Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Смысл названий явной и неявной разностной схемы очеви­ ден. Формула (3.37) позволяет непосредственно вычислить

любое значение Р к, если известны P k, P h~lt Pft+1. Из

соотношения (3.38) этого таким простым способом сделать

нельзя.

Надо

решить

систему

уравнений

(3.38)

при

k = \ ,

2, 3,

...,

п — 1.

В этом случае получаем систему

трехчленных

уравнений,

допускающую решение методом

прогонки.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

решение

системы

уравнений

(3.38)

при

этих условиях в предположении, что величины Р0 и Р п

известны. Это будет соответствовать случаю задания не­

смешанных граничных условий для уравнений (3.33). За­

даются значения Р при л: =- 0 и х = 1 как явные функции времени. Несколько преобразуем уравнение (3.38):

 

 

P k - h 2P h = M P h + i +

Д *Р *_ 1 -

2Д№*;

 

 

-

А2ЯД =

 

Дt P h+1 +

A tP k _ 1 — (h2 +

2At) Pfcl

 

 

 

 

/

Л!

\

«

Л

 

А2

 

 

 

р ‘ +‘ -

(

2 + 7 7 ) р‘ + р ‘ -

= - 4 Т р‘ -

' <3'39>

В каждом уравнении этой системы известное значение

P k в точке х = kh в момент времени

t связано с тремя не­

известными

значениями

функции Р

в

точках

(k — 1) h,

kh, (k +

1)

h в моменты времени t -f- At. Требуется найти

величины P lf Р 2,

 

 

 

Решение

системы ищем в виде:

Рь- i =

P uvh _! +

u h _ j,

где

vh _ j

и

uk _ ! — неизвест­

ные пока величины, для

определения

которых

подставим

значение Pft_a в уравнения (3.39)

Ph+l — ^2+

д; J Pk+PhVh-1+Uh-l = — '

Phi

Pk vh-1 — ( 2 +

 

A2

Pk Pft+i

 

" . ,

u k - i>

 

At

 

At

 

 

 

 

 

 

A2

 

Pk = Ph+l

- 1

 

+ -

~~At Рь - и* - '

,

A2 \

/

A2

 

^ - г ! 2 + — )

^ - 1 - ( 2+ д/

Сравнивая эти выражения для величины Р к с выражением

Ph = Pk+lvb + uh<

(3.40)

160

найдем:

vh =

(3.41)

« А =

Величины ух и их можно найти, используя первое гра­

ничное

условие — известное давление Р 0, положив в урав­

нениях (3.39) величину k =

1 и разрешив его относительно

давления Р х:

 

 

 

 

Р, = -

 

Д* Pi + Po

 

А«_ Р2 + -

2 + д£

 

2 + '

Д/

 

откуда

следует, что

 

 

 

 

 

 

№

 

vr-

И

Их = -

Л2

 

2 +

 

 

 

 

 

2 + —

 

Дt

 

Д/

Соотношения (3.41) дают возможность последовательного

вычисления коэффициентов

v 2 и и2, у3

и us и так далее,

пока не будут вычислены

уп_х и

нп_х. Последовательное

вычисление коэффициентов

и

для k

= 1 , 2 , ..., /г — 1

по рекуррентным формулам при использовании одного из

граничных условий называют прямой прогонкой. Оно яв­

ляется первым этапом метода прогонки. Обратной прогон­

кой называют последовательное вычисление значений иско­ мой функции Р п-г ,..., Р х. На этом этапе, используя вто­

рое граничное условие — известное значение Р п и вычислен­ ные на первом этапе коэффициенты vh и uh — по формуле (3.40) последовательно справа налево, находим значения искомой функции.

