Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

Третьим известным методом решения задач нелиней­ ного программирования может быть назван градиент­ ный метод.

Наконец, последний метод — классическая оптимиза­ ция, заключающаяся в применении дифференциального исчисления. Однако практически этот метод приме­ няется очень редко из-за трудоемкости вычислений. Классические методы оптимизации применяются в ос­ новном при теоретических исследованиях. Три первых метода обычно применяют для решения практических задач ( о н и будут рассмотрены ниже).

Преобразование нелинейных задач в приближенные линейные

Преобразование нелинейных задач в линейные является одним нз способов приведения нелинейных за­ дач к такому виду, чтобы можно было для 11X решения

применить симплекс-метод.

Некоторые нелинейные функции могут быть пред­ ставлены в виде суммы линейных функций, например

Нелинейные функции, которые могут быть приведены к линейному виду указанным способом, называются се­ парабельными.

В нелинейных задачах нелинейными могут быть как целевая функция, так и ограничения.

Рассмотрим пример преобразования нелинейной за­ дачи в линейную. Представим себе, что па одном из рудников возможно применение двух систем разработ­ ки— камерной с массовым обрушением целиков и гори­ зонтальными слоями с полной закладкой выработанно­ го пространства твердеющими смесями п селективной выемкой. Первая система позволяет достигнуть высокой производительности труда и низкой себестоимости до­ бычи 1 т руды, но приводит к большому разубоживаншо. Вторая система позволяет добыть руду с меньшим разубоживанпем, но очень трудоемка, и себестоимость

176

(млн. r/год), через х2 объем добычи руды горизонталь­ ными слоями с полной закладкой выработанного прост­ ранства твердеющей смесыо и селективной выемкой (млн. т/год). На основании исследований па данном руднике были получены следующие соотношения: себе­ стоимость 1 кг металла в добытой руде (С|)

Ci — 2Xl + X.,;

себестоимость добычи и переработки 1 кг металла (С2)

С2 = 2xi -f Зхг;

содержание металла в добытой руде (Z, %)

Z 1 12лу — x^ -j-- Хо.

Задача состоит в том, чтобы при себестоимости до­ бычи 1 кг металла в руде не выше 4 руб. и себестоимо­ сти добычи и переработки не более 6 руб. за 1 кг металла определить максимальное содержание металла в добытой руде и соотношение систем разработки, обес­ печивающих соблюдение указанных условий.

Иначе данную задачу можно переписать следующим

Как видно из задачи, целевая функция нелинейная, а ограничения линейные.

Попробуем целевую функцию представить в виде, удобном для применения симплекс-метода, т. е. преобра­ зовать ее в линейную. Перепишем целевую функцию в виде суммы двух функций:

разовывать и выражать через другие переменные, пре­ образующие нелинейные зависимости в кусочно-линей­ ные.

Для преобразования /у(хі) разобьем область изме­ нения Хі на интервалы Ах,(1-= 0,25. При этом следует

иметь в виду, что ли не может быть более 2,0, как это видно из функции М л-,) 11 ограничений, т. е. 0 ^ л',^2.

+ 0,18756з + 0,062564 — 0,06255s — 0,187566 — 0,312567 —

178

8

ныв; 2 öft= 0,2561 + 0,2502 0,256з + 0,2564 + 0,256s + 0,256g-Ь

”Ь 0,2507 ~Ь 0,2568-

Таким образом, нелинейная задача преобразована в линейную и может быть решена симплекс-методом.

Применив для решения уже преобразованной задачи

за счет добычи руды камерной системой с обрушением

1 кг металла в руде не выше 4 руб. и себестоимость до­

бычи и переработки 1 кг металла не более 6 руб.

В связи с большой трудоемкостью расчеты здесь не приводятся. В работах [26, 35, 38, 55] можно более под­ робно познакомиться и с другими методами линейной аппроксимации нелинейных задач, включая случаи не­ линейности как целевой функции, так и ограничений и квадратичного программирования, также позволяющего применять для решения симплекс-метод.

Градиентный метод решения нелинейных задач

Градиентный метод является также приближен­ ным и заключается в последовательном приближении к решению задачи. Каждый шаг решения при использова­

12* 179

нии данного метода постепенно приближает к точке максимума пли минимума в зависимости от поставлен­ ной задачи. Граднентный метод применяется в основном при решении нелинейных задач на быстродействующих электронно-вычислительных машинах. Он не требует сепарабельности функции, однако необходимым усло­ вием является дифференцируемость и непрерывность как самих функций, так и их первых и вторых произ­ водных.

Метод назван градиентным потому, что при решении нелинейных задач используется вектор частных произ­ водных функций, называемый градиентом функции.

Если, например, частные производные вычислены в ка­ кой-то определенной точке у \ = { х п , *12, •••,*іл), то гра­

диентом будет в данном случае либо вектор, либо точка в /г-мерном пространстве. При этом вектор из этой точ­ ки направлен в сторону максимальной скорости измене­ ния значения функции.

; = ( 1, /г). После этого находят значения компонент вто­ рой точки у2 по формуле r/2j= і/іj+ ctiAf(t/ij); аналогич­

но далее

( 3 . 7 8 )

где а — коэффициент, порядок определения которого бу­ дет рассмотрен в числовом примере.

В результате выполнения указанных расчетов полу­

(точке максимума или минимума в пределах области, фиксируемой ограничениями).

При определении значения а следует иметь в виду, что при слишком большом а число шагов будет меньше,

180