ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 1
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R = - |
kR~*~1( 1 + 4 2) [...] - |
2aR -* -3[...] + |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x — 2y r e » |
|
|
|
4a (x — 2) |
3 | j ___ a_ |
M |
|
NR-Ъ |
|
+ |
|
|
ai |
|
R2} \ x (x — 2) |
(x — 2y) (x — 2y — 2) |
||||
|
аул (x — 2) |
(MR*~5— 2MR*-7) + |
|
8a?N |
|
X |
||
|
y |
y |
|
|||||
|
|
|
|
(x — 2 ) (x — 2 — 2) at |
|
|
||
|
x Щ *-2'-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8aR K~ b |
M |
|
ЫЯ-2v |
|
4jVy |
X |
|
|
|
x (x — 2) |
(x — 2y) (x — 2y — 2) / |
ог (x — 2y) |
||||
X |
,X — 2 v — 1 |
R2! ^ |
|
S8yVaY |
R*-2y~3 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
«i (x — 2y) (x — 2y — 2) |
|
|
|
(1.78)
Таким образом, решение задачи по определению напряжен ного состояния грунта при взрыве цилиндрического удлиненно го заряда доведено аналитически до конца. В основное уравне ние после его окончательной расшифровки входят известные параметры заряда г3, Рн, у и характеристики грунта р0, р, К и Ь. Последние две входят в условие пластичности (1.55) и опреде ляют сопротивление грунта сдвигу.
Численное решение уравнений (1.57), (1.58) и (1.73) дает удовлетворительное совпадение параметров ударной волны с данными практики лишь в пределах относительных расстояний от оси заряда 1 ^ л 0^ 4 0 . Однако применительно к более отда ленным слоям массива грунта, где принятые допущения неоправданы, решение задачи о движении взрывной волны в связ ном грунте не может строиться на столь упрощенной матема тической модели.
Рассмотрением такой задачи занимался ряд авторов [25, 49, 81]. В математическом отношении эта задача обладает извест ной сложностью, поэтому для ее решения делались упрощающие допущения, в основном касающиеся выбора модели связного грунта. О существующих моделях грунта в достаточно полном объеме упоминается в [25, 49, 67, 81, 83].
Как известно [25, 67], при распространении ударной волны в грунте в определенный момент времени скорость ее становится равной скорости упругой продольной волны, т. е. в этот момент происходит излучение упругой волны. В дальнейшем необходи мо строить решение с учетом того, что впереди ударной волны
39
движется упругая. До сих пор для случая цилиндрической сим метрии подобное решение отсутствует.
В отличие от работ [67, 81, 83], в настоящей задаче выбира ются ненулевые начальные условия. Согласно [9], начальные значения давления массовой скорости и плотности определяют ся из системы уравнений, описывающих состояние грунта на фронте ударной волны и продуктов детонации в волне разреже ния. Решение проводится с учетом излучения упругой волны и ненулевых начальных условий. При этом связный грунт мо делируется упруго-пластическим телом в том виде, в каком его предложил С. С. Григорян.
Учитывая быстрое затухание параметров ударной волны, полагаем, что диаграмма объемного сжатия и условие пластич ности, полученные для относительно небольших давлений, спра ведливы во всем диапазоне давлений. Для данного упруго-плас тического тела будут выполняться все законы механики сплош ной среды, в частности законы сохранения количества движе ния и сохранения массы.
Начальные скорость частиц грунта v, удельный объем грунта V и давление на фронте ударной волны Р, согласно [9], опреде ляются из системы уравнений
|
т |
V |
/ Р \ V, |
Го |
= ос. [-к) |
(1.79)
п \ п /
|
1 Р - Р п Vn- V |
(1.80) |
||
|
3 |
р п |
71 |
|
|
|
|||
|
|
71 |
|
|
, |
[ |
V2 (P - |
P 0>V2 , f V2 |
|
+ |
а 2 j^ |
|
|
|
_ 1_
+ а3 |
У3 (p ~ p 0>v s |
Vs |
|
||
|
с2 |
|
cl = 3Pnvn-
Рвв^
п = 2(k+ 1) ’
(1.81)
(1.82)
(1.83)
где Сп — скорость звука в продуктах детонации, еще находя щихся при начальной плотности в объеме заряда; Vn и Рп — соответственно начальный удельный объем и начальное давле ние продуктов детонации; рвв и D — плотность взрывчатого вещества и скорость детонации; к — показатель изэнтропы продуктов детонации, k — 3\ У0 — начальный удельный объем грунта; сеь а2 и аз — содержание по объему соответственно газо образного, жидкого и твердого компонентов при начальном гор-
40
ном давлении; Vi, V2, Vz — удельные объемы соответствующих компонентов при начальном давлении; Сь С2, С3 — скорость зву ка в соответствующих компонентах при начальном горном дав лении; уь у2, уз — показатели изентроп соответствующих ком понентов.
