Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

Скачать файл (11,53Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- { H h + 1 - H ) = h v h , £ = 0 ......			п — 1;
— 1©ЯА= —	{vh-Vk-i),	k = \....	п —	1;
(X	(vn—O n — l ) ;
— Ш Н= —	(vn—O n — l ) ;	Я о = 0 ;	Утг =	1,

решение которых легко получи'ть методом прогонки.

Вначале ищем решение первых трех уравнений системы

(3.49) H h = H i, vh = v%, в предположении, что Я§ == О,

ио.= 1 » а затем определяем

&	*	(3.50)
	Vn

Пренебрегая бесконечно малыми величинами более вы сокого порядка, получаем:

•—	со	. co/j 2		„ , ч
•—	1 — i ~~z~ +	с ~~г +		0 (со)
Нп = '	со -\|- i со/г			(3.51)
1 i	со -\|- i со/г	—	- 1	+ 0 (и)
~	2 ' 2	а

Разложение числителя и знаменателя правой части вы

ражения (3.45) в ряды по степеням со позволяет записать аналитическое решение вышеизложенной задачи в виде:

1 +г	+ 0 (со)
Я(1) = -	О
Я(1) = -	(3.52)
■ + i	+ о (©)

Сравнение выражений (3.51) и (3.52) позволяет выбрать оставшийся пока произвольным коэффициента = 2. Такой

выбор можно сделать и непосредственно из разбиения урав

нений (3.46). Однако использование односторонней разно сти только при моделировании граничных условий потре

бовало приведенного выше доказательства. Часто строят

разностную схему при коэффициенте а, равном бесконеч ности. Исключая из системы (3.42) величину Q, приводят ее к уравнению теплопроводности:

дР _д2Р

(3.53)

dt дх2 ’

1G4

решение которого приближенно получают из системы обык

новенных дифференциальных уравнений:

^ ^ ( P k + i + P h - i - Z P k ) . * = 1....... л - 1

(3.54)

при представлении граничных условий по расходу в виде

3 1 , - ! = — ;-— ,

(3-55)

что соответствует схеме, изложенной выше при величине а,

равной бесконечности.

Можно привести примеры использования такого метода

аппроксимации при решении подобных задач. Аппрокси

мация граничных условий по расходу уравнением (3.55)

практически не влияет на точность расчетов, проводимых

с большим числом звеньев разбиения по оси Ох. Действи

тельно, непосредственно из формулы (3.51) следует, что

при	малой величине h безразлично, будет коэффициент
а =	2 или бесконечности.

Рассмотрим задачу моделирования точки разветвления

нескольких участков газопроводов по формулам (3.42).

Для каждого из участков, подходящих к такой Точке,

запишем уравнения движения в виде:

д Р (1)

=p ( 0 Q ( ' ) ;

дх	(3.56)
дР(г) dQ( 0
dt	dxU )'
где 0 ^ лД) ^ /(*>, i = l,	..., т — номер участка газо

провода, приходящего в точку разветвления. Ей соответст

вуют координаты xW =

Для простоты изложения рассмотрим случай, когда все участки разбиты на п звеньев. Аналогично системе уравне

ний (3.47) запишем для каждого из участков уравнения

прямых:

— рк ]] = Л<0 Р(!)(2 * )» fe=0, .. ,,	п— 1;
k = l,...,	и —1 ;
	(3.57)
d P i l) a ( i )
dt

165

В самой точке разветвления должен выполняться закон

неразрывности потока газа, и давление должно быть общим

для всех участков:

т	(3.58)
2 <&°=о; р ,!)( = р ДЛЯ 1 = 1 , . . . ,	(3.58)
/= 1
Таким образом, для определения* давления	Р п и расхода

Qnl) получаем вместо уравнений системы (3.57) равенство:

fl(i)	dPn	(3.59)
а (0	dt =Q{ri)—Qk<i)-i-

Складывая почленно левые и правые части выражений

(3.59) для i =	1, ...,	т,	получаем	с учетом	уравнений
(3.58)
	Ь	КП	V	Qd)	(3.60)
	2d	„(о	dt - 2 Л - 1
	i= 1		i =1
Этим самым исключаем из системы (3.57) неизвестные
величины Qn\	и разветвленный участок газопровода опи

шется первыми двумя уравнениями системы (3.57) и урав

нением (3.60). Описанную методику решения без изменений

легко перенести на нелинейные уравнения (3.31). При этом заметно упрощается алгоритм расчета, так как здесь ис

ключается алгебраическое соотношение (3.58). Если в не

которой	точке	соединяются	два	участка газопроводов
(t = 1 ,2 )	/г< 1> =	/г(2), p<1J =	р<2), то	полученная система

