Файл: Щербань, А. Н. Прогноз и регулирование теплового режима при бурении глубоких скважин.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
В стационарном режиме температурное поле в резце и породном массиве описывается уравнениями
д'1Т1 |
|
1 |
ö i \ |
сптх |
п. |
(7.25) |
дг'- |
'Т' |
г |
дг |
• dz* |
|
|
|
|
|||||
дП', |
, |
і |
ОТп |
. д”-Тг |
п |
(7.26) |
д,--і |
"1" |
г |
дг |
dzi |
|
|
|
|
Резец и массив термически связаны через площадь контакта s — = л (7?о — го)> которая лежит в плоскости z = 0.
Количество тепла, которое вы деляется при трешш в зоне кон такта,
где
Qi = K $
S
Ql —--^2
-Qi'
дТх
dz г=0d S i
дТ 2 |
43 |
|
dz |
||
|
cö оNП |
||
s |
|
(7.27)
(7.28)
(7.29)
В (7.28), (7.29) Klt Л,2 - тепло-
проводность резца н массива соот ветственно.
Кроме того, в зоне контакта должно выполняться равенство тем ператур
\ Г1|г=0* = J Ггіі-о*- |
(7.30) |
В случае, если боковые поверхности резца теплоизолированы,
будут иметь место граничные условия |
|
ті |г-н„ = Го = const; |
(7-31) |
Тг\^, = Т0. |
(7.32) |
Кроме того, считаем, что |
|
Тг конечно при ъ = сю; |
(7.33) |
Т2 конечно при z = —оо и при г = 0. |
(7-34) |
Приведенная система уравнений и граничных условий позволяет найти решение задачи.
Введем безразмерную температуру |
|
|
и 1 = |
о |
(7-35) |
|
|
|
и г = |
|
(7.36) |
144
Тогда |
задача (7.25)—(7.30) |
примет |
вид: |
|
|
|||||||
|
|
|
сТ-и ] |
і_ |
< |
aui |
1 |
awг |
0; |
(7.37) |
||
|
|
|
дг-г |
1 |
г |
dr |
dz"- |
|
|
|||
|
|
|
d W 2 |
|
au2 |
|
aw 2 |
|
(7.38) |
|||
|
|
|
Ö/-2 |
1 |
г |
dr |
1' |
<5z2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.39) |
|
|
|
|
То |
|
|
Го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я0 |
|
|
|
я0 |
|
|
(7.40) |
||
|
|
|
J t/J z -o /'d r - |
j |
77о |г=о г ^7 |
|||||||
|
|
|
Po |
|
|
Po |
|
|
|
|
||
|
|
|
Е/х = |
0 |
при |
|
г =■■7?0; |
|
(7.41) |
|||
|
|
|
U2 = 0 |
при |
|
г = r0. |
|
(7.42) |
||||
Решения (7.37)—(7.42) отыскивались в виде произведения функ- |
||||||||||||
ций [24] |
|
|
77! = M O W , (г); |
|
(7.43) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
и имеют |
вид |
|
f/3 = |
y 2(,-)lH2 (z) |
|
(7.44) |
||||||
C/j. = С4е az [Сг/ 0 (аг) + |
C2J0(аг)]; ' |
(7.45) |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
Если |
обозначить |
и.г = C,eazC-J0 (аг). |
|
(7.46) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
С1СІ = |
|
С2С4 = И2; |
С5С7 = И3, |
|
|||||
то |
|
|
77j. = e-az |
|
(ar) + И ,/ 0 (ar)]; |
(7.47) |
||||||
|
|
|
|
U2 = |
И3eaz/ 0 (a/').- |
|
(7.48) |
|||||
Постояиные A t , А 2, |
А 3 найдем из |
условий (7.39), (7.40), |
(7.41). |
|||||||||
Из |
(7.39) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Д о |
