Q n — i ( ^ iu) :
При этом начальные условия записываются в виде:
Х х ( t ) = Х х — х\
x s + l ( t ) = |
x s + asx |
(s= 1 , 2 , . . . , п — |
(41.36) |
1 ) . |
Из (41.22) с учетом |
(41.9) и |
(41.31) получаем, |
что корреляцион |
ные моменты &js (т) являются решением следующей системы диф ференциальных уравнений:
dkJs
|
+ |
a j& ls |
+ a s ^ lj |
— ^ j+ l, s |
— £ s + l,J |
— |
PjPs |
|
( s = j , j + |
1 , - |
••, |
n - |
1; y |
~ |
l , 2,- |
.., |
n - 1); |
|
dk„, |
|
|
|
|
|
|
(41.37) |
|
dx -(- CL$kXn-j- GCn&jj |
^j-И,n := PjPn |
|
|
|
|
(7 = |
1 , 2 , . . . , |
ti— 1); |
|
|
|
|
|
^ |
+ |
2an&ln = |
fn . |
|
|
Начальные условия при этом нулевые, т. е. совпадают с (41.23). Закон распределения нормальной случайной функции X {х) = = .A'1('t) при этом определяется через известный закон распределе
ния системы \Хх (х) , .. ., Хп(t)].
Пусть все корни характеристического уравнения |
|
)“ + a1Xn-> + . . . + a n = О |
(41.38) |
для дифференциального уравнения (41.26) имеют отрицательные вещественные части, т. е. соответствующая физическая система устойчивая. В этом случае после затухания переходного процесса нормальную случайную функцию Х(т) 1можно считать стационар ной. Спектральная плотность этого процесса является дробно-ра циональной функцией частоты со и записывается в виде
5ХН — |
Q n - i (ft> ) |
(41.39) |
$ И , |
Р п ( Р ° )
г д е
Рп (*w) = 2 |
(*<°)n J; |
i=0 |
|
=2 3j j=i
' a S.(co) — спектральная плотность белого шума, т. е.
s^ = b -
Систему дифференциальных уравнений (41.30) можно преобра
зовать к уравнению |
вида |
(41.26) относительно любой компоненты |
A'j(t) (/ == 1, 2, ..., |
«) |
многомерного марковского процесса. По |
этому после затухания переходного процесса все эти функции яв ляются стационарными с дробно-рациональными спектральными плотностями. Следовательно, можно сделать вывод о том, что при устойчивой физической системе все компоненты многомерЬого нор мального марковского процесса имеют дробно-рациональные спек тральные плотности. Для практических приложений важно обрат ное утверждение (вторая теорема Дуба) о том, что любой нормаль ный стационарный случайный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса. Если, например, X (т)— ста ционарный нормальный случайный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью (41.39), то эту функцию можно рассмат ривать как стационарное решение дифференциального уравнения (41.26). Данная функция совпадает с первой компонентой Х г(т) «-мерного нормального марковского случайного процесса [Хг(т), ...
. .. . *„(т)], являющегося решением системы дифференциальных уравнений (41.30).
Возможность замены стационарного нормального случайного процесса X (т) с дробно-рациональной спектральной плотностью вида (41.39) компонентой многомерного нормального марковского процесса в принципе позволяет определить закон распределения
системы случайных функций [Z, (/), .. ., |
Zm(t)\ |
связанных |
с X(t) |
уравнениями вида |
|
|
|
|
|
dZ, |
«j [Zi (t) , . . . , |
Z m(t), |
X (t), |
t\ |
(41.43) |
- j f = |
|
0‘ = 1 , 2, |
m), |
|
|
где <oj {zu ..., zm, x, |
t) — заданные функции. Для этого нужно рас |
сматривать ЛДт) как компоненту ■Л’Дт) «-мерного марковского слу чайного процесса, являющегося решением системы дифференциаль ных уравнений (41.30). Совокупность дифференциальных уравне ний (41.30) и (41.43) с соответствующими начальными условиями
определяет |
(« + т) -мерный |
марковский |
случайный |
процесс |
[АДт), ... , Х п{%), 1\(т), ... , |
Z m(t)]. |
Если функции из правых ча |
стей (41.43) |
линейные относительно |
Zx(t), |
. . . , Z m(t) и |
X(t), то |
этот процесс нормальный. Замена реального случайного процесса марковским может быть произведена и в том случае, когда Z(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
” |
2 |
Т .(0 -^ “ Г + 6 [Z(t), t\=<*>{X (t), t], |
(41.44) |
|
s = 0 |
Clt |
|
где (0 (s = 0, 1, |
т — |
1)— заданные |
функции |
времени |
/; |
|0 (z, t) |
и со (х, |
t) — заданные |
в общем |
случае |
нели |
|
|
нейные функции. |
|
|
Для этого от уравнения (41.44) нужно перейти к системе вида (41.43), введя соответствующие обозначения для производных от функции X(t) .