Существует большое количестворазностных схем. Наи­

более распространенные из них широко используют на

практике. Неявные разностные схемы требуют значительно больше вычислительных операций, чем явные. Однако сле­

6 Зак. 665

161

дует отметить, что они устойчивы при любых значениях

At и h. Необходимо иметь в виду, что сравнение различных разностных схем между, собой представляет очень трудную

задачу. Эффективность использования той или иной из них зависит от многих факторов самой конкретной решае­ мой задачи. Ниже дано описание модификации явной раз­ ностной схемы, которая обеспечивает устойчивость разно­ стных уравнений при любых значениях At и h, а также решение вопроса выбора способа моделирования граничных

условий в случае использования больших величин h.

Рассмотрим уравнение (3.31), решение которого нахо­

дят на ограниченном отрезке х длины газопровода ^

0 х ^ I,

где I — длина трубы. Численное решение

системы

(3.31) не встречает принципиальных трудностей и легко может быть осуществлено тем или иным разностным мето­ дом. Однако это решение требует большого количества вы­

числений и занимает на современных цифровых вычисли­

тельных машинах значительное время, что является недо­

пустимым при выработке управляющих команд в АСУ. Не­

обходимость уменьшить время решения возникает и при мо­

делировании переходных процессов в сложных закольцо­

ванных газопроводных сетях, состоящих из десятков уча­

стков, для каждого из которых необходимо решить систему

уравнений (3.31). Одним из путей повышения скорости

расчетов является увеличение шагов разбиения по коорди­

натам х и t. Точность расчета при этом, естественно, умень­

шается, однако появляется возможность анализа более

сложных систем. При уменьшении числа точек разбиения

оси Ох существенное влияние на точность решения на­

чинает оказывать способ реализации граничных условий,

задаваемых по расходу газа. Ниже дан выбор приближен­

ного оптимального метода моделирования граничных усло­

вий по расходу на примере линейного уравнения теплопро­

водности, а также рассмотрена модификация явной раз­

ностной схемы моделирования системы уравнений (3.31),

устойчивой при любых начальных и граничных условиях.

Выбор способа

моделирования граничных условий.

В случае линеаризации системы (3.31), не уменьшая общ­

ности рассуждений,

можно ограничиться рассмотрением

системы:

(3.42)

a?__5Q dt дх

162

и считать, что 0 <

х <

1 .

 

 

Пусть мы ищем квазистационарное решение системы

(3.42) с граничными условиями

 

п

* = 0 = ° ;

Q \ x = i = < ? * * -

<3-43)

Решение в этом случае представлено в виде выражений

 

P ( x , t ) = H { x )

el o f ;

Q ( х , t ) = v (лг) еш •

(3.44)

Оно легко получается исключением из уравнений системы

(3.42) переменной величины t. В дальнейшем нас будет

интересовать функция Я (1):

//(1 , ____ 1

cos|3(ep—e ~ p) + t s in P (e p + e~ p)

Р (1 + 1')

cos р (е Р + е ~ $ ) + ( sin (6 (е^—е~~$)

гдер=]/т-

Рассмотрим решение задачи, изложенной выше, методом

прямых. Если использовать метод сеток, то это будет соот­ ветствовать случаю, когда по времени шаг стремится к ну­ лю. Примем, что

Ph (t) = P(kh,t), k = 0 , . . . ,

n;

/2k 4- 1

),

Qh (t)=Q ( —7—

k=0,...,

n — 1; /1 = — ,

(3.46)

 

 

n

 

и, заменяя частные производные по х их конечно-разност­ ными выражениями, приходим к системе:

— (.ph+i—Ph)=hQk> k = 0,..., п—1;

1I

dPh

= y ( Q h — Q h - 1). k =

..., n — 1;

(3.47)

dt

 

 

dPn

dt = — (Qn—Qn-i),

где предполагается, что Qn = Q/X==l. Система (3.47) запи­

сана для граничных условий (3.43). Если искать решение

в виде:

Р и = Н к еш \ Qk = vk eiat,

(3.48)

то решение поставленной задачи приводит к решению сис­ темы алгебраических уравнений:

6*

163

Смотрите также файлы