|
Д о |
|
|
|
|
Д о |
|
||
— |
|
h (ar) |
1 J0 (ar) rdr —Х2П3 I0(ar)r dr — |
. |
||||||||
|
Po |
|
J'o |
|
|
|
|
|
|
(7.49) |
||
Из |
(7.40) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Rq |
|
До |
|
|
|
|
До |
|
||
|
/I, J / 0 (аг) /• dr + А2 J /„ (аг) /•dr —А31 10 (ar) г dr = 0. |
(7.50) |
||||||||||
|
|
J'o |
|
Po |
|
|
|
|
Po |
|
||
Из |
(7.41) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
AJo (аД„) + AzJo(«Д 0) = |
°- |
(7.51) |
|||||||
10 Заказ G60 |
145 |
Введем обозначения
I |
J0{ar)rdr = f; |
(7.52) |
я'oо |
|
|
ВоІо |
|
|
J |
J0(ar)rdr = cp. |
(7.53) |
Тогда для коэффициентов А 1, д12, А 3 получаем систему уравнений
/ (^i-Ai -f- 7.0/І3) А |
|
Qo |
|||
— — 'яа?а ’ |
|||||
|
|
/ (^i — ^з) _г -^оф = |
|
||
откуда |
A J a (аR0) -г A.Jg (aR0) = |
О, |
|||
___________ О Л (и/?о)___________ . |
|||||
|
|||||
|
лаТо (Хі -(-Х.>) [/о (аУ?0) Ф— Jo (аУУо) /] ’ |
||||
А = - |
____________<?о^о (и/?о)____________. |
||||
|
яа Го (Хі + Х2) [/о (яЯо) Ф—Л (яЯо) /] |
||||
<2о[^о(яЯо)/-/о(аЯ0)ф] |
_ |
(? |
|||
лаГр (Хх + Х2) / [/0 (яЯо) ф —Л> («Я0) /] |
ла/7'o (Хі + Х2) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
/ = |
\й / і («До) - Ѵ і (а,'о) |
|||
(7.54)
(7.55)
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
(7.60)
Во |
|
Ф= J Jо (аг) г dr -і- fJV i (а/?0) — r0J, (аг0)]. |
(7-61) |
Подставпм (7.60) и (7.61) в выражения (7.57)—(7.59) и обозначим
{Jo {аR0) I! (ar0) - / „ (аД0) (аг0)} = P. |
(7-62) |
Учтем при этом, что выражение (7.61) представляет собой вропс-
киаи уравнения Бесселя, |
который равен — |
•1 |
Тогда |
|
|||
|
[І0 (aR0) cp - |
J0 (аД0) Л = 4 г |
~ |
*1 • |
|
(7.63) |
|
С учетом (7.63) можем (7.57), (7.58), (7.59) записать в виде3 |
|||||||
|
А, |
<?0/о (“ Йо) к |
|
|
|
(7.64) |
|
|
я7'о (Хі -|-Хо) (с0Р — 1) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
А , = - |
Qoh (ай о) a |
’ |
|
|
(7.65) |
|
|
л7’о (Хі+ Х2) (с‘оЯ•—і) |
|
|
||||
А |
______________ (?р7_____________ |
|
(7.66) |
||||
лГ0(Х1+Х2) [/?0/і (аЛ0) - г 0/і(аг0)1 |
’ |
||||||
|
|
||||||
Тогда частные решения (7.37), (7.38) будут иметь вид
|
(>0а |
Jo (а/?о) /о (ar0) — Jо (а/?0) J (аг0) . |
(7.67) |
ту = e"“z -___________ |
|
||
яГо (Л.1 —f—7^2) |
|
|
|
£/.-,= - е а |
O'о« |
У0 (аг) |
(7.68) |
л7'о (А.1+Хо) |/?о/і (а./іо) — ?'0/ і (сх/'о)) |
|||
Общие решения будут иметь вид
U |
Qо |
о ”г а„ IJо (а„/?о) /о (“ /До) — А, (апПо) А) |
|
|
|
гоР-1 |
|
|
|
|
|
|
U.■ |
_________ Оо____ N7 |
еа,,г [а„Л)(а„/-0)] |
|
<■" |
||
|
2 |
яУоОч + Ь) Z) |
[/Ѵі (а //о) — 'Д/і (а/'о)] |
(«п'~о)1 .; (7.69)
(7.70)
С помощью (7.28) и (7.29) найдем безразмерные тепловые потоки
П о |
п |
|
|
|
|
|
-an Wo (апЯ0)/о (а„Н- / 0 (ап/?о) А» (а„г0)J |
