Файл: Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства.pdf

Подставляя конъюнкции в явном виде и выполняя преобразо­ вания, находим

Переключательная функция, определяющая группу строк, со­ держащих суммы проводимостей,

2-5. Анализ произвольных РП-схем

Класс последовательно-параллельных схем не исчерпывает всех возможных соединений резисторов и переключателей планарного типа. Примером могут служить мостовые схемы, которые не входят в класс ПРП-схем. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением

40

только таких схем, у которых в каждой ветви может быть включена лишь ПРП-схема. Это ограничение равносильно тому, что мы ис­ ключаем из рассмотрения все схемы, содержащие ветви из одних переключателей. Дальнейшее изложение будет посвящено вопро­ сам анализа таких схем.

Сопротивление ветви, содержащей управляемую РП-схему, мо­ жет изменяться от нуля до бесконечности. Следовательно, Область изменения управляемых сопротивлений (проводимостей) совпадает с областью изменения параметров резисторов, используемых для построения электрических схем. Учитывая это обстоятельство, естественно применить обычные методы анализа электрических схем, используемые в электротехнике, к схемам с переключателями. Заменяя каждое соединение резистора с переключателем некоторым условным элементом, можно получить аналог электрической схемы, которая соответствует РП-схеме. Однако, следуя таким путем, мы прежде всего сталкиваемся с необходимостью введения переключа­ тельных множителей для описания переключателей, соединенных последовательно или параллельно с отдельными подсхемами.

Кроме того, алгебраические преобразования формул, описываю­ щих работу электрических цепей, в большинстве своем основаны на ассоциативности умножения, в то время как это свойство не вы­ полняется для переключательных множителей. Поэтому формула, полученная путем анализа аналога РП-схемы, как правило, допу­ скает несколько схемных интерпретаций в зависимости от порядка перемножения переключательных множителей. Выбор порядка умножения, отвечающего работе заданной схемы, может быть свя­ зан со значительными трудностями. Однако в некоторых случаях правильный выбор, как будет показано ниже, удается осуществить, используя контекст формулы, в которой содержится произведение переключательных множителей.

В качестве общего метода анализа РП-схем не последователь­ но-параллельного типа выберем метод, основанный на преобразо­ вании таких схем. Целью преобразований является приведение схемы к последовательно-параллельному виду. Воспользуемся преобразованием, в основе которого лежит переход от треугольника, построенного из ПРП-схем, к звезде и обратный переход от звезды к треугольнику.

Вначале остановимся на построении схемы звезды, эквивалент­ ной заданному треугольнику. Для. построения воспользуемся экви­ валентными формулами перехода от треугольника с сопротивле­ ниями г12, г13, г23 к звезде, в плечи которой включены сопротивле­ ния гъ г2, г3. Эти сопротивления имеют вид:

У12 + Угз

У\з

41

Подставляя проводимости сторон треугольника, изображенного

Рис. 2-6. Треугольник (а) и эквивалентная ему звезда (б); звезда (в) и эквива-' лентный ей треугольник (г)

в формулы (2-31), (2-32) и (2-33), получаем

42

В полученных выражениях не определен порядок перемножения переключательных множителей в третьем слагаемом знаменателя. Чтобы избавиться от этой неопределенности, проделаем следующие преобразования. Перенесем обратные переключательные множи­ тели в знаменателе формулы (2-34) на основании равенства (2-10) к третьему слагаемому, которое после этого запишется так:

Путем анализа схем, соответствующих этому выражению при различной расстановке скобок, нетрудно показать, что оно незави­ симо от способа расстановки преобразуется к виду:

Каждое плечо звезды представляет собой параллельную схему, параллельно которой включен размыкающий переключатель. Схема звезды, соответствующая заданному треугольнику, приведена на рис. 2-6, б.

Пользуясь формулами преобразования звезды в треугольник:

43

Каждое из найденных сопротивлений представляет последова­ тельную схему, последовательно с которой включен переключатель. Схема треугольника, эквивалентного заданной звезде, приведена на рис. 2-6, г.

Последовательность выполнения преобразований для РП-схем при их анализе рассмотрим на следующем примере. Пусть задана схема, изображенная на рис. 2-7, а. Эта схема не является последо­ вательно-параллельной схемой. Выделим треугольник с узлами 1, 2 и 3, между которыми включены сопротивления

Подставляя эти значения в формулы преобразования треуголь­ ника в звезду и выполняя соответствующие упрощения, получаем:

Рис. 2-7. РП-схема (а) и эквивалентная ей последовательно-параллельная

схема (б), полученная с помощью преобразования треугольника в звезду

Заменяя в заданной схеме треугольник звездой с сопротивле­ ниями, полученными выше, имеем эквивалентную схему, изобра­ женную на рис. 2-7, б. Эта схема является последовательно-парал­ лельной схемой, и выражение для сопротивления относительно ее внешних узлов имеет вид:

Я= — + --------- г - 1------------ •

У4+ *201 _____ }_______|_ _£з_

УЪ + *201

2-6. Основные зависимости, реализуемые РП-схемами

Остановимся на возможности реализации с помощью РП-схем действий умножения и деления. Если переменной, задаваемой дво­ ичным кодом х, соответствует управляемая проводимость

Yx — Уо {х1^ + *222+ . . . -|-x:n_i2” 1- fx n2"),

44

то для того чтобы построить схему, выполняющую умножение на переменную w, которую можно записать так!

В результате перемножения мы получим выражение, представ­ ляющее собой сумму из п х т слагаемых. Это выражение опреде­ ляет параллельную схему. В случае перемножения переменных, представленных трехразрядным двоичным кодом, такое произве­ дение имеет вид:

Yxw — Уо (х,2г -\-л'222 -f- л:323) (ш121 -J- w222-f- ш323) =

= Уо {XxW-j22+ x2Wx23 + x3tiyi24+ xxw22s+ x2w224 + xsw225 -|- + Xjtn^4 + х 2ш325 -f xsw32e).

Число переключателей в схеме, определяемой последним выра­ жением, может быть уменьшено, если записать произведение так:

параллельных схем. Включение подсхем осуществляется переклю­ чателями wlt w2 и w3.

Проводимость, пропорциональную частному от деления пере­ менной w, представленной двоичным кодом, на проводимость Ух, можно получить путем преобразований выражения:

Последовательность преобразований подобных выражений рас­ смотрим на примере для трехразрядных кодов:

последовательных схем с последовательно включенными переклю­ чателями wlt w2, w3. В общем случае для построения схемы, реали­ зующей действие деления, требуется т X п резисторов.

Из сказанного выше можно сделать вывод, что построение схем, выполняющих операции умножения и деления, связано со значи­ тельными затратами элементов.

В заключение отметим, что основными операциями, исполь­ зуемыми в выражениях, описывающих работу РП-схем, являются

45