ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 1
где 0(2) — второй основной инвариант девиатора тензора |
напря |
жения; а и b — прочностные показатели, аналогичные |
сцепле |
нию и коэффициенту внутреннего трения. |
|
Учитывая соотношения (1.3), преобразуем (1.22) к виду |
|
<г2(1 — JX) — а —;ЗЬР = 0. |
(1.23) |
Из уравнения (1.23) с учетом первой формулы (1.4) определим величину коэффициента бокового давления в области пласти ческого течения
аг -Vfii
(1-24)
1 + 2Ь
Работа против сил сцепления и трения при деформировании элементарного объема определяется как произведение вторых инвариантов девиаторов тензоров напряжений и деформаций
(1.25)
Определим приведенный к главным осям девиатор тензора де формации через перемещение Ur и радиус г и получим для плоской задачи (при цилиндрической симметрии движения взрывного импульса)
1 О |
при у = 2. |
(1.26) |
е U — 0—1 |
Для пространственной задачи (при центральной симметрии дви жения взрывного импульса) соответствующее выражение будет
U_ |
2 |
0 01 |
(1.27) |
е <7 - г |
0— 1 0 1при у = 3. |
||
|
0 |
0 1j |
|
Из (1.26) и (1.27) найдем вторые основные инварианты девиа тора тензора деформации, определяющие интенсивность дефор мации формоизменения. Для обоих случаев (у — 2 и у= 3) они могут быть выражены уравнением
<4,y=U- j V b n = 3. |
(1-28) |
Аналогичным образом из соотношений (1.3), определяющих приведенный к главным осям девиатор тензора напряжений, с учетом первого уравнения (1.4), определяющего величину боль шего главного напряжения, получим значение второго основно го инварианта девиатора тензора напряжения
o('r)= ^ L r - y * ( 1 - р пл). |
(1.29) |
2* |
19 |
Из (1.28) и (1.29) с учетом значения ц,пл из формулы (1.24) определим работу пластической деформации формоизменения элементарного объема dN:
dA « = ^ ■ СТ - Т Т 2 ь(3^ Ь + a)dV.
После интегрирования по площади величина dAnsi составит
dAПЛ |
2Т~‘(У — 1) |
1 + 26 |
(3a0V-v6i& + a) dr. |
(1.30) |
|||
V y + i |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Наконец, после подстановки значения Ur из (1.13) |
формула для |
||||||
определения |
элементарной |
работы |
деформации |
формоизмене |
|||
ния приобретает вид: при 62> 1 |
|
|
|
||||
-- 2у-1 |
у —1 |
Л7•V—1 |
___ |
__1 )(3ajr |
6,v6 + a)dr; |
||
|
|||||||
/ у + 1 1+ 26 |
(S2 — I )' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
при б„ = 1 |
|
|
________ |
|
(1.31) |
||
|
|
|
|
||||
Непосредственное интегрирование приведенных дифференциаль ных уравнений, как это было сделано в предыдущем случае при определении работы уплотнения, выполнить нельзя. С целью упрощения разобьем правую часть уравнения (1.31) на две час ти: работу, величина которой зависит от внутреннего трения и уровня напряжений Аь, и работу, зависящую в основном от ве личины сцепления Аа. Приведем выражение лишь для случая
