ниями и корреляционными функциями соответственно входной и выходной координат. Формально такую зависимость получают путем замены нелинейного преобразования случайной функции эквивалентным в вероятностном смысле линеаризованным преоб разованием, зависящим от нелинейного взаимодействия мате матического ожидания и случайной составляющей.
При статистической линеаризации нелинейных систем их за меняют приближенными линейными, для которых разработана линейная теория преобразований случайных функций.
Для однозначной нечетной симметричной характеристики типа релейной с зоной нечувствительности нелинейное безынер
|
|
|
|
|
ционное преобразование |
общего |
вида |
|
|
H (t) = |
f I X (t) I |
(V.49) |
аппроксимируется линеаризованной |
зависимостью |
U (t) |
= k 0mx + |
k tX° (t), |
(V.50) |
где k 0 и k x — эквивалентные статистические |
коэффициенты уси |
ления нелинейного элемента соответственно по математическому ожиданию и по случайной со ставляющей;
тх — математическое ожидание;
Х° (t) — центрированная случайная функция.
Значения коэффициентов k 0 и k 1 при различных типах не линейностей для входных функций с нормальным распределением приведены в работах И. Е. Казакова, Б. Г. Доступова, Е. П. По пова и И. П. Пальтова [20, 28].
Для нелинейной астатической САР постоянства подачи хлебной массы математическое ожидание входной координаты нелиней ного элемента тх = 0.
Статистический коэффициент усиления по случайной состав ляющей для нелинейного элемента реле с зоной нечувствитель
ности |
будет |
[20]: |
|
|
ki (ох) |
|
(V.51) |
где |
h0— амплитуда выходной величины нелинейного звена |
|
|
в безразмерной форме; |
|
а —• зона |
нечувствительности для релейного звена; |
|
|
|
а |
ф Ш |
V 2 я |
dt — интеграл вероятности; |
о, — среднеквадратичное отклонение входной в не линейное звено координаты х (см. рис. 54).
Дисперсии Dx (со) = о\ и Dm (со) == о2п, согласно ранее полу ченным зависимостям, имеют вид
Ас И = |
al = |
J IФх (/со) I2 S* (со) dor, |
(V.52) |
|
|
О |
|
|
|
со |
|
Dm(со) = |
а2т — -і- J I Фт(/со) I2 S* (со)da, |
(V.53) |
|
|
п о |
|
где I Фх (/со) I и I Фт (tco) I — амплитудно-частотные |
характери |
|
|
стики замкнутой нелинейной САР |
|
|
соответственно для выходных коор |
|
|
динат X и Атх (см. |
рис. 54); |
SM(w) — SM(со) RM(0) — спектральная плотность внешнего входного сигнала, полученная для данных условий;
SM(со) — нормированная спектральная плот ность.
Для спектральной плотности SM(со) действительно следующее выражение:
|
со |
|
со |
ДДсо) = al = ~ J SM(со) da = |
j SM{a)da. |
Обозначаем |
о |
|
о |
|
|
|
|
DM(со) = |
R (0) / у |
, |
где Рм— площадь, |
ограниченная |
кривой |
SM(со) и осью со; |
/ — масштаб |
площади. |
|
|
Тогда |
со |
|
|
|
|
|
о2 = - Ш |
- j |
I Фх (/со) I2 5 ; (со) da = R (0) ÎFX, |
|
о |
|
|
со |
IФт (/©) Г Si (со) da = R (0) f F m, |
От = ЩР- f |
я |
J |
|
где Fx и Fm— площади, ограниченные соответствующими кри выми Sx (со), Sm (со) и осью со.
