Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

целевой функции отличаются один от другого на 8 %, что

находится в пределах погрешности расчетов. Поэтому их можно считать равнозначными.

В соответствии с графом возможных вариантов до­ работки рудных тел (см. рис. 15) число расчетных ва­ риантов в рассматриваемом примере составляет

2-2-2-Э- 1 -2+1 = 145.

При решении задач комплексной оптимизации пара­ метров рудника проектными организациями число срав­ ниваемых вариантов значительно возрастает. Так, воз­ можная высота этажа может меняться в широких пре­

на проведение выработок, так и на связанное с измене­ нием условий обслуживания горных работ.

Число оптимизируемых параметров может достигать значительной величины, а число фиксированных значе­ ний этих переменных, вводимых в расчет, также может быть достаточно большим.

В связи с тем что число вариантов расчета при сплош­ ном переборе равно произведению числа фиксированных значений по каждой переменной, уже при 10 перемен­ ных и 10 значениях по каждой из них, вводимых в рас­

чет, число вариантов расчета комплексной оптимизации параметров Лг= 1010. Поэтому выбору оптимизируемых

144

переменных величин и числа фиксированных значений по каждой из них при решении задач комплексной оп­ тимизации параметров горнодобывающих предприятий необходимо уделять большое внимание и включать в расчет только необходимый минимум значений.

Получившие развитие в последние годы методы про­ граммирования (линейное, нелинейное, динамическое), методы теории графов, марковских цепей, методы теории игр и массового обслуживания позволяют при правиль­ ном их применении для решения задач оптимизации получить оптимальные решения при значительно мень­ шем числе вариантов расчета, чем универсальный, но весьма трудоемкий метод сплошного перебора. Рассмот­ рению методов математического программирования, а также их комбинации в приложении к решению произ­ водственных задач уранодобывающих предприятий, по­ священы последующие разделы книги.

2. Л И НЕЙ НОЕ П Р О ГР А М М И РО В А Н И Е

Математические методы отыскания оптималь­ ных решений получили название математического про­ граммирования. В общем случае задачи математиче­ ского программирования записываются следующим об­ разом:

=(1 , п) — число ограничений-равенств.

Взависимости от того, какого вида функции входят

взадачу, различают программирование линейное, нели­ нейное, квадратичное и др. Задачи, у которых целевая функция и ограничения линейны, относятся к типу, ре­ шаемому методами линейного программирования.

Под линейным программированием понимается на­ хождение оптимальной комбинации экономических и тех­ нико-экономических параметров и показателей при со­ блюдении предписанных условий и ограничений.

Рассмотрим несколько примеров общей формулиров­ ки задач оптимизации технико-экономических парамет­ ров горного производства без их математической интер­ претации. Учитывая особые свойства методов матема­ тического программирования, согласно которым одна и та же математическая модель может соответствовать совершенно различным в первом представлении реаль­ ным ситуациям, можно предположить аналогичные по­ становочные ситуации и при решении других горнотех­ нических и горноэкономических задач.

Большое число задач линейного программирования относится к так называемому транспортному типу, в ко­ тором решаются вопросы перевозок грузов различного назначения. При этом часто должны быть учтены огра­ ничения на время поставок и ассортимент транспорти­ руемых грузов. Примером такой задачи является зада­ ча, возникающая при решении вопросов снабжения нескольких рудников лесоматериалами из нескольких леспромхозов при их различных производственных воз­ можностях и различных расстояниях перевозки. Можно найти такое сочетание лесопоставок, при котором сум­ марные транспортные расходы будут минимальными.

Большое народнохозяйственное значение имеет зада­ ча оптимального распределения по металлургическим заводам рудного сырья, добываемого различными руд­ никами. Решение задачи представляет собой отыскание экстремального значения выбранного экономического критерия с учетом ограничений по производственным возможностям различных рудников в производстве кон­ центрата различных сортов, стоимости транспортных пе­ ревозок, а также с учетом технологических возможно­ стей заводов и затрат на переработку сырья различного качества в различных сочетаниях.

Следующим примером успешного применения линей­ ного программирования может служить задача опти­ мального раскроя материалов. Так, на горное предприя­ тие поставляют длинномерный лесоматериал определен­ ных длины и диаметров, который должен быть разделен в креперазделочном цехе на крепежные элементы раз­ личных размеров в количествах, установленных ассор­ тиментом. Задание заключается в нахождении та­ кого рационального раскроя сырья (поступающих ле­ син), при котором количество отходов было бы мини­ мальным.

146

производства, включая оптимальное распределение на­ грузок на горные цехи горнорудного комбината в пяти­

или комплексному критерию нагрузок на очистные бло­ ки рудника в течение года, квартала, месяца и суток с учетом фактора концентрации горных работ и обяза­ тельного выполнения плановых директив и нормативов по количеству и сортам добываемых руд, содержанию металла (металлов) в руде, расходованию лимитируе­ мых материалов и др.;

2 ) оптимальное планирование горноподготовитель­

ных работ рудника; 3) выбор оптимальных технологических схем и типов

технологического оборудования при проведении ком­ плекса взаимосвязанных горных выработок (например, при вскрытии нового горизонта) и другие задачи.