||||
лГо (?і + Л,») S |
2 ' |
'V J n ' |
1 |
|
|
го |
'1=1 |
?ч С*о |
|
|
|
|
|
|
(7.71) |
||
|
|
^1+^2 |
|
||
Аналогично найдем |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
По |
J |
<?0 |
|
|
|
2 |
(7.72) |
|||
<?2= —и ^ - ÖZ |
^-1 J'2 |
Jo |
|||
|
|||||
При сравнении с экспериментальными данными следует учитывать, что условие теплоизолированное™ боковых поверхностей при z = О практически не выполняется. Поэтому с экспериментальными дан ными следует сопоставлять среднюю температуру по сечеишо z
SUl cp- я J Uir dr - yo(£°+^ |
2 |
a„ |
; |
(7.73) |
r0 |
Л»1 |
|
|
|
flß |
|
CO |
|
|
|
Jo(^i~h^2) |
n=l |
an |
||
Тогда |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Cp |
<?0 |
2 |
e |
n |
’ |
ГоНН-М n(7?g |
n=l |
|
ал |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
Г/ r |
|
|
T J |
______________ Q o ____________ О |
c |
'1 |
’ |
|
2cp |
Го^і + ѴО n (flj-rj) |
Z l |
|
a„ |
|
где ал есть корни уравнения
JО(ССпЯ0) Ig (ctn7‘g) Ig (CCnRg) Jg (Я„Гg) —0.
(7.74)
(7.75)
(7.76)
(7.77)
10* |
147 |
г |
Для |
случая, когда на боковых поверхностях резца г = R 0 и |
/'0, |
происходит теплообмен со средой с постоянной температурой |
(очевидно, что это относится лишь к резцу), будем иметь граничные условия
|
|
д7\ |
|
- h ( T ^ R - T oy, |
(7.78) |
||
|
|
дг |
y— R о |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
г?Г, |
|
= h (Т, |
Тв), |
(7.79) |
|
|
|
дг |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где h |
а — коэффициент |
теплоотдачи. |
|
|
|||
Нз (7.78) и (7.79) |
получим |
|
|
|
|||
|
|
ди. |
|
|
|
(7.80) |
|
|
|
дг |
y*=Rо -hü, |г_в„ = |
0; |
|||
|
|
дП, |
■ ^ к |
= |
о. |
(7-81). |
|
|
|
дг |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение для U, |
имеет вид |
|
|
|
|||
|
U i = е ' “ г И |
Д о (а /,о) + |
A , J n (ш-0)]. |
(7.82) |
|||
Постоянные А 1У А 2, А 3 определяются |
из условий (7.39), |
(7.40) |
|||||
и (7.81) |
II имеют вид |
|
|
|
|
|
|
л = ___________QqW (До)__________ .
1 я а Г о ^ + Ь Н /Ч /Й .И Р -И Ч /Ш ] ’
|
А., = |
— |
|
|
QoF(Ro) |
|
|
л а Г о ( 7 і + А2) [У (Яо) ф - W ( Л 0) /] |
|||
|
|
Ая= |
- |
|
<?о |
где |
|
3 |
|
7Ш.То/ (A.J.+ A2) ’ |
|
|
F(R0)--=r0(аД0) - Л / 0(аД0); |
||||
|
|
||||
Тогда |
|
W ( R 0) = J'o (а Я 0) - / г / 0 (а Д 0). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Qо |
|
а,,г |
И^/о (а,,?•) — F (Ro) Jofanro) |
|
Ui- |
е“ач |
|
|||
|
Д____ V |
a n [ F( Rо) ф — W (Д0) /] |
|||
|
лГо (А.і + Ао) |
|
|
||
где а„ есть решение уравнения
W (і?о) /о (<Ѵ'о) — Д (До) Л (« Л ) =
Для безразмерного теплового потока |
получаем |
<?оАі
<?і = 1То fЛ.1 + Ао)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
(7.87)
(7.88)
(7.89)
(7.90)
148