Файл: Авдеев, Ю. Ф. Преддверие сказочного мира. (Космос, баллистика, человек).pdf

Рис . 18. Как начертить эллипс.

те за один и тот же промежуток времени поворачивается на равные углы, т. е. ометает равные площади.

Э л л и п т и ч е с к а я о р б и т а . Она напоминает сжатую с двух сторон окружность. Математически эллипс определяет* ся следующим образом: это геометрическое место точек на пло­ скости, сумма расстояний которых от двух заданных точек есть величина постоянная. Нарисовать эллипс можно с помощью нехитрого приспособления. На листе фанеры вбейте два гвоз­ дика (рис. 18) и к ним привяжите нить. Затем острием каран­ даша натяните нить и перемещайте его по бумаге вокруг гвоз­ диков, все время натягивая нить. Замкнутая кривая линия, ко­ торую нарисует карандаш, и будет являться эллипсом. Дейст­ вительно, основания гвоздиков — это две заданные точки. Сум­ ма расстояний от любой точки нарисованной кривой до гвозди­ ков будет одной и той же, поскольку используется одна и та же длина нити. Значит, это — эллипс. Те точки, в которые за­ биты гвоздики, называются фокусами эллипса. Первый закон Кеплера как раз и говорит о том, что при движении космиче­ ского аппарата по эллиптической орбите вокруг небесного те­ ла (т. е. по эллипсу) центр этого небесного тела будет совпа­ дать с одним из фокусов.

На эллиптической орбите отмечают две характерные точки. Точка, наименее удаленная от центра небесного тела, носит общее название перицентр, а наиболее удаленная — апоцентрорбиты (на рис. 19 они обозначены буквами Я и Л соответст­ венно). Очевидно, что эти точки лежат на прямой, проведен­ ной через фокусы эллипса. Если в качестве небесного тела ис­ пользуется Земля, то для спутника Земли эти точки носят специфическое название перигея и апогея. В переводе с грече­ ского это обозначает: перигей — возле Земли, апогей — от

84

Не огорчайтесь, если вы не в состоянии дать строгого отве­ та и пояснения к сообщению ТАСС. Даже опытный баллистик не в состоянии однозначно ответить на поставленные вопросы. Какие при этом могут быть варианты ответа, вы узнаете поз­ же. А сейчас важно уяснить только одно, что сообщение ТАСС отражает близкую к истинной, достаточную для качественно­ го представления, картину движения корабля «Союз-8».

Рисуя эллипс, можно брать различную длину нити, связы­ вающей гвоздики. Чем короче будет нить, тем сильнее 'будет вытянут эллипс. Наоборот, при увеличении длины нити эллипс

ко формы эллипса, т. е. его вытянутости вводится безразмер­ ная величина, которой дано специальное имя — эксцентриси­ тет. Эксцентриситет-—очень удобная величина для определе­ ния формы орбиты. Для эллиптических орбит эксцентриситет изменяется от 0 до 1, причем значения единицы не достигает. Чем больше значение эксцентриситета, тем значительнее вытя­ нут эллипс. При е = 0 он обращается в окружность (в этом случае его полуоси равны, т. е. а — Ь, и оба фокуса совпада­ ют). По мере приближения значения эксцентриситета к едини­

.36

ром и обозначаемую буквой р. Фокальный параметр—это рас­ стояние вдоль перпендикуляра, опущенного к одному из фоку­ сов, до точки пересечения с эллипсом. На рис. 19 один из та­ ких параметров обозначен отрезком Of.

Таким образом, для характеристики формы и размеров эл­ липса имеется следующий набор величин: радиус апогея га, радиус перигея гп, большая полуось а, малая полуось Ь, фо­ кальный параметр р, эксцентриситет е.