Как уже отмечалось, линейное программирование включает класс задач по нахождению экстремума (мак­ симума, минимума) одной линейной функции при соблю­ дении линейных ограничений — уравнений и неравенств.

Функция называется линейной, если она зависит от аргумента в первой степени: у = ах + Ь.

График линейной функции на плоскости представлен прямой линией.

Принцип линейности заключается в том, что если численная оценка какой-то из величин составляет к, то для /г величин она будет в п раз больше.

Система двух линейных уравнений с двумя перемен­ ными графически изображается двумя прямыми линия­ ми. Решить систему из двух линейных уравнений в од­ ной плоскости — значит найти точку их пересечения.

Решением системы из трех и более (п) линейных уравнений является некоторая совокупность значений переменных, входящих в данную систему и удовлетво­ ряющих каждому из уравнений системы.

Если геометрически представить прямую линию как след пересечения двух плоскостей, то система из п ли­ нейных уравнений образует выпуклый многогранник в п-мерном пространстве.

Ю* 147

В линейном программировании широко используют линейные неравенства вида йц-Ѵ'і+ йі2л'2 + - ■. + am*n=S^i,

которые могут быть легко преобразованы в линейные уравнения путем прибавления к левой части некоторого неизвестного неотрицательного числа %п+ь Яц^іН- + Й.12Л'2 + . . . + йі„.ѵ„ + а,п+1л' „ +1 = Ь1. В общем виде задачу

линейного программирования можно представить как задачу выбора оптимального вектора xonT среди много­ мерных векторов, например векторов производства (хь Х9, . . х„), относящихся к линейной функции

различной физической и математической природы, пред­ ставленные в виде упорядоченной системы чисел. При этом я-мерным вектором является упорядоченная ко­ нечная система из я чисел. Так, в частности, коэффи­ циенты всякого линейного уравнения с я переменными составляют я-мерный вектор. Совокупность значений пе­ ременных величин системы линейных уравнений и нера­ венств, образующих решение этой системы, также яв­ ляется вектором, называемым вектором решений.

Из системы векторов решений методами линейной оптимизации (линейного программирования) находят оптимальный вектор решений (соответствующий мини­ муму или максимуму целевой функции в зависимости от постановки задачи).

Известно несколько методов решения задач линей­ ного программирования. Наиболее универсальным из

Л. В. Канторович предложил эффективный метод реше­ ния задач линейного программирования — метод разре­

148

шающих множителей. В последние годы в связи с раз­ витием математической теории разработано еще несколь­ ко методов решения линейных задач оптимизации. Од­ нако в связи с тем, что наиболее часто при решении задач данного класса используют симплексный метод, мы рассмотрим только его; другие методы и приемы рассматриваются ’ в специальной литературе, приведен­ ной в прилагаемом списке [36, 48 и др.].

Предлагаемое введение в линейное программирова­ ние содержит основные положения математической фор­ мулировки и решения данного класса задач. Математи­ ческие доказательства рассматриваемых методов реше­ ния задач здесь не приводятся; с ними можно ознако­ миться в специальной математической литературе.

Для понимания излагаемых материалов необходимы знания о линейных равенствах и неравенствах. Все не­ обходимые сведения в данном разделе математики мож­ но почерпнуть в работах [7, 9, 17, 21, 24].

Применение матричной формы записи линейных урав­ нений увеличивает наглядность представляемых мате­ риалов, однако матричная форма записи не обязательна, поскольку она не содержит дополнительных сведений, глубже раскрывающих сущность рассматриваемых ме­ тодов.

Рассмотрим один из алгоритмов симплекс-метода в общем виде.

Совокупностью ограничений задачи линейного про­ граммирования в абстрактном п-мерном пространстве высекается многогранник, называемый многогранником допустимых решении. Оптимальное решение задачи ли­ нейного программирования является я-мерным вектором координат одной из вершин многогранника допустимых решений. Любое решение в пределах многогранника — допустимое, но лишь одно из них в общем случае опти­ мальное. Алгоритм симплекс-метода нахождения опти­ мального решения заключается в последовательном на­ правленном переборе вершин многогранника допустимых решений.

В качестве математического аппарата перехода от одной координатной плоскости к другой может быть принят аппарат так называемых обыкновенных или мо­ дифицированных исключений [1].

Для его применения, систему ограничений задачи ли­ нейного программирования необходимо первоначально

149

привести к стандартному виду:

2 = Ріхі + Päx 2 4- . . . 4- p„x„->max (min),

то подставив —аіП= аі„, получим а,>Ѵ| 4-. •. 4-UmiX,iS^cs,-. Если есть ограничения-равенства вида ацХі + ... 4-

+ аі„х„ = аі, то им эквивалентна запись

которую легко привести к стандартному виду ограниче­

Таким образом, в любом случае все виды ограничении можно свести к стандартному виду.

Коэффициенты при независимых переменных и сво­ бодные члены системы ограничений, а также целевой функции, например, для модифицированных жордановых

150