Файл: Щербань, А. Н. Прогноз и регулирование теплового режима при бурении глубоких скважин.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
35

Применив метод вариации постоянных, найдем

 

^AA(ß>') JrA'tK 0(ßr) = 0;

 

A,Ja(ßr) +

А^Кй(ßr) — —ß2cp0.

Так как

 

 

 

 

A(ßr) = ßA(ßr),

получим

#é(ß'') = — ß^i(ßr),

A A (ß r)-M ;tf0(ßr) = 0;

 

 

(ß7-) —A*Kl (ß7-) = - ß CPo.

где через

ß обозначено

 

 

 

 

! > - / £ ■

Решая

систему (2.84),

получаем

 

 

_

л' К° ^

откуда

 

 

 

 

А'

А (ßr) -ЬA'J^ (ßr) = ßcp°

и

A't {^0 (ßr) А (ßr) +

А (ßr) К, (ßr)} = ßcpoA (ßr).

 

Обозначив выражение в фигурных скобках через W,

 

 

л 1

РФоА'оФО .

 

 

!'

W

(2.80)

(2.81)

(2.82)

(2.83)

(2.84)

(2.85)

(2.86)

(2.87)

(2.88)

будем иметь

(2.89)

 

 

а'

ß<PoA (ßr)

 

(2.90)

 

 

Л2

 

W

 

Но W представляет собой вронскиан уравнения Бесселя, который

равен

 

 

 

 

 

 

 

W =

J0(ßr) K x(ßr) + А (ßs) K 0 (ßz) =

.

(2.91)

С учетом (2.91)

можем (2.90)

и (2.89) записать в виде

 

 

 

A\ =

—ß2zcPo/A (ßr);

 

(2.92)

 

 

/1 '= ß 2rcp0A (ßr).

 

 

 

 

 

Тогда общее

решение (2.78)

принимает вид

 

 

и == — А (ßr) ß2 j гфо/і'о (ßr) dr + K 0(ßr) ß2 J гф0/о (ßr) dr -11

J

 

+ C3J0 (ßr) + CAKÜ(ßr).

 

(2.93)

Из условий

ограниченности

решений (2.78) и

(2.79)

получим

 

 

c 2=

0,

c 3= 0.

 

(2.94)

3*

Тогда

 

 

и = ß2 { к0(ß/-) f А Го/фгй) dr -

/о (ßr) I гфойГо (ßr) dr ) + DXK 0(ß,-);

(2.95)

и

= D 2 J (о у ),

(2.96)

где

(2.97)

Для первого периода простоя

(2.98)

Выражения (2.95), (2.96) представляют собой аналитические ре­ шения в изображениях Лапласа для определения температуры гор­ ного массива вокруг бурящейся скважины и жидкости, заполня­ ющей скважину, для любого периода циркуляции или простоя скважины. Естественно, что для практических расчетов такие зави­ симости могут быть реализованы лишь численными методами, в частно­ сти с помощью ЭВМ, как это было, например, сделано И. М. Астрахан и В. И. Мароном применительно к своему решению.

Наряду с этим, для расчетов температурных полей в призабойной зоне и вблизи ее, т. е. в той области, где охлаждение массива ока­ зывает наибольшее влияние на температуру промывочной жидкости, проявление термоупругих напряжений и т. и., достаточио (как-это будет далее показано) оперировать ограниченным числом периодов циркуляции и простоя, для которых можно получить законченное решение. Упрощенное решение (2.54) для первого периода простоя отыскивалось в виде

Z72 = / i (Г, Г) /о ( г ) + /о ( Г , Т ),

(2.99)

где

(2.100)

Подставив (2.99) в (2.54) и выполнив необходимые преобразова­ ния, получим систему уравнений

(2. 101)

( 2. 102)

36

Уравнение (2.102) с начальным условием f 1 = 1 при т = 0 удо­ влетворяется выражением вида

Л = і — ) / >

ет£с( т 7 Й У '

<2Л03>

Функция / 2 определяется из

(2.101), причем /

(г, т) при?- = R 0

должно быть / (т). Решение, соответствующее этим условиям, имеет вид

 

/0 = | / - 4

(erfc (

 

 

) -

exp(z 4 = 4 °

-f-22Tnp)X

 

 

 

"

''

1

\2 І^поТпрp /

 

\

Ѵа2

 

 

 

 

 

 

 

 

X erfc

? -/? ü

-z ] /

t

) ,

 

 

 

(2.104)

 

 

 

 

2]4T np

 

 

 

где z определяется из граничных условии.

 

 

 

 

 

Тогда для первого периода простоя скважины

 

 

 

Uо. =

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

erfc .

г —По

,

+

 

 

 

 

 

ц

 

 

,___

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

^2 Ya-iTnp )і

4-

И(4

йг)“ “ р

Г —/?0

z2Tnp) erfc f~ г — Яо

-Z ]/т

 

 

Тпр/

V

Ѵа2

'

“*7

\2KaoTnp

 

(2.105)

Удовлетворяя граничным условиям, находим

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

z =

к (A.O— Ä,j),

 

 

 

 

 

(2.106)

 

 

 

 

1

 

Va1Jr V a<±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

 

 

 

 

 

(2.107)

Обозначим

 

 

2Я0

X-l Va, + X2 Va1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 _

| / 4 l

erfc

 

 

 

= u™-

 

 

 

(2.108)

 

 

 

 

 

 

 

2 Ѵ'агТц

 

' 2Ц>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-K 4

erfc

 

r-Яо

 

t/np;

 

 

 

(2.109)

 

 

 

2 і^ЛчТ;пр

 

 

 

 

/ 4

exp z

г-

я" '

Пр/

 

г- л"

f

z /

t

пр *

 

(2. 110)

 

 

/®2

 

 

І2Т42тпр

 

 

 

 

 

Тогда

(2.105)

запишем

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f /^ p ^ f /n p a - T O - ^ n p

+ l.