62> 1:
dA„„ — dAa+ dAb;
|
|
|
|
|
|
+ - 1dr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
|
|
|
|
|
|
r-v(e,-i)-i |
|
где |
a* = |
v—i |
у — 1 |
a |
Ь* = 2V_I |
Y — 1 |
3b |
|
2 |
Уу+ Т |
Л г+~2&; |
Уу + |
1 Я 1+ 26' |
||
Численное определение затрат энергии взрыва на выполне ние работы сдвиговой деформации целесообразнее произвести для второго варианта при использовании условия пластичности
20
Прандтля — Кулона, поскольку, в отличие от коэффициентов а и Ь, по величинам сцепления то и угла внутреннего трения tp имеются экспериментальные данные и можно выполнить чис ленные расчеты. Приведем условие пластичности и дополнитель ное условие полноты предельного состояния:
~4~ (а11 + + а12 — 4 Ч>' (ffjl + °22 + • (1-33)
Величина коэффициента бокового давления аналогично (1.24) составит
|
|
|
О Т° |
Т7в1 |
|
|
|
|
1 — sin ф - ■2— Ъ |
(1.34) |
|
|
I* |
|
1 -f- sin ф |
|
|
|
|
|
|
||
С учетом (1.25) — (1.29) |
работа пластической деформации фор |
||||
моизменения элементарного объема будет |
|
||||
dAn |
у — 1 |
• \ |
• ГТ^Гф |
Ф + io)dV. |
(1.35) |
Y f + i |
|||||
После интегрирования по площади |
|
|
|||
<МПЛ = |
2v Y— I |
n U rr.7—2 COS ф |
( о / v6‘ tgcp + X0)dr. |
(1.36) |
|
|
Vy+ |
1 |
1 + sin ф |
|
|
Аналогичные (1.32) выражения для определения работы против сил сцепления Ах и работы против сил внутреннего трения имеют вид: при бг> 1
dAnjI = dAx -f- dAv;
|
dAx = т* (1 f |
i j -------------- |
— l) rv~ ldr; |
|
при 62 < |
1 |
|
|
|
|
dAq, = ф Ч ( |
\ f \ |
-------- |
J |
|
\ |
V |
(6 - iY 2 |
|
При 62= |
1 |
|
|
|
dAx = T-( j / l + 0 0 - ^ - l ) r -« 6' - " - ldr;
|
dA^ = |
cp*or0 ( У 1 + |
©о ~ |
|
- 1) r-*b~l' - ldr; |
} |
||
|
у — 1 |
cos ф |
ф* = |
2^ |
Y — 1 : |
nUT1 |
COS ф |
|
= 2 V |
V"y+ 1 |
Ч-эшф T°’ |
Vv+ 1 |
sin Ф tg Ф- |
|
|||
(1-37)
21
Для приближенного интегрирования разложим подкоренной дву член в правой части уравнений в биномиальный ряд в степени у, прибавив к нему оставшуюся часть заключенного в скобки выра
жения и обозначив - |
0, |
|
Inг |
|
|
|
|
|
= У или ©о — = У. |
|
|
||||
При У > 1,т. е. при малых расстояниях до заряда, |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0о |
7б2 |
|
|
|
|
|
|
б2- |
1 |
|
|
|
для случая у = 3 получим бесконечный сходящийся ряд |
|
||||||
|
1 |
1 |
2 |
V— — |
Я |
— |
|
|
|
|
V —— |
|
|||
|
(У + 1) 3 = У 3 - Ц 3 |
3 + Й У |
+ |
|
|||
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
П+Т |
|
(1.38) |
+ |
т ( “ т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) ! |
|
|
||
для случая у = 2 — аналогичный ряд |
|
|
|
||||
|
_l_ |
_1_ |
_1_ |
_ з_ |
__ |
|
|
|
( У + l) 2 == у 2 + ^ - 2 - |
I 2 +17, 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
