Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

10 ПРЕДИСЛОВИЕ

ческое общение со Станиславом Васильевичем Емельяно­ вым. Трудно переоценить огромное влияние С. В. Емель­

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить академика В. Н. Петрова за неизменную поддержку и внимание в течение всего периода работы в Институте. Слова искренней признательности хочется высказать в ад­ рес профессора М. А. Айзермана, который открыл для автора круг проблем, связанных с математическим описа­ нием скользящих режимов, и помог провести исследова­ ния, нашедшие отражение в главах II и III. Автор благо­

тические замечания, которые они сделали, просмотрев рукопись. Автор выражает особую признательность Л. Р. Говоровой — нашей неизменной помощнице в под­ готовке к печати работ по системам с переменной струк­ турой.

Автор

Г Л А В А I

ВВЕДЕНИЕ

Среди различных принципов управления, позволяю­ щих в том или ином смысле наилучшим образом управлять объектом регулирования, последнее время внимание спе­ циалистов все чаще привлекают системы, в которых уп­ равляющие воздействия являются разрывными функция­ ми ее координат и внешних воздействий. Как известно, именно в таких системах зачастую удается получить мак­ симальный эффект от использования средств автоматики, в том числе и оптимальность.

Исследование таких систем в большинстве случаев осу­ ществляется на основе развитого в работах А. А. Андро­ нова и его школы метода фазового пространства [2]. Фа­ зовые представления движения предполагают, что состоя­ ние системы характеризуется положением изображающей точки в пространстве, по осям которого отложены коор­ динаты системы. По виду траекторий изображающей точ­ ки, называемых фазовыми, можно судить о свойствах рассматриваемой динамической системы, и, более того, выбирая соответствующим образом управляющие воздей­ ствия, можно так деформировать фазовые траектории, что­ бы наделить желаемыми свойствами протекающие в си­ стеме процессы.

Задача синтеза в системах с разрывными управляющи­ ми воздействиями обычно сводится к выбору поверхно­ стей в фазовом пространстве, на которых функции управ­ ления претерпевают разрывы. При выполнении опреде­ ленных соотношений, о которых речь пойдет ниже, в таких системах может возникнуть специфический вид дви­ жений — так называемый скользящий режим. Скользя­ щий режим, например, может возникнуть, если в окре­ стности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены

12 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I

навстречу друг другу (рис. 1). Очевидно, что после попада­ ния на поверхность разрыва изображающая точка не может в течение любого даже сколь угодно малого, но конеч­ ного интервала времени двигаться по любой из траекто­ рий, примыкающих к этой поверхности. Действительно, при любом смещении всегда возникает движение, воз­ вращающее изображающую точку на поверхность разрыва.

Таким образом, в рассматри­ ваемой системе изображающая точка может двигаться лишь вдоль поверхности разрыва; это движение принято называть скользящим режимом. Здесь

рыва, всегда обладают малыми неидеальностямп (типа запаздывание, гистерезис и т. д.). При возникновении описанной выше ситуации наличие неидеальностей приведет к тому, что переключения уп­ равляющего воздействия будут происходить с конечной частотой, а изображающая точка будет совершать ко­ лебания в некоторой конечной окрестности поверхности разрыва.

Скользящие режимы обладают рядом привлекатель­ ных свойств, благодаря которым они давно уже приме­ няются при решении различных задач автоматического управления. Впервые этот вид движения преднамеренно вводился в систему, по-видимому, при построении вибра­ ционных регуляторов, изобретенных в начале нынешнего столетия. Исполнительный орган в регуляторах такого типа в зависимости от знака рассогласования между желаемым и истинным значениями регулируемой вели­ чины может занимать лишь одно из двух возможных край­ них положений. В интересной работе [21], посвященной применению методов теории колебаний для исследования вибрационных регуляторов, приводится краткий обзор и анализ первых публикаций в этой области. Несколько

§ 1] скользящие Режимы в системах 13

позднее вибрационные регуляторы нашли широкое при­ менение в практике регулирования напряжения авиа­ ционных, автомобильных и тракторных генераторов [72].

Как показали дальнейшие исследования, в ряде слу­ чаев именно во время движения в скользящем режиме ре­ ализуется оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу, который характеризует качество управляе­ мого процесса [24, 71].

Наиболее полно возможности скользящих движений были выявлены и использованы в работах по теории си­ стем с переменной структурой, которые начали прово­ диться в Институте проблем управления около пятнад­ цати лет назад по инициативе С. В. Емельянова. В на­ стоящее время теория систем с переменной структурой сформировалась в самостоятельное научное направление в общей теории нелинейных систем.

Для того чтобы проиллюстрировать целесообразность использования скользящих режимов при решении самых разнообразных задач управления, поясним с помощью ^-простейших примеров основные идеи построения систем

7 с переменной структурой.

§ 1. Скользящие режимы в системах с переменной структурой

Высокие динамические показатели систем с перемен­ ной структурой удается получить на основе следующего подхода. Предполагается, что система состоит из несколь­ ких непрерывных подсистем, называемых в дальнейшем структурами, причем каждая из них может оказаться и неприемлемой с точки зрения качества процесса управ­ ления, например, неустойчивой. Задача синтеза управ­ ляющего устройства состоит в выборе параметров этих структур и такой последовательности их изменения, чтобы

_ в системе удалось сохранить полезные свойства имею­ щихся структур, а в ряде случаев получить эффекты, не присущие любой из них. В моменты изменения структуры правые части дифференциальных уравнений, описываю­ щих движение системы, претерпевают разрывы на неко­ торых поверхностях в пространстве координат системы. Поэтому и в системах с переменной структурой возмож­ но возникновение скользящих движений. Именно предна-

меренное введение в систему скользящего режима и ле­ жит в основе большого висла алгоритмов управления в этом классе систем. Приведем простейшие примеры ис­ пользования скользящих режимов, которые сейчас уже могут показаться тривиальными, но в свое время они под­ твердили разумность подхода, связанного с изменением структуры в процессе управления, и стимулировали даль­ нейшие исследования в этом направлении. Наряду с при­ мерами, иллюстрирующими решение той или иной задачи управления, будут указаны также публикации, в которых эти задачи рассмотрены в более общей постановке.

