Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Аналогично находим

Следовательно, случайный процесс с независимыми прираще­ ниями является марковским случайным процессом.

§ 2. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА

Теория марковских случайных процессов с дискретными ордина­ тами и непрерывным временем широко используется при анализе функционирования различных физических систем, называемых си­ стемами массового обслуживания. Каждая из таких систем в любой момент времени t находится в одном из N -{- 1 состояний С0, Си ...

••., CN и переходит скачкообразно из одного состояния в другое в произвольные моменты времени. Вероятность нахождения си­ стемы в любом состоянии в момент т > t зависит только от номера состояния, в котором находилась система в момент t, и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние и сколько времени уже находилась в этом состоянии. Исследование функцио­ нирования физической системы, условная вероятность перехода ко­ торой из одного состояния в другое зависит только от двух момен­ тов времени — настоящего t и будущего т, эквивалентно исследова­ нию поведения марковского случайного процесса X(t) с дискрет­ ными ординатами и непрерывным временем. Равенству X(t) = х к при этом ставится в соответствие нахождение физической системы в момент t в состоянии Ck (k = 0, 1, . .. , N). В этом случае гово­ рят, что марковский случайный процесс с дискретнымиординатами и непрерывным временем «протекает» в физической системе, т. е. марковский процесс описывает изменение состояний этой системы во времени. Следовательно, можно говорить о функционировании физической системы как об изменении марковского случайного про­ цесса с дискретными ординатами и непрерывным временем и, наобо­ рот, об изменении марковского случайного процесса как о функцио­ нировании физической системы, т. е. эти понятия можно отож­ дествлять.

9

в отыскании вероятностей (1.9). Для физической системы функ­

Вместо функций Rkj (t, т) можно также определять вероятности (1.10) всех возможных значений случайной функции X(t) и услов­ ные вероятности (1.11), которые также полностью характеризуют марковский случайный процесс. Для физической системы функция

Определяемая формулой (2.3) функция Pkj (t, т) называется ве­ роятностью перехода из состояния Ск в состояние Cj. Непосред­ ственно из определения следует, что при т = £ данная функция равна 0, если кФ /, и равна 1, когда к = /, т. е.

Так как P kj (t, т) — вероятность, то при любых значениях аргу­ ментов /, т и при любых индексах k, j

Суммируя вероятности (2.1) по всем возможным значениям вто­ рого индекса, находим

10

Так как

Для физической системы последнее равенство означает, что если в момент t система находится в состоянии Ск, то в момент x^-t эта система будет находиться в одном из ЛГ+1 возможных состояний Сj (; = 0, 1, N). Применительно к марковскому процессу X(t) с дискретными ординатами н непрерывным временем равенство (2.9)

Следует отметить, что существуют так называемые нерегуляр­ ные, или вырожденные, марковские процессы с бесконечным чис­

так называемом марковском процессе чистого размножения случай­

время случайное. Математическое ожидание данной случайной ве­ личины

оо

Когда число N +1 возможных значений случайной функции X(t) ограничено, при процессе чистого размножения эта функция за ко­ нечное время достигает наибольшего значения x n = N и остается равной этому значению, а потому М(Т) = с о . Если число возмож­

11

ных значений бесконечно большое, т. е. N = c o , а математическое

также М(Т) = с о , так как при этом не выполняется необходимое условие сходимости ряда (2.11). В данном случае случайная функ­ ция X(t) последовательно принимает возможные значения Xj — j (/ = 0, 1, ...), но за ограниченное время от t до т все значения при­ нять не может, что подтверждается равенством М{Т) — со.

Неравенство М ( Т ) < со возможно только в том случае, если выполняется необходимое условие сходимости ряда (2.11), т. е. при lim М ( Ts) = 0 . Тогда Af(T') можно понимать как среднее время

до того момента, как функция X(t) станет равной бесконечности.

того, что за время от t до т случайная функция примет оставшиеся возможные значения, число которых не ограничено. Для нерегуляр1 пых марковских процессов последняя вероятность отлична от нуля.

Таким образом, равенства (2.9) не справедливы, если за ограни­ ченное время случайная функция X(t) может принять бесконечное число ее возможных значений, т. е. если возможен своего рода взрыв, что имеет место, например, при, радиоактивном распаде. В дальнейшем будем рассматривать только регулярные марковские процессы, для которых условные вероятности Ркj (t, т) связаны ра­ венствами (2.9). Для обеспечения этих равенств, называемых усло­ виями регулярности процесса, должны выполняться дополнитель­ ные условия, определяемые в процессе получения аналитических выражений для функций Pw(£, т) (k, / = О, 1, ...).

Получим соотношение, которое существует между условными вероятностями Ящ (^> т) при различных аргументах. Для этого вос­ пользуемся формулой полной вероятности

Пусть событие А означает, что в момент т случайная функция Х(1) равна Xj, если в момент t было равенство X ( t ) = x K, Тогда

12