Файл: Авдеев, Ю. Ф. Преддверие сказочного мира. (Космос, баллистика, человек).pdf

1,02 км/сек и примерно с такой скоростью движется Луна от­ носительно Земли.

Таким образом, мы рассмотрели два элемента круговых ор­ бит — радиус и скорость полета. В случае кругового движения эти элементы зависят друг от друга. Задавшись одним из них, с помощью соотношения (3) мы можем определить значение второго элемента. Значит, круговую орбиту можно однозначно характеризовать только одним элементом либо величиной ско­ рости, либо ее радиусом. С этими названными элементами на­ ходится в непосредственной связи третий элемент — период обращения. Периодом обращения космического аппарата, дви­ жущегося по круговой орбите, называется промежуток време­ ни, необходимый для совершения одного витка. Так как длина одного витка равна 2 я г, то, поделив ее на скорость полета, получим формулу для расчета периода обращения

J. _ 2 к г

~~V

Если вместо скорости подставить ее значения из формулы (3), то получим явную зависимость периода обращения от радиуса орбиты и массы планеты:

Отсюда следует, что период обращения тоже является одно­ значной функцией радиуса круговой орбиты: задавшись радиу­ сом, по формуле (4) находим период. Можно решить и обрат­ ную задачу: задавшись периодом обращения, определить соот­ ветствующий ему радиус орбиты.

Основные характеристики кругового движения — скорость полета и период обращения. При изучении характеристик кру­ говых орбит можно отметить, в частности, один любопытный факт. Пусть высоты орбит спутников Земли и Луны равны 200 км, т. е. их радиусы орбит составляют соответственно 6571 км и 1938 км. Однако, несмотря на то, что радиус орбиты спутника Луны более чем в три раза меньше радиуса орбиты спутника Земли, его период имеет большую величину и состав­ ляет примерно 2 часа 7 минут, тогда как у спутника Земли он равен 1 час 28 минут. Значит, при равной высоте спутник Зем­ ли вращается с большей скоростью, чем спутник Луны. Это объясняется тем, что масса Луны примерно в 80 раз меньше массы Земли.

Д ве задачи

Пользуясь полученными результатами о характере круго­ вого движения, рассмотрим две любопытные задачи, дающие наглядные представления о «чувствительности» круговых ор­ бит к изменению отдельных элементов ее.

З а д а ч а 1. Космический аппарат с помощью ракеты дол­ жен быть выведен на круговую орбиту спутника Земли с вы­ сотой 200 км. На сколько необходимо изменить высоту полета, если после выведения скорость космического аппарата увели­ чится или уменьшится на 1 м/сек?

Расчеты показывают, что при уменьшении скорости на 1 м/сек высоту круговой орбиты необходимо поднять примерно на 1,7 и и при увеличении скорости на 1 м/сек опустить на 1,7 км. Пусть, например, поставлена задача создать круговой спутник Земли с высотой не ниже 200 км при условии, что си­ стема управления двигательной установкой обеспечивает по­ лучение заданной скорости с ошибкой 10 м/сек. А это означает, что после выключения двигателя соответствующая круговая орбита может лежать в диапазоне высот от 183 до 217 км. По­ этому, чтобы оказаться на орбите с высотой не ниже 200 км,

лежать в интервале от 200 км до 234 км в зависимости от зна­ ка ошибки в скорости выведения.

Необходимо отметить, что приведенный расчет носит услов­ ный характер. Дело в том, что полученные качественные ха­ рактеристики ограничены требованием вывода на круговую, а не какую-либо другую орбиту. Но, как уже упоминалось, кру­ говая орбита определяется только одним параметром —• ско­ ростью, высотой или периодом. Значит, если в приведенных расчетах сделано предположение, что скорость ракеты в ре­ зультате выведения на орбиту изменилась на 10 м/сек, то тем самым автоматически предполагается, что соответственным об­ разом должен измениться и радиус орбиты, чтобы она оста­ лась круговой. В действительности же дело обстоит совершен­ но не так.

В процессе выведения на орбиту ошибки системы управле­ ния двигателем могут влиять самым различным образом. На­ пример, в результате пусков отдельные ракеты могут оказать­ ся на одной и той же высоте, но иметь разные скорости или иметь одну и ту же скорость на разных высотах. При этих ситуациях приведенными выше результатами пользоваться нельзя, поскольку они получены из условия, что орбита выве-

98

дения — строго круговая. Полученные количественные соотно­ шения имеют смысл для оценки изменения элементов круговых орбит.

З а д а ч а 2. Два космических аппарата движутся по кру­ говым орбитам ИСЗ. На сколько будут отличаться их периоды обращения при разности скоростей полета в 1 м/сек?

Предположим, что высота орбиты первого из аппаратов со­ ставляет 200 км. Тогда имеем:

при высоте полета 200 км V = 7791 м/сек, Т = 88 мин 25 сек, при высоте полета 300 км V = 7732 м/сек, Т = 90 мин 27 сек. Отсюда получаем: при изменении скорости полета на 7791 —

сти на 1 м/сек соответствует увеличение периода обращения примерно на 2 сек. Учитывая предыдущие результаты, можно также сказать, что увеличению радиуса орбиты на 1,7 км со­ ответствует возрастание периода обращения на 2 сек.