Первый пример связан с задачей об устойчивости в си­ стеме управления объектом с постоянными параметрами, движение которой описывается уравнениями

раметры, и — функция управления. Составим управление в виде воздействия по координате хх:

(а = const) коэффициента воздействия \Р. Пусть в урав­ нении (1.1) коэффициент а2 является отрицательным, а коэффициент а подобран таким образом, что характери­

чивой. Убедимся теперь, что асимптотическая устойчи­ вость может быть достигнута в результате изменения струк­ туры (заметим, что в рамках одной линейной структуры для стабилизации необходимо в управление добавить воз­ действие по хг — производной от координаты а^). Будем изменять структуру системы на прямых

s = 0 находилась между осью хх и асимптотой гиперболи-

для случая, когда закон изменения структуры имеет вид

Как следует из рассмотрения фазового портрета, изо­ бражающая точка из любого начального положения всег­ да попадает на прямую переключения s = 0. В окрест­ ности этой прямой траектории обеих структур направле­ ны навстречу друг другу, поэтому дальнейшее движение будет происходить в режиме переключений или в сколь­

IB ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I

зящем режиме вдоль прямой s = 0. Вопрос о том, какими уравнениями описывается движение в скользящем режиме, требует специального обсуждения, которое проведено во введении ниже, а пока воспользуемся следующими эври­ стическими соображениями. Так как во время скользя­ щего режима изображающая точка не может покинуть лю­ бую сколь угодно малую окрестность прямой переклю­ чения, то при таком движении равна нулю величина сху +

уравнением первого порядка, которое и принимается в ка­ честве уравнения скольжения. Решение этого уравнения при с ]> 0 является устойчивым и, следовательно, система с переменной структурой (1.1) — (1.4) также устойчива при произвольных начальных условиях. Существенно, что устойчивость достигнута в результате использования двух «неприемлемых» структур и преднамеренного вве­ дения в систему скользящего режима. Эта идея син­ теза для управляемых объектов произвольного порядка с постоянными параметрами получила свое дальнейшее развитие в работах [8, 10—16, 20, 25—27, 35—38, 46— 48, 52, 53, 57, 58, 86, 106] *).

Большое внимание в теории систем с переменной струк­ турой было уделено задачам управления нестационарными объектами. Отдельно рассматривались два случая: в пер­ вом из них предполагалось, что нестационарность обус­ ловлена изменением характеристик объекта в широком диапазоне, и во втором — наличием приложенных к объ­ екту внешних возмущений. Начало этим исследованиям положила работа [39], в которой было показано, что если функция управления формируется из регулируемой ве­ личины и ее производных, то движение в скользящем ре­ жиме не зависит от параметров объекта и внешних возму­

*) Отличительная особенность работ [10—12, 27, 46, 47, 86] заключается в том, что правые части уравнений рассматриваемых в них систем претерпевают разрывы второго рода. Поэтому в [46, 47, 86] движение исследуется с применением введенных в [1] условий скачков, а в [10—12, 27] — иа основе так называемого метода разде­ ления движений.

§ 1] СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ 17

щений и определяется только коэффициентами уравнения плоскости переключения. Этот факт и используется при построении управляющего устройства, которое обеспечи­ вает, начиная с некоторого момента времени, движение в скользящем режиме с желаемыми динамическими свой­ ствами.

Поясним идею синтеза на примере системы (1.1) в слу­ чае, если параметры объекта меняются во времени. Пред­ положим, что коэффициенты ах и аг меняются во времени, причем эти коэффициенты недоступны для измерения и известен лишь диапазон их изменения. Тогда параметры а и с в (1.3) и (1.4) следует выбрать таким образом, чтобы при любых значениях коэффициентов ах и а2 прямая пере­ ключения оказалась ориентированной так, как это ука­ зано на рис. 2, б. В этом случае, несмотря на то, что при изменении ах и а2 фазовые траектории будут деформиро­ ваться, в окрестности прямой переключения s = О (рис. 2, в) они по-прежнему направлены навстречу друг другу, и в системе всегда возникает движение в скользя­ щем режиме, описываемое уравнением (1.5). Так как ре­ шение уравнения (1.5) определяется лишь параметром с, который можно выбирать по своему усмотрению, то воз­ никающее в системе скользящее движение не зависит от изменения свойств объекта. Более подробный анализ опи­ санного здесь подхода к построению систем с изменяющи­ мися параметрами на основе принципа переменности структуры и его обобщения для объектов произвольного порядка можно найти в работах [17, 18, 20, 40, 41, 43, 56, 62, 81].

Приведем теперь примеры, иллюстрирующие возмож­ ности использования скользящих режимов для случаев, когда нестационарность уравнений объекта обусловлена внешними воздействиями — задающими и возмущающи­ ми. Задача управления состоит в том, чтобы обеспечить не­ зависимость движения от внешних возмущений и воспро­ изводимость регулируемой величиной задающего воз­ действия.

Сначала рассмотрим задачу о воспроизводимости на простейшем примере первого порядка, представленном на рис. 3, а. В этой системе также предусмотрим две линей-