Файл: Вовк, А. А. Действие взрыва в грунтах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Определим входящие в выражение (1.96) интегралы:

т

—

Г ф (r)dr

 

( 0 (r )d r= (1 — a)ln-£-;

е

а

(1.97)

а

 

 

 

г

 

 

 

а

+ °а_1- т f ?г ч г -

(г-98)

а

 

Учитывая граничное условие (1.91), для функции П0(^) по­ лучаем выражение Пo (t)= o r(a, t). Тогда радиальные напряже­ ния с учетом выражений (1.97) и (1.98) можно записать в виде

0r (r,o =

n o( o ( f ) ‘

“+ т = ^

+

 

1

dfit)

j p

r ^ d r - i ^ - J p

r - 2-4*^.

(1.99)

Л1 -а

dt

 

 

 

 

Функцию /(f) можно определить через текущий радиус по­ лости из (1.93), учитывая, что v(a, t) =da/dt:

Отсюда получим

 

- Г '4#

-

<u 0 0 >

 

 

 

 

 

df ( 0 ___d (а ) .

.2 /л __1_ Гd (а ) 1

/т ,л,,

dt

2 ' dt* ’

/

~

4 [ Л

J ‘

Подставим (1.100) и (1.101) в (1.99):

 

 

 

". = о, (г, о = П„й ( f )‘- + ^

 

[ 1 - ( i ) ' - ] +

^ 2л1- 0

dt2

 

 

 

 

43

Запишем выражение для напряжений на фронте ударной волны до излучения упругой волны

ar^ a r(R,t) = U0( t ) ^

“+

п

^

 

 

 

 

 

1

d2 (a2)

R

1

M(«2)

 

 

 

 

j pr~adr —

 

 

 

 

+

 

 

4R!-a [

d/

 

 

 

 

 

2Rl~ a

dt2

 

a

 

 

dR_ 2

 

a

 

 

 

 

 

 

= — p 0

 

 

 

 

 

 

(1.103)

 

 

 

 

 

d<

'

 

 

 

 

Учитывая,

что p — y ^ -Q и 0 «

1,

проводим интегрирование в

выражении (1.103), при этом в правую

часть вместо 0*

подставим

его выражение

0* =

 

о*/Р = aa/RR. Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р0 d*(а2)

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Rl~ a

dt2

 

 

 

 

 

Рр

 

d (ar)

(P—1~a — a

-’- “) =

X - ± - {R' - ° - a ' - a) + 4(l + a)^1~a

 

dt

 

 

 

 

 

n

a

da

dR

 

 

 

 

(1.104)

 

 

= - p o ~ P C

R

dt

 

dt

‘

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Исключим из этого уравнения R и

 

,

 

исходя

из

того, что

масса уплотненного грунта в области [a, Р] равна массе неуплот­ ненного грунта в области [а0, Р]. Названное условие для осевой симметрии запишется таким образом:

R

 

R2 = 4 + j - ^ r p ( r ) d r .

(1.105)

а

Данную задачу решаем методом последовательных приближе­ ний. Для получения нулевого приближения полагаем р(г) =

=Pm = CO nst.

Такое приближение оправдано результатами экспериментов [57], согласно которым существует определенная область, при­ мыкающая к полости, где под действием взрывной нагрузки достигнута максимальная плотность рт грунта в результате ликвидации пористости на 3/4 ее начального значения. Теперь из (1.105) получим отношение

аV&m

~R

(1.106)

где 0 т =

44

Обозначив у =

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

d y _п d a

d 2a

d 2a __ 1 d y

 

 

(1.107)

 

 

 

~ d f ~ Z d T ' ! i 2 ’

~di2 ~

T ' l E

'

 

 

 

 

 

 

Правую часть в уравнении (1.104)

можно переписать следую­

щим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< М 0 8 >

С

учетом

выражений

(1.106) — (1.108)

уравнение

(1.104)

примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — (1 — 0

а. \2

J*—1

 

 

 

 

 

Р„а

м

2

dy_ I

 

 

 

1

'лп'

а /

 

1

2 (1 — а)

е

 

 

da

' 11 — а

 

‘

1 (1

9 m) (—

a—1

 

 

 

0_

 

 

2

 

Ро

 

 

 

 

Va /

 

+

 

 

2 X

 

L

 

ТП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ a „ \ 2

a - f- 1

 

 

 

 

 

X

 

1 _ ( ! " e m ) \ - f )

2

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

У —

1

—

0 m

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘ - “

- М - т )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Р

 

(1.109)

 

 

 

 

 

 

 

—

_____ 11----

 

 

 

 

 

 

 

 

о

1— а

 

Перейдем в уравнении

(1.109)

к

безразмерной форме с по­

мощью таких формул:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г —

 

 

 

 

 

 

( 1. 110)

Из (1.109) и (1.110) получим дифференциальное уравнение первого порядка в безразмерной форме, устанавливающее соот­ ношение радиуса полости со скоростью ее расширения,

~ = F(x,z).

