di3 — 2 pZ>22 = (a2 — р2)П ]3 — 2apDI2.

Для определения

оставшихся трех неизвестных

постоянных DiU

Di2 и D\3 воспользуемся начальными условиями,

согласно которым

£js( 0 ==0. При этом получаем:

 

 

 

° 2 4" D {1 * 4* D i2 =

0 ;

 

2ao2 4- aDn -f- aZ)]2 4~ $Di3 = 0;

 

a2(5a2 + ,82) 4- a2Dn - f 2ap£)13 4-

(a2 — (32) D u — 0.

Из первых двух уравнений следует, что D\3 — —

-к-02- Третье урав-

 

 

 

Р

нение можно переписать в виде

A i - A 3=---°2( 2 p + . i j .

Поэтому

А | = - ^ ( р - и ) ; Д г = °! р -

355

Для искомых корреляционных моментов получаются следующие

выражения:

•

СО = з2 1

^ е ~*(*-‘>[(а2 + р2)

 

— a2 COS 2Р (т — t) + аР Sin 2р (т — £)] I;

kn(т) = о2а |г— I е-2“ <*-»> [ (a2 + р2) -

— (а2 — р2) cos 2р (т —t) +■ 2ар sin 2р (т — £)]j

k22(х)==а2 {ба2 + р2 - I <>-2* ('-*> [(a2 + р2)2 -

- а2 (а2 - Зр2) cos 2р (х — t) + ар (За2 - р2) sin 2р (х - t)\

С увеличением т математические ожидания хДт) и х2(т) стре­ мятся к нулю. Предельные значения корреляционных моментов следующие:

кц — о 2; &|2— 2 аа 2; /г2г = (5 а 2 + р2) о 2.

356

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. А р т е м ь е в В. М. Статистический анализ нелинейных систем с ис­ пользованием теории марковских случайных процессов. Изд. Минского высшего инженерного зенитно-ракетного училища ПВО, 1969.

2.Б а р у ч а - Р и д А . Т. Элементы теории марковских процессов и их при­ ложения. «Наука», 1969.

3.В а с и л ь е в Б. В. Прогнозирование надежности и эффективности ра­

диоэлектронных устройств. «Советское радио», 1970.

4.

В е н т ц е ль

Е. С. Теория вероятностей. «Наука»,

1969.

 

 

 

 

 

5.

В и н е р

Н.

 

Нелинейные

задачи

в теории случайных процессов.

Изд-во

иностр. лит., 1961.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. В о л о д г н Б. Г., Г а н и н М. П., Д и и е р И. Я., К о м а р о в Л. Б.,

С в е ш н и к о в

А.

А., С т а р о б и н

К.

Б.

Сборник задач по теории вероятно­

стей, математической статистике и теории

случайных функций. «Наука»,

1970.

7.

Г а н и н

М.

Г1.

 

Прикладные

 

методы

теории

цепей

Маркова.

Изд.

ВМОЛУА, 1971.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Г а н и н

М.

 

Г!.,

С в е ш н и к о в

 

А.

А. Теория вероятностей и ее приме­

нение для решения задач ВМФ. Изд. ВМОЛУА,

1968.

 

 

 

 

 

 

 

9.

Г и х м а н

И.

И.,

С к о р о х о д

А.

В.

Введение в теорию случайных

про­

цессов. «Наука», 1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Г и х м а н

И.

И.,

С к о р о х о д

А.

В.

Стохастические дифференциальные

уравнения. «Наукова думка», 1968.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

Г н е д е н к о

 

Б.

В. Курс теории вероятностей. «Наука», 1969.

 

 

 

12.

Г н е д е н к о

 

Б.

В., К о в а л е н к о

 

И. Н. Введение

в теорию

массового

обслуживания. «Наука», 1966.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

Гр ад ш т е й н И.

С.

и

Р ы ж и к

И.

М.

Таблицы интегралов,

сумм, ря­

дов и произведений. Физматгиз, 1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Д ё ч Г. Руководство

к практическому применению преобразования

Лап­

ласа и Z-преобразования. «Наука», 1971.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. К а м к е

Э. Справочник

по

обыкновенным дифференциальным

уравне­

ниям. Изд-во иностр. лит., 1950.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. К а м к е

Э. Справочник

по

дифференциальным

уравнениям

в

частных

производных первого порядка. «Наука», 1966.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. К о л м о г о р о в

А. Н. Об

аналитических методах

в

теории

вероятно­

стей. УМН, 1938, № 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. К а н т о р о в и ч

Л.

В.,

К р ы л о в

В. И. Приближенные

методы

выс­

шего анализа. ГИТТЛ, 1949.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.19. К а р л и н

С. Основы

теории

случайных

процессов. «Мир»,

1971.

 

20.

К л и м о в Г. П. Стохастические

системы обслуживания. «Наука»,

1966.

21. К о р н

Г. и

К о р н

Т. Справочник

по математике

для

научных

работ­

ников и инженеров. «Наука», 1973.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

К о ф м'а н А., К р ю о н Р.

Массовое обслуживание.

Теория

и приложе­

ния. «Мир», 1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Л е в и

П. Стохастические

процессы

 

и броуновское

движение. «Наука»,

1972.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Н о в и к о в

О. А.,

П е т у х о в

С. И. Прикладные вопросы

теории

мас­

сового обслуживания. «Советское радио»,

1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

357

25.