Как видно из системы уравнений (1.79) — (1-83), начальные параметры грунта при мгновенной детонации заряда опреде ляются свойствами как ВВ, так и грунта. Система уравнений (1.79) — (1.80) решается графически.
Движение выбранной модели упруго-пластической среды до момента излучения упругой волны описывается системой уравнений:
даг , |
1 , |
|
. |
|
(dv |
. |
&Л |
|
(1.84) |
||
-аг + т К - %) = р Ы + v ^ j |
|
; |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
Ф |
|
d(pv) |
pv |
|
|
|
|
|
(1.85) |
|
|
dt |
1 |
dr |
1 |
г |
= |
о; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ф* |
, |
Ф* |
|
. |
|
|
|
(1.86) |
|
|
|
dt |
+ V* |
dr |
~~ |
0; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
т i(°r + p)2 + |
К |
+ p )2 + |
К |
+ |
р П = |
т |
(fep + fe)2; (1.87) |
||||
|
|
|
P = m0v. |
|
|
|
|
|
(1.88) |
||
|
|
uz |
|
2 |
|
’ |
|
|
|
|
(1.89) |
|
D |
|
ar + aФ+ °z |
|
|
|
(1.90) |
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Движение грунта вследствие осевой симметрии одномерное радиальное. Деформирование грунта происходит только при возрастании напряжений, а при разгрузке сохраняется плот ность, достигнутая при предыдущем нагружении. Это условие представлено в виде уравнения (1.86). Звездочкой отмечены параметры на фронте ударной волны. В системе (1.84) — (1.90) введены обозначения: аг, оф и сгг — соответственно радиальные, окружные и осевые напряжения; г — радиальная координата Эйлера; ро и р — соответственно начальная и текущая плотности грунта; v — скорость частиц грунта; © — объемная деформация грунта, 0 = 1 —р 0/р .
Граничными условиями для системы уравнений |
(1.84) — |
|
(1.90) будут следующие: |
|
|
ar {alt) = — Рп[1г) 6 |
ПРИ аг > Рс=3000 дан/м*-, |
(1.91) |
аг (a, t) = Pe ( |
при ог < Рс; |
|
41
(1.92)
ог = + Ро®*^о;
Выражения (1.91) описывают закон адиабатического расши рения продуктов детонации для тротила, по Джонсу и Миллеру, а зависимости (1.92) являются условиями совместности на фрон те ударной волны. Здесь а0 и а — соответственно начальный и текущий радиусы полости; Ro — скорость ударной волны. Усло
вия (1.92) записаны для случая, когда Ro>C0, т. е. скорость ударной волны больше скорости упругой волны и впереди удар
ной волны грунт находится в естественном состоянии. |
|
||
ду |
Из выражений (1.87), (1.89) и (1.90) находим |
зависимость меж |
|
окружным и радиальным напряжениями в |
виде сгф = |
ааг + 0, |
|
где |
os = (j/6 — k){Vb +й); р =(2b-2kP0)(V6 +k). |
|
|
|
Учитывая допущение, что грунт при разгрузке не изменяет |
||
своей плотности, из уравнения (1.85) получаем для |
скорости |
||
частиц за фронтом волны |
|
|
|
|
|
|
(1.93) |
где f(t) — произвольная функция времени. Подставим (1.93) в уравнение (1.84) и получим
Это уравнение можно переписать в виде
^ + Ф (г)or = F(r, t), |
(1.94) |
где
Решение уравнения (1.95) запишется следующим образом:
Г Г
стг (г, t) = e ° |
П0 (t) + J F (г, t) е* |
dr . |
(1.96) |
|
а |
|
|
42