(1.111)

45

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (х, z) =

-------2(1-„ -? '— { у т г ^ П - Ф о 2

W H -

 

 

 

 

 

 

Ф0 2

(*)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«+1

 

|

 

 

 

 

+ ;, , 1™

 

И — Ф0 2 W l+ -= rW [z +

 

 

 

U +

«)Ф0 М

 

 

 

<p0w

 

 

 

2 ( 1 - а )

 

 

 

 

а — 1

 

 

 

 

Т + Г + *

*)< + W

- ^ o - r ^ T

 

(1. 112)

 

а — 1

 

 

 

 

л? [ 1— Ф0 2 W]

 

 

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п „ ( О =

 

 

 

 

 

 

F (х, z) =

 

2 - + f

| т+ г 1 ' - ' + ~ W1 +

 

 

 

 

At[l—ф02 (JC)1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o + l

 

j

 

 

 

 

+ ;, ■1 - ^ t l - Ф о 2 Wl + ^ rW U +

 

 

 

(1 + а ) Ф 0 (х)1

 

 

ф0 W

 

 

 

+

+ Р ?х -*А < р + (х) -

р0-

г + г

2(1 — а)

 

(1.113)

 

а — 1

 

при

 

 

 

 

 

 

Ф0 2 W1

 

 

 

 

 

 

 

— 2,5

 

 

 

 

 

п 0Ю = -

я с

 

 

 

где

 

а„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Р

-

Р

 

 

jc2 — 1 + 0 ™

 

к-

В

0

Ф0 (х) =

0

’

 

Р = Р~

Р — _1 •

О - .

 

 

с

р >

х О

Р •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.114)

Уравнение (1.111) можно решить только численным спосо­ бом, при этом необходимо учитывать два вида функции F(x,z) — (1.112) и (1.113). Кроме того, счет ведется до того момента, ког­ да скорость ударной волны станет равной скорости продольной упругой волны. С момента излучения упругой волны, условия совместности на фронте ударной волны, в отличие от вида (1.104), будут включать еще и параметры упругой разгрузки:

6. — 0 .

•(<4-<W > = Р о Т 7 ^ т ( Я - о 2;

( 1 - е ,

(1.115)

Я ( в — в , . ) = у , — 0 — е . ) » „ .

46

В (1.115) индекс е относится к упругим параметрам грунта впереди ударной волны.

Упругие параметры получим из решения задачи о распро­ странении цилиндрической упругой волны в упругом простран­ стве. И. В. Зволинский указывает, что такая задача с больши­ ми трудностями решается только численным способом. Ниже будет показано, что задача имеет аналитическое решение. Ос­ новные соотношения для радиальных упругих перемещений при осевой симметрии записываются в следующем виде:

да.

 

1 .

ч

 

д2и

(1.116)

дг

 

~F (°r

% ) ~

Ро

dt2 '

 

ди

 

 

 

 

 

 

ЕГ

дг

’

е<Р

Г

’

62 _ 0;

 

^ = (6 + p ) # + ^ f ;

 

^

ди

+ Р) ~ '>

 

 

 

 

 

ди

 

 

 

(1.117)

 

 

ог = Ь ^ + Ь ± ,

 

где и — радиальное

перемещение; ег, еф и sz — соответственно

радиальная, окружная и осевая деформации; К,

р. — постоянные

Ламе. Подставляя соотношения (1.117) в уравнение (1.116), по­ лучаем уравнение упругих колебаний для цилиндрической сим­ метрии

 

 

 

 

 

д2и .__ 1_ ди

и2

 

Р0

д2и

 

(1.118)

 

 

 

 

 

дг2

г

~дг

Т 2"

_

S - f р ‘ dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (1.118)

будем решать

методом Фурье

(методом раз­

деления переменных). Перемещение представим

в виде

произведе­

ния двух

функций

и (г, t ) ~ T

(t) R (г).

Подстановка функции и (г, t)

в (1.118)

приведет

к

 

 

 

R"

J D'

 

1

]

У"

где

выражению

 

 

 

 

 

 

Cl =

я + р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение в левой части зависит

только

от г, а в правой —

только от t. Это возможно в том случае, когда

каждое

из

этих

выражений равно

константе.

Обозначим эту

константу через

/г2;

тогда

R"

,

1

R'

 

1

 

1

Т"

 

,2

 

 

 

 

 

 

R

~

г

R

 

а

 

_о

‘ т*

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

г -

 

С2

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных

уравнения второго порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г "+

Clk2T == 0;

 

 

 

(1.119)

 

 

 

 

 

r2R

+ rR' +

{kV — 1) R = 0.

 

 

 

(1.120)

Решение уравнения

 

(1.119)

представится в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = C ^inC vkt+ C2cosC0kt.

 

 

(1-121)

47

Смотрите также файлы