s'x и = IФх (/«) !2 S'M(со); |
s'm(со) = I Фт (іа) |2SM(со). |
Отношение дисперсий будет
А |
_ R (0) Fxf |
Fx . |
(V.56) |
|
R ( 0 ) F J |
|
|
üjn_ |
R(0)Fmf |
Fm |
(V.57) |
|
Таким образом, дисперсии относятся как площади, ограничен ные соответствующими кривыми S x (со) и SM(со), S m (со) и S M(со)
и |
осью со. Если рассматривать дисперсии |
DM(со), Dm (со) и Dx (со) |
в |
диапазоне частот 0 — оо как сумму условных дисперсий в не |
скольких частотных диапазонах 0—сог; |
сох—со2; . . con-1— оо, |
то |
можно записать: |
|
Dx (со) = о\ = R (0) / (Fxi -f■FX2 ■■■4" Fxn),
Dm(со) = o2m = R(0)f (Fmi 4-■Fm2 4 “ • ' • 4~ Fmn),
DM(со) = o l = R(0) f (FmX-f Fм24- ' ' ' + FMn)y
где
|
|
|
|
|
|
<0, |
|
FXî |
FX2 |
■H- Fxn |
—J Sx (со) d(o 4~ |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co2 |
|
|
|
|
CO |
|
+ |
1 s'x(со) dco + |
■• |
-f |
|
J Sx (со) dco; |
|
(OÏ |
|
|
|
W/I-l |
|
|
|
|
|
|
|
(Ot |
Fm\ 4" Fm2+ |
• • • |
+ Fmn = |
j |
sm(со) d(ù 4- |
|
0)2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
CO |
Sm(co) d(£>; |
+ |
j" Sm (CO) d(ù —j—■• • |
—j— |
I |
|
(fl. |
|
|
|
“«-1 |
|
|
|
|
|
|
Иі |
|
Fini 4~ Fм24- |
• ' • |
"4 Fм,г -= j SM(CO) d(ù -4 |
|
032 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
co |
|
4~ |
[ SM(со) da>4- |
• • • |
-f |
|
1 SM(<û)d(d. |
(V.58)
(V.59)
(V.60)
(V.61)
(V.62)
(V.63)
В этом случае можно искать соответствующие отношения ди сперсий для отдельных частотных диапазонов 0—со г; сог—со2;
как отношения площадей:
для 0 — coi
для В 11 ■е
для С0„_! — оо
üîi |
Fxi. |
4 l |
Fml |
|
<4 |
FMl ’ |
4 |
F'MI |
’ |
<4 |
FX2 |
9 |
Fm2 |
|
am2 |
(V.64) |
4 |
~ FM2 ’ |
4 |
Fм2 |
4 |
Fxn |
4 « |
Fmn |
|
4 |
F'МП’ |
4 |
FМП ' |
Из этих выражений определяют отношения
&x i . |
. |
. |
G x n . ®т\ . |
% 2 . |
. |
О'Ж] * |
G М2 ’ |
’ |
^ЖЛ * ffjKl * |
а Ж2 ' |
1 °МП * |
а также коэффициенты стабилизации для каждого частотного диа пазона, равные обратным величинам этих отношений.
Передаточные функции Фх (р) и Фт (р) замкнутой нелинейной САР определяем, пользуясь следующими выражениями:
|
|
k,k2e х'р |
|
|
|
Фх (Р) = |
ТщР+1 |
|
. |
(Ѵ.65) |
|
k 1k 2e ~ x >p ■k1 (а |
х) k j k j k n |
’ |
|
|
|
|
|
ТзР(ТіР + 1 ) ( Т гр + 1) |
|
|
|
Фщір) = |
kie~XlP_______ |
|
(V.66) |
|
^1g~TlPfe2fe1 (Ox) k4k&ke |
|
|
|
|
|
|
|
T зР ( 7 > + 1 ) ( 7 > + 1 ) |
|
|
|
Амплитудно-фазовые характеристики |
Фх (іа) |
|
и Фт (іа) полу |
чим из зависимостей (Ѵ.65) и (Ѵ.66) при подстановке р — іа (рис. 69, а—в). Амплитудно-частотные характеристики \Фт (іа) | и I Фх (іш) I даны на рис. 69, г и д .
Интегралы выражений (Ѵ.61)—(Ѵ.63) можно определить ана литически [20] или графически, что наиболее приемлемо для данного случая и позволяет более подробно анализировать данные расчетов в нескольких частотных диапазонах (рис. 70, а и б).
В результате вычисления величин Fx, Fm, FM получаем выра жения (V.56), (V.57) и (V.51) или (V.64) и (V.51) с неизвестными ох, ат>&і (о*). Эти уравнения при последовательных приближе ниях k x (а*) к истинному значению будут совместно разрешимы.
Определение статистических характеристик ох, ат случайного процесса для нелинейной САР постоянства подачи графическим методом. При использовании специальной номограммы для опре деления среднеквадратичных отклонений ох и от многократные расчеты при последовательных приближениях (а*) заменяют более простыми и легко выполнимыми графическими построениями.
Номограмма для анализа статистических характеристик не линейной САР состоит из шести частей (рис, 71, а—е). На рис. 71, а
построены |
зависимости |
% ( “^f) = |
/і (~ ^ ) и |
(°*) = |
/а ("тг) • |
Выражение |
= |
&і (°х)-jf~ |
представляет |
собой |
величину |
в фигурных скобках уравнения (V.51) и зависит только от отноше
|
|
|
|
|
ния |
. После |
построения кривой |
= ^1(~а') СТР0ИМ |
кривую |
(ах) = |
/ 2 |
для различных значений а по выраже |
нию (V.51), при этом величины ах, а и h0 подставляем в формулу (V.51) в безразмерной форме.
Рис. 69. Амплитудно-фазовые и амплитудно-частотные характеристики комбайна СК-4 с нелинейной САР подачи
Рис. 70. Спектральные плотности и частотные характеристики^для нелинейной САР постоянстваj£ подачи