Пример 41.1. Рассматривая нормальную случайную функцию _АГ(^) как компоненту марковского случайного процесса, определить
числовые характеристики |
нормального |
закона распределения |
при |
т > t если в начальный |
момент т — t |
известны значения х |
и х' |
случайной функции л (с) |
„ |
. |
dX(t) _ |
|
и ее первой производной — ^ — .После |
затухания переходного процесса можно счхгтать Х(т) |
стационарной |
случайной функцией, причем х = 0, |
а корреляционная функция |
(*) = з2е - а| т I |cos |
sin Pl- |
Pe ше ни е. Заданной корреляционной функции А4(т) соответ ствует спектральная плотность
S » ' |
2з2я(а2 4-р2) |
_ |
тс I(ш2 — а 2 — Pa)a Н- 4«2а»г] |
|
|
|
|
2о У а (а2 + р2) |
|
|
2тс {imf 4- 2aimД- а2 4- З2 |
|
Поэтому в данном случае |
|
Рп(1“ ) = |
(гш)2 4- 2аг'ш 4~а24р2; |
Qn-i ( И = |
2 о /а (а2 4- р2). |
Сравнивая эти выражения |
с (41.40) и (41.41), получаем: |
п = 2; «I = 2а; а2 = а24 -р 2; Pi = 0;
р2 = 2 а , / а ( а 2 4 - р 2).
Случайную функцию Х(т) можно рассматривать как решение дифференциального уравнения
dlX |
+ ai |
d X |
dxr |
+ *2* СО = № (*)• |
Согласно (41.27) положим:
^ ч (г) — К (г); Х г (ъ) — d X -)- а.хХ (т).
Тогда X (z) совпадает с первой компонентой двумерного марков ского случайного процесса [АГ, (т), АГ2(т)], являющегося решением системы дифференциальных уравнений
^ = - а 1Х 1(х) + Х 2(х)]
с начальными условиями:
|
Х \ ( 1 ) = Х \ |
Щ Х . |
|
Этот' |
процесс нормальный. Математические ожидания |
xt(z) и |
Яг(т) |
случайных функций Х х(т) и Х 2(х) находятся как |
решение |
системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
dxx = — ^л-Дт) + |
х 2(х); |
|
|
dx |
|
|
dx2
dx — а2Х\(т)
сначальными условиями:
Х\ (t) = x-, x2(t) = x'-\- а \ Х .
Характеристический определитель этой системы
|
X + ai |
- 1 |
= 0 , |
|
|
a2 |
X |
|
|
а потому характеристическое уравнение |
|
|
№ -I- ср Х |
я г |
0. |
|
Корни этого уравнения |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
Х 1 (•') = |
C 11e - a ( t - t ) c o s p ( 1: — |
t ) - ь |
з |
( т — 1 ) \ |
х 2(т) = |
С21е~ай-t) cos р (т - |
t) + |
С22е -“ (*-‘>sin р (х — t). |
fl |
|
|
|
|
Воспользовавшись начальными условиями, находим: |
Схх— х; C2i = |
— x'-j-atx. Чтобы определить СХ2 и |
С22, подставим |
хх(т) и х2(т) |
во второе уравнение и сравним члены при различных тригономет рических функциях. Тогда получим:
аСг1 + рС22 = — агСц;
$Сц -f- аС22 = ct2Ci2.
Поэтому
|
С 22 = р-(аС21— я2С11) = |
-1- [ax' + |
(а2 — Р2) х ]; |
|
С12= — (РС21 + |
а.С22) == -д- (х' + |
ах). |
|
«2 |
|
|
|
|
Р |
|
|
Таким образом, искомые математические ожидания следующие: |
Xj(x) = |
х cos р (т — £) + -j- (х' + ах) sin р (х — t) |
x 2 (x) = |
e~a<T-t>| (x ' + |
2ax)cos p (x — t) -f- |
|
|
|
+ j - [«■*' + |
|
(a2 - |
p2) x] sin 8 (t — t) |
Система дифференциальных уравнений (41.37) в данном случае |
записывается в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dkn |
2ajAu — |
2 k n |
= |
0; |
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk12 |
• |
4 " |
a 2 ^ u |
---- ^22 — |
0 ; |
|
flfx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ f |
+ 2«2A12 = |
|
$ |
|
|
|
Характеристический определитель этой системы |
|
X -J- 2 а х |
— |
2 |
|
0 |
|
|
|
®2 |
X + |
a i |
|
- 1 |
0, |
|
|
0 |
2 а 2 |
|
X |
|
а потому характеристическое уравнение |
|
|
Я3 + 6аЯ2 + 4 (За2 + р2) Я + 8а (а2 + р2) = 0. |
Одним из корней этого уравнения является |
Я1 = — 2а. Остальные |
корни находятся из уравнения |
|
|
|
|
|
|
Я2 -f- 4аЯ + 4 (а2 + Р2) = 0, |
поэтому Я2,з= — 2а ± |
2гр. |
|
|
|
|
|
|