Для того чтобы математически описать эллиптическую ор­ биту, нет необходимости знать все перечисленные величины. Для этого достаточно знать только две любые из них, напри­ мер, гп, га, или а, е, или р, ra и т. д. Значит, задавшись двумя из них, можно с помощью несложных математических опе­ раций найти остальные четыре. Формулы для таких пересче­ тов довольно просты и их можно найти в специальных книгах по небесной механике.

Положение космического аппарата на эллиптической орби­ те принято отсчитывать по угловому положению радиуса-век­ тора его относительно радиуса-вектора перигея в направлении движения. Этот угол в небесной механике условились называть истинной аномалией и на рис. 19 он обозначен через ■О. Оче­ видно, что через каждый виток положение космического аппа­ рата на орбите повторяется, т. е. прогноз движения рассчиты­ вается достаточно просто.

Положение плоскости орбиты в пространстве задается точ­ но так же, как и круговой орбиты, т. е. углами Q и і (рис. 17).

Нам осталось указать последний элемент, характеризую­ щий ориентацию орбиты в ее плоскости, поскольку она может быть произвольным образом повернута в своей плоскости вок­ руг фокуса, совпадающего с центром притягивающего тела.. Таким элементом является аргумент широты перигея, обозна­ ченный на рис. 17 через угол іо.

Таким образом, получены все шесть элементов (начальных, условий), определяющих эллиптическое движение космическо­ го аппарата в пространстве:

а, е — характеризуют форму и размеры орбиты; Q, і — по­ ложение плоскости орбиты в пространстве; ю — положение эллипса в плоскости орбиты; '0 — положение космического ап­ парата на орбите. (Вместо величин а, е могли быть взяты дру­ гие комбинации элементов.) Если к этим элементам добавить, время нахождения космического аппарата в какой-либо точке орбиты (т. е. при заданном значении истинной аномалии), то будем иметь полный набор исходных данных. Существенно еще раз отметить выгодность употребления элементов орбиты вме­

8Г

сто прямоугольных координат. Пять из них — а, е, П, і, со — являются постоянными и дают наглядное представление об ор­ бите в пространстве и только одна — $ изменяется с течением зремени. В то же время, если задать эллиптическую орбиту в прямоугольной системе координат, т. е. в виде трех координат и трех компонентов вектора скорости в заданный момент вре­ мени, то с течением времени наблюдалось бы изменение всех

вать так же просто, как эллипс или окружность. Математиче­ ское определение параболы таково: это геометрическое место точек, разность расстояний которых от заданной точки и пря­ мой есть величина постоянная. С видом параболы вы навер­ няка знакомы: брошенный вверх камень при своем движении описывает кривую, очень близкую к параболе.

Параболическую орбиту можно рассматривать как предель­ ный случай эллиптической, когда расстояние между фокусами последней становится безгранично большим. Примерный вид параболы изображен на рис. 20. Точка ее, наименее удаленная от центра планеты, называется вершиной. Радиус-вектор вер­ шины параболы служит началом отсчета истинной аномалии, указывающей положение космического аппарата на орбите, и точно так же, как радиус-вектор перигея в эллиптической ор­ бите, служит для фиксирования положения параболы в ее плоскости.

Параболическая орбита является крайней из орбит, двига­ ясь по которой, космический аппарат может «оторваться» от планеты. Эта орбита наделена, если так можно выразиться, сугубо индивидуальными свойствами. Если космический аппа­ рат, находящийся в вершине параболы, совершенно незначи­ тельно изменит величину скорости полета, он сразу же сойдет с нее. При уменьшении скорости орбита станет эллиптической, а при увеличении — гиперболической. При заданном радиусе вершины параболы скорость полета в этой точке строго и од­ нозначно определена. Двух парабол, имеющих одну и ту же вершину, существовать не может. Совсем не то, что у эллипти­ ческих орбит: при заданном радиусе перигея их можно прове­ сти бесчисленное множество, изменяя, например, радиус апо­ гея. Вот только по этой причине никогда не удавалось, да и наверняка никогда не получится выведение космического аппа­ рата на строго параболическую орбиту.

88