О в ч а р о в

Л.

А.

Прикладные

задачи

теории массового

обслуживания.

«Машиностроение»,

1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

П р а б х у Н. Методы

теории массового обслуживания и управления за­

пасами. «Машиностроение», 1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

П у г а ч е в

В.

С.

Теория случайных функций. Физматгиз, 1960.

 

28.

Р и о р д а н

Дж.

Вероятностные системы обслуживания.

«Связь», 1966.

29.

Р о з а н о в

Ю. А. Случайные процессы. «Наука»,

1971.

 

 

 

30.

Р о з е н б е р г

В.

Я.,

П р о х о р о в

А. И. Что

такое теория

массового

обслуживания. «Советское радио», 1962.

 

 

 

 

 

 

 

31.

Р ы т о в С. М. Введение в статистическую радиофизику. «Наука», 1966.

32. С а а т и Т. Элементы

теории

массового обслуживания

и ее

приложе­

ния. «Советское радио», 1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

С в е ш н и к о в

А.

А.

Прикладные

методы теории

случайных

функций.

«Наука», 1968.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34.

С в е ш н и к о в

А.

А.,

3

а р и ц к и й В.

С., К р у г л и к о в

В.

К.

Вычис­

ление

вероятности

пребывания

одномерного

марковского

процесса

в

области

с переменными границами. «Изв. АН

СССР.

Техническая

кибернетика», 1970,

№5.

35.С т р а т о н о в и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в ра­

диотехнике. «Советское радио», 1961.

 

 

 

 

 

 

 

 

36. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Условные, марковские

процессы и их примене­

ние к

теории оптимального управления. Изд. Московского университета, 1966.

37. Т а к а ч

Л. Вероятностные

процессы. Задачи и

решения. Киев, 1961.

 

38.

Ф ел л ер

В.

Введение

в

теорию

вероятностей

и

ее приложения,

т.

I.

«Мир»,

1964.

 

В.

Введение

в

теорию

вероятностей

и

ее приложения,

т.

2.

39.

Ф е л л е р

«Мир»,

1969.

Э. М.

Методы

оптимальных

статистических

решений

и задачи

40.

X а з е н

оптимального управления. «Советское радио», 1968.

 

 

 

 

 

 

41.

Х и н ч и н

А. Я. Работы по математической теории

массового

обслужи­

вания. Физматгиз, 1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42. Ч у е в

Ю.

В.,

М е л ь н и к о в П.

М., П е т у х о в

С. И.,

С т е п а ­

н о в Г. Ф., Ш о р

Я. Б. Основы исследования операций

в военной технике. «Со­

ветское радио»,

1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О Г Л А В Л Е Н И Е

Стр.

Предисловие...............................................................................................................

3

Глава 1. Прикладные методы теории марковских процессов

сдискретными ординатами и непрерывным временем

§1. Марковский случайный процесс с дискретными ординатами и не­

 

 

прерывным

временем ..................................................................................

 

 

4

§

2.

Вероятности

. перехода .

 

 

9

§

3.

Однородный

марковский процесс.........................................................

17

 

§

4.

Дифференциальные уравнения

Колмогорова . . .

. . . .

23

§

5.

Пуассоновский процесс..............................................................................

 

29

 

§

6.

Потоки

требований.....................................................................................

 

36

 

§

7.

Процесс

чистого размножения................................................................

47

 

§

8.

Процесс

ги б е л и ..................................................................

 

 

56

§

9. Процесс размножения и гибели................................................................

60

 

§

10.

Стационарное

распределение

вероятностей процесса

размножения

 

 

 

и гибели...................................................................................................................

 

 

 

71

 

Глава 2.

Прикладные

методы теории массового

обслуживания

§

11. Типы

систем массового

обслуживания. Время обслуживания требо­

 

 

 

вания

.........................................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

§

12.

Показатели

эффективности

функционирования

систем

массового

 

 

 

обслуживания

...............................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

85

 

§

13.'Вероятности состояний

системы.........................................................................

 

 

 

 

 

91

§

14.

Система массового обслуживания с отказами......................................

 

 

 

98

 

§

15.

Система

с

неограниченным

числом

приборов обслуживания .

 

ПО

§

16.

Система

с

ожиданием .............................................................................

 

 

 

 

 

115

 

§

17.

Система

с

ограниченным ...............................числом мест ож идания

 

 

124

 

§

18.

Система с ограниченным временем пребывания требования вочереди

131

§

19.

Система с ограниченным временем ожидания окончания обслужива­

 

 

 

ния

каждого ......................................................................

требования

 

 

 

 

437

 

§

20.

Смешанная

система

при

групповом

поступлении

требований .

. .

142

§

21.

Смешанные

системы

с

групповым

обслуживанием

каждого

требо­

 

 

 

вания

......................................................

 

........................................................

 

 

 

 

„

 

 

 

155

 

§ 22. Система

с

ограниченным .....................................потоком требований

 

 

 

167

 

§

23.

Системы с различными ..............................приборами обслуживания

 

 

173

 

§ 24.

Система с двумя независимыми потоками требований ;

 

180

§ 25.

Система с отказами при наличии приоритетного потока требований

186

§

26.

Одноканальная

система

с

ожиданием при наличии

приоритетного

 

 

*

потока

требований ...........................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

195

359

Смотрите также файлы