Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

И. Г. БАШМАКОВА

Диофант довольствовался нахождением одного поло­ жительного рационального решения задали (см., например, Ван-дер-13ардеи, Пробуждающаяся наука, М., Физматгиз, 1959, стр. 375). Между тем это совершенно неверно! Основная цель Диофанта состоит в том, чтобы выразить, если это возможно, неизвестные уравнения (1) или сис­ темы (2) как рациональные функции от одного или не­ скольких параметров

Диофант, по-вндпмому, не интересуется вопросом о том, нашел ли он все решения задачи или только некоторую, хотя бы и бесконечную, часть их. Так, например, система, к которой сводится задача IIIБ, определяет многооб­ разие А(3>. Диофант приводит два ее решения, в первом из которых неизвестные выражаются как функции от од­ ного параметра, а во втором — от трех.

Большинство кривых и многообразий, к которым приводят задачи Диофанта, являются рациональными (хотя встречаются и нерациональные многообразия). При этом, как правило, Диофант получает выражения для неизвестных через параметры, которым приданы кон­ кретные числовые значения, так что и само решение получается в рациональных числах. Однако, как мы уже говорили, вместо чисел, изображающих парамет­ ры, можно взять любые другие (произвольные или удовлетворяющие некоторым условиям) и, таким обра­ зом, получить не одно, а бесконечно много решений. На это обстоятельство неоднократно указывает Диофант.

числа в виде Х г — (ß2 — 1)t, Х 2— (у2 — 1)t, Х 3 = (б2 —1)t,

Однако в «Арифметике» имеются и такие^задачи, в которых Диофант требует пайти решение «в неопределен­ ной форме», т. е. найти явно те рациональные функции,

16

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

которые униформішіруют неопределенное уравнение (см., например, леммы к задачам ІѴ34_36). Диофант поясняет, что нужно найти такие выражения (или формулы), которые удовлетворяли бы задаче, если вместо неизвестного х подставить такое числовое значение, какое мы захотим.

Но не все задачи «Арифметики» сводятся к системам, определяющим рациональные кривые и рациональные многообразия. Особенно интересны задачи, которые приво­ дятся к определению рациональных точек эллиптической кривой (т. е. кривой рода 1). Здесь Диофант применяет новые замечательные методы, позволяющие, зная одно или два рациональных решения соответствующего урав­ нения, найти новое его рациональное решение. Ниже мы подробно рассмотрим эти методы, а теперь перейдем к краткому обзору «Арифметики».

5. Шесть книг «Арифметики»

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими решениями, полученными разными спосо­ бами) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим про­ изведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и расположены так, что слу­ жат иллюстрацией вполне определенных общих методов. Как это было принято в античной математике, методы не формулируются общим образом, отдельно от задач, но раскрываются в процессе решения. Напомним, что даже знаменитый «метод исчерпывания» — первый вариант тео­ рии пределов — не был выделен в чистом виде ни его соз­ дателем Евдоксом из Книда, ни Архимедом. Только ма­ тематикам XVII века, на основании анализа «Начал» Евклида и квадратур Архимеда, удалось его извлечь

исформулировать общим образом. То же самое мы попы­ таемся делать при разборе задач Диофанта.

Все задачи книги I являются определенными. Если они

иставятся как неопределенные, то доопределяются в про­ цессе решения. В этой же книге имеется несколько задач (І27_зо), которые приводятся к системам дша-лтавнений от

двух неизвестных, эквивалентнымквадраііномуураци§н^ркя

ЧИТАНЫ .

И. Г. БАШМАКОВА

Для того чтобы решения были рациональными, Диофант требует, чтобы дискриминант уравнения был полным квадратом. Делает он это без специальных пояснений, что свидетельствует о том, что в его время формула решения квадратного уравнения во всех ее вариантах была хорошо известна.

•Задачи книги II относятся уже к собственно неопреде­ ленному анализу. Первые десять задач эквивалентны урав­ нениям вида

где F2 (X , F) — многочлен второй степени с рацио­ нальными коэффициентами (т. е. соответствующая кривая имеет род 0). На этих задачах Диофант показывает свой метод и, по существу, доказывает частный случай теоремы Гильберта — Гурвица — Пуанкаре, о которой мы гово­ рили выше, а именно:

«Если уравнение (5) имеет рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много рациональных решений, причем неизвестные могут быть выражены как рациональные функции одного параметра:

X = ф (f), Y = ф (г).»

Мы расскажем подробно об этом методе Диофанта в комментариях к книге II. Здесь же отметим следующее: в книге II общий метод для выражения неизвестных в виде рациональных функций параметра излагается всег­ да для конкретных значений параметра, и о числе решений явно ничего не говорится. О бесконечности числа решений можно заключить только из самого метода. В задаче ІІІ19, применяя решение задачи ІІ8, Диофант уже явно говорит о том, что число ее решений бесконечно, а именно он пишет:

достаточно ясно вытекает из его метода. Наконец, в книге VI Диофант доказывает две леммы о том, что если урав­ нение аХ2 + Ь = Y 2 имеет одно рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много других решений (леммы к задачам ѴІ12 и ѴІ16).

Остальные задачи книги II сводятся к системам урав­ нений, каждое из которых не выше второй степени.

18

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

В задачах Пи _13 Диофант излагает свой метод решения «двойного равенства» простейшего вида, т. е. системы

параметры, чтобы все уравнения системы, кроме одного, обратить в тождества. Оставшееся уравнение дает ему возможность выразить основное неизвестное (а значит, II все искомые в задаче числа) как рациональную функцию параметров.

В конце книги II и начале книги III появляются зада­ чи, которые представляют собою распространение уже ре­ шенных задач на большее число неизвестных. Во многих случаях метод таков, что он проходит для аналогичных задач, поставленных относительно любого числа неизвест­ ных (см., например, задачи 1120-эі и Нзз-зз)-

Книга III по своему содержанию и методам непосред­ ственно продолжает предыдущую. Здесь рассматривают­ ся системы трех, четырех н большего числа уравнений, каждое из которых имеет степень ^ 2. Здесь встречаются задачи, в которых Диофанту удается путем подстановок обратить в тождества все условия, кроме двух, причем эти оставшиеся условия образуют «двойное равенство».

В книге IV впервые рассматриваются неопределенные уравнения третьей и четвертой степени, а также одно уравнение шестой степени (ІѴі8). В первых 14 задачах встречаются, однако, только такие уравнения, которые униформизируются в рациональных функциях. Задачи IѴ‘24 и ІѴ2в_о8 сводятся к нахождению рациональных ре­ шений неопределенных уравнений третьей и четвертой) степени, которые задают эллиптические кривые (т. е. кривые рода 1). В этом случае, как мы уже говорили, не­ известные не могут быть выражены как рациональные функции параметра. )

Поясним методы, которые применял Диофант для решения этих уравнений. При этом мы будем пользоваться языком геометрии, интерпретируя неопределенное урав­ нение от двух неизвестных как кривую на плоскости,

19