+т(-т)(-4) |
|
- |
-«+4 |
(1.39) |
||
|
|
|
---1 |
||||
|
|
|
|
||||
|
Расчет работы по деформации формоизменения в пластической зоне |
||||||
диусах |
зарядов (г0) |
Величина интеграла |
|
Уровень напря |
|
||
|
|
гп |
|
^4ф Ю 8, дж, при |
Значения <plt |
||
|
|
|
|
жения о г |
|||
до взрыва |
после взрыва |
j |
urr4<hdr |
(p=sconst |
дан/смг |
град |
|
|
|
rn- 1 |
|
|
|
|
|
2 |
6,94 |
|
3,01 |
2,75 |
|
548 |
0 |
3 |
7,05 |
|
0,75 |
6,87 |
|
153 |
10 |
4 |
7,3 |
|
0,276 |
2,53 |
|
62 |
15 |
5 |
7,65 |
|
0,124 |
1,13 |
|
30 |
22 |
8 |
9,38 |
|
0,144 |
1,32 |
|
7 |
27 |
10 |
10,93 |
|
0,022 |
0,205 |
|
3,5 |
27 |
15 |
15,48 |
|
0,020 |
0,184 |
|
30 |
27 |
20 |
20,28 |
|
0,005 |
0,046 |
|
30 |
27 |
30 |
30,12 |
|
0,003 |
0,027 |
|
30 |
27 |
40 |
40,07 |
|
0,001 |
0,009 |
|
30 |
27 |
Итого: |
|
|
|
39,83 |
|
|
|
В % к НЕ |
|
|
57,5 |
|
|
|
|
1
При больших расстояниях до заряда г„ > ^ - ° ^ j Убг выраже- ния, аналогичные (1.38) и (1.39), имеют вид
( 1 + У Г 1= 4--^ + йу3+ ---+Нг
/п—1 (п — 2) (п— 1)! >
(1.40)
- ( п - 2) Y'П — |
1 |
(я- |
1)! ' |
Сходимость следует непосредственно из вида общего члена каж дого из приведенных рядов. Чтобы установить возможность почленного интегрирования, оценим погрешность, определяемую величиной остатка ряда после п-то члена. При п > 2 для второ-
го |
|
|
|
|
3 |
Y |
|
|
|
случая (1.40) она будет Л < —т |
. Для близкого к гранич- |
||||||||
|
|
|
|
|
1о п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©о |
|
|
|
|
ному |
значения г0^1 5 0 |
при 1—б2 |
: 150 |
величина |
погрешности |
||||
при |
п — 2 оценивается |
весьма |
малой |
величиной |
Д ^4,2-10_6. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3 |
вокруг сосредоточенного заряда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Величина ин |
|
|
|
|
|
Работа |
Пересчет- |
Лф *103, дж, |
A f l V , |
дж, |
Пересчет- |
Л* 10*, дж, |
при Лп -103, дж, |
|||
ный коэф |
при ф=:ф(02) |
теграла |
при r„=const |
ный коэф |
iT©==x(c) |
в преде |
|||
фициент |
\и Ггйг |
фициент |
лах зоны |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г з ~ г0 |
0 |
|
0 |
7,1 |
2,8 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0,478 |
|
3,25 |
11,1 |
4,1 |
|
0,62 |
|
2,5 |
327,5 |
0,66 |
|
1,74 |
12,7 |
4,7 |
|
1,0 |
|
4,7 |
506,2 |
0,93 |
|
1,05 |
13,2 |
4,9 |
|
1,0 |
|
4,9 |
616,1 |
0,93 |
|
1,32 |
36,4 |
13,4 |
1,0 |
|
13,4 |
761,5 |
|
0,93 |
|
0,205 |
20,3 |
7,5 |
1,0 |
|
7,5 |
789,5 |
|
0,93 |
|
0,184 |
43,8 |
16,1 |
|
10 |
|
16,1 |
824,0 |
0,93 ' |
|
0,046 |
32,0 |
11,8 |
|
10 |
|
11,8 |
840,4 |
0,93 |
|
0,027 |
46,0 |
16,9 |
|
1,0 |
|
16,9 |
860,0 |
0,93 |
|
0,099 |
32,0 |
11,8 |
|
10 |
|
11,8 |
872,7 |
|
|
7,832 |
|
94,0 |
|
|
|
89,5 |
872,7 |
|
|
11,5 |
|
1,39 |
|
|
1,31 |
12,8 |
|
22 |
23 |