Имеем
|
О |
12 aiyi |
|
|
|
дЕ |
|
|
|
.г-1 |
ysfd ytdy2... dya , |
(41.16) |
|
dus |
— со |
|
|
|
Поэтому для характеристической функции справедливо уравнение
П П |
дЕ |
, 1 |
|
|
дЕ |
|
|
дъ + 22 |
Xi&lkdiL |
2 |
^jsMjMs Е |
(41.17) |
1=1 S=1 |
|
|
|
|
Решением данного уравнения является функция Ё, определяе |
мая формулой (41.3). Подставляя |
эту |
функцию |
в (41.17), после |
1 ° |
|
|
|
|
сокращения на — -^-Е приходим к равенству |
|
dkis
di щиа 2aJ.sMj i=i kslыU,*j — &js«jKs :0. |
(41.18) |
Произведем,преобразование данного выражения, воспользовавшись соотношениями:
|
|
|
|
|
|
|
П |
/ |
П |
|
|
|
(41.19) |
|
|
|
2 |
|
ajs^s1М1— 2 |
|
( ^ ai |
Is |
I “ "а |
> |
|
|
|
s=l 1=1 |
|
s -1 |
\1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n — 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T jj “ b |
^ |
|
2 |
CTjs |
T sj)- |
(41.20) |
|
|
J'=l |
s - l |
j = l |
]= 1 |
s - j + l |
|
|
|
|
Так |
как kib = |
k%i |
и |
bjs = |
bSj) |
то |
(41.18) |
можно представить |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- 2 ( 2 « i A j ] - b a |
»? + |
|
|
|
|
|
\i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П — 1 |
п |
|
dkjs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 2 |
2 |
|
2 |
( aii^s+ |
aA ) |
- 6 j i |
ЦдЩ.=:0. |
(41.21) |
l |
d~ |
|
j = i s = j+ i |
|
1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как аргументы щ, и2, ... , ип произвольные, то коэффициенты при u'j и u-sus в (41.21) равны нулю. Поэтому для корреляционных
моментов ^js(t) справедливы следующие дифференциальные урав нения:
— 2 (*iIk i* + aA ) = ^js |
(41.22) |
( s = / i i ± i, •••.«; / = 1 , 2 , . . . . n).
Начальные значения |
случайных функций X i (т) |
( / = 1 , 2, |
п) |
известны. Поэтому начальные условия |
для системы |
(41.22) |
нуле |
вые, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
М 0 = 0 |
(s = j, i + |
1 |
, |
п; / = 1, 2, . . . , |
и). |
(41.23) |
Таким образом, математические ожидания Xj (т) |
и корреляцион |
ные моменты ftjS (т) |
(/, s = 1, 2, |
..., |
п) случайных функций |
Xj (т) |
(/==1, 2, ... , «) определяются |
как |
решения независимых |
систем |
дифференциальных уравнений (41.4) и (41.22) при начальных условиях (41.5) и (41.23) соответственно. Указанные системы диф ференциальных уравнений линейные неоднородные с постоянными коэффициентами. Их решение производится известными методами. Условная плотность распределения «-мерного нормального марков ского случайного процесса ./?(т) = [Xi (т), . ..,АГп (т)] записывается в виде
f(t, |
х п ; \ |
у и . . |
у „ ) |
X |
|
|
|
/ (2~)п |A"('t) |
|
( |
П |
П |
|
|
|
Х ехр |~ 2 |к (т7|Д} |
Л]з |
~ |
1 У ' - М ' )] \ |
- (41.24) |
где \K{i)\ — определитель матрицы |
|
|
|
# ( * ) = |
^11 (х) • |
• . *,„(') |
|
|
|
................................. |
; |
(41.25) |
|
|
(х) * * |
|
|
■4js (т) — алгебраическое дополнение |
элемента |
kiS(т) пз |
определи |
теля |К {') |. |
|
|
|
|
|
В некоторых случаях функционирование физической системы описывается не системой дифференциальных уравнений вида (41.1),
а одним дифференциальным уравнением |
|
|
|
V „ |
d"-‘ X (t) _ |
у |
(41.26) |
|
|
Й> |
1 dtn-> |
Й ‘ J dtn~> |
|
|
|
где ctj (/ = 0, |
1, |
..., |
n) — заданные постоянные, |
причем c to = l; |
Pj (/ == 1, |
2, |
... , |
n) — заданные постоянные, |
из которых хотя |
|
|
|
бы одна отлична от нуля; |
кё(0 — нормальный белый шум, для которого без
ограничения общности можно считать,
что I — 0, a Ki (т) = 8 (~).