Приведенные данные свидетельствуют о большой «чувстви­ тельности» круговых орбит к изменению ее элементов. Даже относительно небольшое возмущение одних из них вызывает ощутимое изменение других. По этой причине наряду с гро­ мадными космическими скоростями и расстояниями баллисти­ кам приходится одновременно учитывать такие «мелочи», как

кругового движения со всей очевидностью подтверждают, что скорость полета есть принципиально необходимое условие осу­ ществления космического путешествия. Мало того, скорость по­ лета автоматически определяет радиус круговой орбиты. Не достигнув первой космической скорости, космическая прогулка становится невозможной. Каждой круговой орбите соответст­ вует только одна, присущая ей скорость; по одной и той же ор­ бите нельзя лететь с различными скоростями. Поэтому, если вы являетесь пассажиром космического корабля, то не упра­ шивайте космонавта, чтобы он летел быстрее или медленнее на той же самой высоте, в пассивном полете он этого выпол­ нить не может.

Почему спутн ик не падает на Землю?

Такой вопрос можно услышать часто. Качественный ответ на него можно получить с помощью следующего мысленного зскперимента. Давайте предположим, что на Земле есть гора высотой 200 км и вы взобрались на ее вершину. Бросайте ка­ мень с вершины горы. Чем сильнее вы размахнетесь, тем даль­ ше будет лететь камень. Вначале он будет падать на склоне горы, затем у ее подошвы и, наконец, точка его падения скро­ ется где-то за горизонтом. Конечно, мы предполагаем, что вы обладаете поистине геркулесовской силой (чему, разумеется, немало способствовал чистый горный воздух). Вы можете ка­ мень бросить и так, что он упадет на противоположной сторо­ не Земли и даже у подошвы горы, но с другой стороны, обле­ тев Землю. Еще небольшое усилие и камень, облетев Землю, просвистит над вашей головой, превратившись в своеобразный бумеранг. И вот теперь свяжите полет камня с вопросом — а почему спутник не падает на Землю.

Приведенный мысленный эксперимент показывает, что спут­ ник беспрерывно падает на Землю. Не удивляйтесь, именно па­ дает и старается соприкоснуться с поверхностью Земли. В чем дело? Давайте предположим, что Земля имеет форму шара, иоле ее центральное и полет спутников происходит непосред­ ственно над ее поверхностью, скажем, на высоте один метр. Теоретически такое допустить можно. На рис. 21 через ОА обо­ значен радиус круговой орбиты спутника. Пусть в некоторый момент спутник находится в точке А и скорость его полета на­

100

тяжения Земли, настолько поверхность Земли за счет сфе­ ричности «отойдет» от прямой линии. Образно говоря, спутник

•беспрерывно как бы старается достичь поверхности Земли, а поверхность Земли, изгибаясь, убегает от него. И этот процесс продолжается в течение всего полета, в результате чего спут­ ник никак не может достичь поверхности Земли. Впрочем, па­ радоксальность этого явления не удивительна, ему можно най­ ти приличную «земную» аналогию. Вспомните опыт, когда рас­ сматривалось вращение грузика на вытянутой веревочке. В процессе вращения вы беспрерывно с помощью веревочки притягиваете грузик к себе, а он тем не менее никогда не до­ стигает вашей руки и вас это совершенно не удивляет. Нечто аналогичное происходит и в космическом масштабе: сила при­ тяжения Земли есть та самая веревочка, которая удерживает спутник и заставляет его вращаться вокруг Земли.

А все-таки она вертится

Мы познакомились с тремя основными характеристиками кругового движения — периодом обращения, скоростью и ра­ диусом орбиты. Пользуясь этими определениями, попробуйте ответить на следующий вопрос:

м о ж н о ли з а п у с т и т ь и с к у с с т в е н н ы й с п у т н и к

ет центральное поле тяготения, влияние всякого рода возмуще­ ний отсутствует и что спутник может быть выведен на круго­ вую орбиту.

Скоропалительный ответ может быть таким: невозможно, поскольку спутник обязательно движется, а не стоит на месте, а поэтому он рано или поздно скроется из наших глаз, уйдя за горизонт. Что ж, в этом доля правды есть: спутник действи­ тельно беспрерывно движется и наличие определенной скоро­ сти есть первопричина его существования. Но это не все. В по­ ставленном вопросе есть такие слова «...висел над вашей го­ ловой». Значит, вы находитесь на Земле и вместе с нею совер­ шаете вращение вокруг ее оси, хотя,по вашему представлению, вы находитесь в покое. Но космические масштабы заставляют мыслить иными, не «земными» категориями. Вспомним Галилея и его знаменитые слова: «А все-таки она вертится!» Об этом забывать нельзя. Однако, не учитывая именно это обстоя­ тельство, и дан отрицательный ответ.

При решении задачи мы сталкиваемся с новыми, простран-

101