Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

' Г- г

ДИОФАНТ

АРИФМЕТИКА

С і ( У - /

ДИОФАНТ

АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

АРИФМЕТИКА

И

КНИГА

О

МНОГОУГОЛЬНЫХ

ЧИСЛАХ

Перевод с древнегреческого И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО

Редакция и комментаріи! И. Г. БАШМАКОВОЙ

Ш

Издательство «Наука» Главная редакция фпзііко-математнчѳской литературы

Москва 1074

51(09)

Д 46

УДК 510(09)

Гос. л • '-.ичная научно : ’веская

бибв. ге л с

о

\~г

IЧИТА.' ’

м- и т

Книга представляет собой первый перевод па русский язык всех дошедших до нас произведений Диофанта Александрийского — последнего великого математика античности.

тельные числа. Вместе с тем «Арифметика» послужила отправным пунктом и для теоретико-числовых исследований Нового времени: там были развиты методы решения неопределенных уравнений, по­ лучившие новую жизнь в работах Ферма, Эйлера, Якоби и Пуанкаре. Именно на полях «Арифметики» Диофанта написаны знаменитые за­ мечания Пьера Ферма (включая и его Великую теорему), послужив­ шие программой для исследования по теории чисел в течение двух веков. Эти замечания впервые переведены на русский язык здесь.

Книга снабжена комментариями, в которых результаты и ме­ тоды Диофанта освещаются с современной точки зрения. Она будет интересна и полезна как математикам — студентам, аспирантам, преподавателям, так и историкам науки.

© Издательство «Наука», 1974.

I Іредисловие

Диофапт был последним великим математиком античности. Вмес­ те с тем он был одним из первых создателей новой алгебры, основы­ вающейся не на геометрии (как это было у Евклида, Архимеда и Аполлония), а на арифметике. Именно Диофант ввел отрицательные числа и пользовался буквенной символикой. Можно утверждать, что его произведения оказали столь же определяющее влияние на формирование буквенной алгебры, как и творчество Архимеда на создание дифференциального и интегрального исчисления. Но не одна только алгебра восходит к Диофанту. «Арифметика» Дио­ фанта послужила отправным пунктом для теоретико-числовых исследований Ферма и Эйлера, особенно же для развития теории неопределенных уравнений, которые получили в честь их создате­ ля имя диофантовых. Новое развитие алгебраической геометрии и арифметики алгебраических кривых и многообразий высшего числа измерений, которое идет, нарастая, с начала нынешнего века, позволяет теперь с более общей точки зрения проанализи­ ровать и оценить методы Диофанта. То, что удалось нам сделать в этом направлении, изложено во введении и комментариях.

Предлагаемая книга представляет первый перевод на русский язык всех дошедших до нас сочинении Диофанта, т. е. шести книг

omnia cum graecis commentariis, Editit et iatine interpretatus est Paulus Tannery, Lipsiae, 1893—1895, 1—2 vol.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вкомментариях, составленных 11. Г. Башмаковой, помещены переведенные ею замечания Ферма к «Арифметике» Диофанта (по изданию П. Таннери в книге «Oeuvres de Fermat», t. I, Paris, 1841). Задачи, к которым имеются примечания Ферма, отмечены звездочкой *.

Втексте «Арифметики» имеются фразы, которые были искаже­ ны при переписках, а затем восстановлены на основании критичес­ кого анализа текста и вошли в таком виде в издание Таннери. Та­

кие фразы мы заключаем в угловые скобки <>. В прямые скобки [ ] мы заключаем слова пли формулы, вставленные при переводе на русский язык. В такие же скобки заключены куски текста, кото­ рые, по общепризнанному мнению, принадлежат позднейшим ком­ ментаторам, однако все такие места отмечены в специальных сносках.

Несколько слов о символике, принятой в книге. Знаки Дио­ фанта для неизвестного и его первых шести положительных и от­ рицательных степеней мы передаем обычными для нас символами: X, з?, ..., X6, х ~ \ . . ., х~°. Это же относится к знакам вычитания и

равенства. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет ря­ дом положительные члены, причем в каждом члене сначала запи­ сывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент, так что члены достаточно четко отделены друг от друга (см. об этом подробнее в комментариях). Отрицательные члены записы­ ваются рядом, а перед всей группой их ставится знак минус. Мы для удобства читателя вводим привычный для нас знак + , что не вносит принципиальных изменений в символику «Арифметики».

Для указания на задачу некоторой книги мы будем в дальней­ шем писать номер книги римскими цифрами, а рядом внизу — номер или номера задач арабскими цифрами. Так, Ѵ2-з означает задачи 2 и 3 книги V.

В заключение я приношу глубокую благодарность И. Р. Ша­ фаревичу за ту большую и многостороншою помощь, которую он оказал мне при работе над книгой. Я благодарю также А. Н. Пар­ шина и А. Н. Рудакова, советами и замечаниями которых я поль­ зовалась при составлении комментариев. Мне хочется особо отме­ тить самоотвержепную работу А. Ф. Лапко, которая далеко вы­ ходит за рамки простого редактирования, и выразить ему горячую благодарность.

И. Башмакова

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ И ЕГО «АРИФМЕТИКА»

1. Диофант

Мы очень мало знаем о Диофанте. В одной из эпиграмм Палатинской антологии говорится х):

«Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, И половину шестой встретил с пушком на щека*.

Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.»

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть «муд­ рым искусством его». Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы еще за восемнадцать веков до н. э.