 

 

 

(2. 111)

Из (2.105) видно, что при тпр =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-/(1)

__

г/(1)

 

 

 

 

 

 

а при г

— R 0

 

 

 

и 2

пр —

и 2И ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U % =

1 — ^пр =■• 1 — exp (z2Tnp) erfc (z ] / т

).

 

( 2. 112)

37

Чтобы найти выражения для расчета температуры промывочной

жидкости, заполняющей скважнну в

период простоя,

запишем:

U[2 >= At + Bt [Uap (1 -

а д +

(2.113)

и?' = As +

В2[Unp (1 -

U&) - хпр],

(2.114)

причем

А„ =B.j —1.

 

 

 

 

 

Из начального условия

 

 

 

Uі2) = О при %= О

 

найдем

 

 

 

а , =

- £ ! ( ! — а д .

(2.115)

Из граничного условия U1 — U2 при г = R 0 получим

Аі + ВА р |г-д. = 1 — exp (z2xnp) erfc (z ] / тпр) .

Обозначим

 

 

 

 

exp (z 2T np) erfc (z іЛ 11р) =

(рпр.

(2.116)

Тогда

 

 

 

 

j ^ = - 5 , ( ! - £ / & ) ;

 

(

-р

1 fpnp-

 

Решив эту систему уравнений,

найдем

 

 

 

( і - а д (і - ф пр) .

(2.117)

1 _

І-Ф п р

- и $ >

•

 

I D _______________ 1

ФПР

 

(2.118)

1 _

І-ф пр -Ц У

‘

 

Тогда окончательно распределение температуры в жидкости бу­ дет описываться выражением

и г -

[ № } - 1)( и ар- 1)-Фпр]-

(2.119)

Очевидно, что при г = R 0

Ux = 1 —фПр = ^2-

Решая уравнение теплопроводности для второго периода цирку­ ляции, в качестве начального условия принимаем

Е/ац==С4пр

при т^2

= 0 ,

(2.120)

Решение, удовлетворяющее

(2.58),

начальному

условию (2.59)

и граничным условиям

(2.61), (2.62),

имеет вид

 

и

2ц — " Ы г ц і/г п р

I

с /2ц .

(2. 121)

T i l t ) __ 9 7 7

(2 ) 7 7 ( 1 )

l_

7 / ( 1 )

 

38

Используя полученное выражение в качестве начального условия для второго периода простоя, получаем

UiVp =

(t/‘y -

1)— а:пр + 1.

(2.122)

В общем случае для

любого N -то периода простоя

будем иметь

 

-^Гпр

 

 

 

 

2

т а

г

 

 

=

— ;

(злгэ)

 

■^пр

 

 

 

 

2

№ ] "

 

 

=

------- ;

(2-124)

 

 

Jy np

 

 

По формулам (2.123), (2.124) были вычислены значения безраз­ мерной температуры промывочной жидкости и массива, окружа­

ющего бурящуюся

скважину, в конце первого периода простоя на

расстоянии от 0,08 до 0,15 м

от стенки скважины (рис. 5). В

каче­

стве

исходных

данных

принимались:

= 0,62Вт/м-°С;

Я2 —

= 1,77 Вт/м • °С; ах =

6,87 • 10- '1 м2/ч;

 

 

 

а 2 =

29,3-ІО-4 м2/ч;

R 0 =

0,08 м;

 

 

 

тпр =

18 ч; тц

=

6 ч.

 

 

 

 

 

Как видно из графика рис. .5,

 

 

 

величина приращения температуры

 

 

 

за время простоя скважины суще­

 

 

 

ственно

возрастает с увеличением

 

 

 

расстояния от

стенки до

0,04-)-

 

 

 

-)- 0,05 м. При дальнейшем увеличе­

 

 

 

нии расстояния график приращения

 

 

 

температуры будет более пологим.

Рис. 5.

Изменение температуры

На рис. 6 показано изменение

горного

массива в конце [простоя

безразмерной

температуры

мас­

скважины в завпспмостп от расстоя­

 

ния до ее стенки.

 

сива

на

различных

расстояниях

 

 

 

 

 

от стенки скважины в зависимости от числа периодов простоя. Как видно из рис. 6, приращение тем­

пературы в окружающем массиве за время простоя скважины на расстоянии свыше 0,03 м от стенки является достаточно большим при числе периодов N = 10 и более.

Полученные данные представляют интерес, в частности, для об­ наружения области проявления термоупругих напряжений вокруг скважины в зависимости от времени ее существования и расстояния от стенки скважины.

Для проверки и сравнения существующих методов расчета рас­ пределения температуры в приствольной зоне скважины Р. С. Яремийчуком были проведены исследования на экспериментальной установке, состоящей из модели массива, покрытой теплоизоляцией; нагревателя мощностью 3,5 кВт; приемной емкости и циркуляцион­ ного насоса, включенного через дроссель и манифольд.

39

Смотрите также файлы