обыкновенных дифференциальных уравнений будет совпа

дать	с системой	уравнений	для одного участка длиной
/<1) +	/<2) только	при а(‘> =	2 , что	говорит об оптималь
ности выбранного выше параметра а.
Модификация явной разностной				схемы решения урав

нений. Выше был рассмотрен вопрос о выборе метода моде лирования граничных условий уравнения (3.31) в случае использования больших шагов разбиения по оси Ох. Пе

реходя к анализу метода моделирования, будем предпола гать граничные условия заданными по давлению Р. Поэ

тому рассмотрим уравнение:

д Р	д	( .	д Р	/ Г д Р *
dt ~ д х		1^ 1§П д х \| /		(3.61)
dt ~ д х		1^ 1§П д х \| /		\|д л :

166

в предположении, что 0 ^ х ^ 1. Простейшая явная раз

ностная схема моделирования уравнения (3.61) имеет вид:

Pk =	P k + - ^ r - - [sign (Ph+1- P				h) V I P k + i — Pk \ +
		h y h
	+	s i g n ( P h^ -	P h) V	\| p 1 _ , _ p ! \| ] ,		(3.62)
где P h = P	{kh ,	t), A =	k =	\ , . . . ,	n — 1 ,
		P k =	P ( k h ,	t +	At).

Она оказывается не всегда устойчивой. Достаточное усло

вие устойчивости можно записать в виде:

— —— V	\ Pk + i — Pk\ < ~ ] r \ P h+ i - P h \ -	(3.63)
h i/ h	2

Легко видеть, что последнее уравнение может нарушить

ся только в одном из двух случаев: либо |Pft+1.— Ръ\ До

статочно мало, либо P k+1 + P h достаточно велико. По

скольку во всех задачах прикладного характера известна

верхняя грань значения P k, можно считать, что устойчи

вость нарушится только при достаточно малой величине

\P k+1 — Ph I- Однако, если величина Р ^ + Ph тоже мала, то неустойчивость может и не появляться. Говоря

иначе, неустойчивость может появиться только при малых

расходах Q.

При моделировании сложных закольцованных газовых сетей не исключена возможность возникновения ситуации, когда на каком-то участке (или части участка) расход ока жется очень близким к нулевому. Поэтому рассмотрим не

сколько измененный алгоритм счета. Пусть

Ph =	P h + — ^7=с[ф(Гй+1,		Pk) + 4 {P h -i, Ph)],	(3-64)
		hi/ h
где
	sign (Ph+i — Ph) V		I Pfi+i — Pk \| —если выполнено
			условие	(3.63);
Ф ( P k + i — P h ) =	1	h ~\/ h
	—	(P k + i — P h ) —T— —если условие (3.63) не вы-
	2	Ы	полнено.

Поэтому при достаточно больших расходах разностные

уравнения (3.64) совпадают с уравнениями (3.62) и превра

щаются в разностную схему для линейного уравнения

167

(3.53) только в случае малых расходов и не на всем участке, а только на той его части, на которой не выполняется усло

вие. (3.63). Устойчивость схемы (3.64) легко доказывается,

так как уравнение (3.64) удовлетворяет принципу максиму ма. То, что решение системы (3.64) стремится к решению

исходного уравнения (3.61) при At 0 и п -+■ 0, следует

из превращения схемыДЗ,64) в схему (3.62) при достаточно

малых величинах At и‘к для конкретных начальных и гра

ничных условий. Использование уравнения (3.64) вместо

выражения (3.62) практически не усложняет программу

расчета и не увеличивает времени решения.

Для предварительной оценки возможности расчетов при

малом, значении п получим аналитическое решение уравне

ния (3.41). Начальные и граничные условия будут сформули

рованы позднее, а предварительно потребуем, чтобы реше

ние	уравнения	(3.61)	допускало разделение	переменных:
р (X,	0 = Ф ( 0	ф ( * ) .
В этом случае уравнение (3.61) распадается на два урав
нения:
			Т = ^ - + $ = 0	(3.65)
и
	Ф + т д х		д Ф
	Ф + т д х		sign ed	(3.66)

где Т — некоторая постоянная, определяемая ниже.

Общее решение уравнения (3.66) легко получается в не-

явном виде, если предположить,				что	дФ .		п	:
явном виде, если предположить,				что		^	0	:
	х = С ! + А ( Ф ) ,							(3.67)
где А =	+	1		,		2 1
где А =	+	г ; _		arctg		а -] / 3 .
6 а2 а	- a t — Г2	а V 3				а -] / 3 .
	'={/		С —а3Ф3
У	'={/			фз