Но когда же жил Диофант? Теон Александрийский в своих комментариях к «Альмагесту» Птолемея привел отрывок из сочинений Диофанта. Поскольку деятельность

5

И. Г. БАШМАКОВА

Этим определяется верхний предел промежутка возмож­ ного времени жизни Диофанта. С другой стороны, сам Диофант в своей работе «О многоугольных числах» дваж­ ды упоминает Гипсикла, математика, жившего в£Александрии в середине II века дон. э. Итак, нижним пределом является вторая половина П века до и. о. Таким об­ разом, получаем промежуток в 50U лет!

Сузить этот промежуток попытался П. Таннери, из­ вестный историк науки, издатель критически проанали­ зированного текста сочинений Диофанта, который теперь принят в качестве канонического. В библиотеке Эскурнала он нашел отрывок из письма Михаила Пселла, Визан­ тийского ученого XI века, текст которого был искажен при переписках. После восстановления Таннери один из отрывков письма может быть переведен так: «Что ка­ сается этого египетского метода, до Диофант рассмотрел его более точно, и ученейший Анатолий, после того как

Александрийский составил «Введение в арифметику» в десяти частях, фрагменты из которого дошли до нас в передаче Ямблиха2) (IV век н. э.). Но Анатолий, позиания которого в арифметике, геометрии и астрономии превоз­ носит Евсевий, жил в Александрии в середине III века, причем в 270 г. он покинул ее, став епископом Лаодикийским (в Сирии) 3). Таким образом, если Таннери правильно

сама «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дио­ нисию», который, как это видно из введения к первой книге, интересовался наукой о числах и ее преподаванием. Между тем с 231 по 247 г. во главе Александрийского христианского училища для юношества стоял Дионисий, ставший в 247 г. епископом Александрийским. По пред-

6

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

положению Таннери, именно ему и была посвящена «Арифметика».

Поэтому обычно теперь считают, что Диофант жил около 250 г.

Из сочинений Диофанта до нас дошло два: «Арифме­ тика» и «О многоугольных числах», однако оба они сохра­ нились не полностью. Из 13 книг «Арифметики», о которых говорит Диофант во введении к этой работе, до нас дошло 6, а конец второго сочинения утрачен. В «Арифметике», когда речь идет о теоретико-числовых предложениях, Диофант обычно отсылает к своим «Поризмам». Неизвест­ но, была ли то отдельная книга, или доказательства «поризмов» были включены в саму «Арифметику». Во всяком случае, ни одного доказательства теоретико­ числового предложения от Диофанта не дошло.

2. Предшественники Диофанта

Появление таких произведений, как «Арифметика» Диофанта, невозможно без долгих лет, а то и веков под­ готовительной работы многих ученых. Представим себе, что все паши сведения о Ньютоне были бы утрачены и дошли бы только его «Математические начала натуральной

можно утверждать, что «Арифметика» не могла быть на­ писана до н. э. В это время еще слишком сильны были традиции геометрической трактовки всех частей матема­ тики, включая и алгебру, и арифметику, а, с другой сто­ роны, новые направления, если они и были, еще не ус­ пели развиться и приобрести силу.

Поворот на путь арифметизации мы видим в работах Герона (I век н. э.), где излагаются различные вычисли­ тельные алгоритмы (например, приближенного вычисле­ ния квадратных корней). В геометрии Герон интересует­ ся в основном метрическими свойствами фигур. Дроби и иррациональности уже, по существу, трактуются как числа. В «Геометрике» встречаются даже геометрические задачи, сводящиеся к неопределенным уравнениям. Но

7

И. Г. БАШМАКОВА

именно на этих задачах видно, что велико еще различие между творениями Гѳрона и Диофанта.

Гѳрон при изложении целиком следует вавилонской традиции: после формулировки задачи (причем всегда для конкретных числовых данных) он дает алгоритм для ее решения в виде последовательности операций над задан­ ными числами. Пояснений почти нет. Неизвестных оы не вводит, так что об оперировании с неизвестными не может быть и речи. Приведем для примера одну из его задач, сводящуюся к системе неопределенных уравнений:

«Найти две [прямоугольные] области равного периметра, площади которых находились бы в четырехкратном от­ ношении».

Соответствующую систему уравнений можно записать так:

угольников Герои делает следующие операции: 43 = 64, 64 — 1 = 63, 4 — 1 = 3, 63 — 3 = 60, тогда сторонами будут 60 и 3. Далее, для нахождения сторон второго пря­ моугольника: 42 = 16, 16 — 1 = 15, 63 — 15 = 48. Сто­ ронами второго будут 15 и 48. Тогда первая площадь будет 180, а вторая — 720. Все числа, с которыми он оперирует,— именованные. В приведенной задаче они выражают длины в футах. О том, как были получены фор­ мулы для решения, Герои не пишет.

Между тем в «Геометрике» приведена таблица сокра­ щений и обозначений, в которой уже имеется символ для неизвестного числа g, тот самый, который потом встреча­ ется у Диофанта. Правда, этот символ записывается с некоторыми дополнениями в зависимости от того, в каком числе и падеже стоит слово «число»: сверху приписывает­ ся одна или две буквы соответствующего падежного окон­ чания (см. таблицу на стр. 325). Это свидетельствует о том, что символика делает только первые шаги.

Отметим, что сам Герои в дошедших до нас произве­ дениях символа для неизвестного не употребляет. Повпдпмому, во времена Герона этот символ только-только начинал применяться. По у нас есть свидетельство о том, что после Герона им уже широко пользовались при реше-

8