От уравнения (41.26) можно различными способами перейти к системе дифференциальных уравнений. Наиболее просто это осу ществить, если положить:
X 1( t ) = X ( t y ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(41.27) |
|
|
|
(s = |
l, |
2, |
..., п — 1). |
|
|
|
|
При этом |
|
|
|
|
|
НУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X t {t) |
dX2 |
|
|
|
= |
|
|
dt |
'*2*1 ( * ) - p a5(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ d 2X |
4~ ®i |
dX_ |
+ “2X ( t ) - h f { |
M (0 - |
|
~ |
dt2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для X n(t) справедливо выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n — 1 |
d M -'X |
tl —1 |
|
dn |
|
|
* |
„ ( o |
|
= |
2 |
ei |
2 f t |
|
(41.28) |
|
|
dtn-'~' |
|
|
|
|
|
|
|
i-o |
|
1=1 |
dtn->-' |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dXn |
|
П— 1 |
|
dn->X |
V |
0 |
rfn~j £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
J-0 |
|
dtn~i |
j t |
i ' dtn-> ’ |
|
, что с учетом (41.26) |
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
dX„ |
= |
- * nx ( t ) + t nm - |
(41.29) |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (41.27) и (41.29) следует, что уравнение (41.2fr) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:
iX |
] |
^ = = - а 8З Д + ^ -н (0 + Ш О |
|
{s— 1, 2, . . п 1); |
(41.30) |
d K 1 ~ ч Х х(*)+p»s (t). |
|
dt |
) |
|
Данная система дифференциальных уравнений является частным
случаем системы (.41.1) |
и получается из последней при |
= |
когда |
могут быть отличными |
от нуля только коэффициенты asl, |
“ s,s+i |
и |
psl f связанные |
с |
коэффициентами as |
и j3s |
уравнения |
(41.26) |
равенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®sl |
> |
Psl |
" Ps |
— |
1, |
2, . . . , |
Я ) , |
(41.31) |
|
|
a s,s+ l — |
1 |
( s |
= 1, |
2 , . ' . . , |
ra — |
1). |
|
|
|
|
|
Для решения уравнения (41.26) необходимо знать начальные условия. Считая снова t начальным моментом времени, запишем эти условия в виде
,sX(x)
|
dis |
|
= |
|
(s = О, 1........ я — 1), |
|
(41.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x (s) (s = 0, |
1, ..., га—-1) |
— заданные значения. |
при т > t яв |
Решением дифференциального уравнения |
(41.26) |
ляется нормальная случайная функция Х(х). |
Так как | = |
0, то ма |
тематическое ожидание х(х) |
|
этого процесса |
может |
быть |
найдено |
как решение уравнения |
11 |
r |
rfn~j х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
(41.33) |
|
|
|
j |
= |
|
|
при начальных условиях |
dxn~> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dsx |
= x (s> |
(s = 0, 1, .. |
г а - 1). |
|
(41.34) |
Ж |
т—t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как оператор дифференцирования линейный, то по известным формулам корреляционной теории случайных функций может быть вычислена корреляционная функция нормального процесса А(т).
Математическое ожидание х(т) и корреляционная функция /Сх (ть т2) полностью определяют закон распределения нормальной случайной функции X (")•
Если уравнение (41.26) преобразовано в систему дифференци альных уравнений (41.30), то АД"), совпадает с первой компонен
той |
А'1(т) |
га-мерного марковского случайного процесса |
[АДт), . . . |
. . . , |
Х п(т)]. |
В этом случае определение характеристик нормального |
закона распределения случайной функции A(t) = A j(t) |
можно_про- |
изводить другим способом. Математическое ожидание х(х) — Xi(x) находится в результате решения системы дифференциальных урав нений:
|
dх |
- |
— |
— |
|
|
|
^хДД + х^Д т) |
|
о |
( « = 1 , |
2 , . . . , |
г а - 1); |
(41.35) |
|
|
d x п |
|
- |
,. |
|
|
ж |
= - « , А и . |
|
|
