Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

а вероятность попасть на решение, целиком принадлежа­ щее этому подмножеству меры нуль, при произвольном выборе начальных данных равна нулю. Поэтому у пас 'тк_возникает задачи сходимости процесса восстановлепия 'оператора. Заметим также, что предлагаемый метод прин­ ципиально пригоден и в том случае, когда система (13.1) неустойчива (например, система (13.2) с негурвицевой матрицей А). Требуется лишь, чтобы скорость процесса позволила реально наблюдать и измерять его на протяже­ нии некоторого времени, достаточного для выхода в сколь­ зящий режим системы «объект — модель» и, если нужно, для организации процесса поиска.

§ 2. Процедура настройки параметров модели

Опишем одну из процедур поиска таких параметров

/модели, при которых все величины щ экв окажутся постоян­ ными, и следовательно, искомые параметры объекта могут быть определены из соотношений (13.9).

Дополним уравнение (13.8) аналогичными уравнения­ ми, в которых в левых частях вместо фу (х, it) стоят функ­

ции фу (х, t) = Lk {фу (х, i)}, т. е. функции, полученные в результате /с-кратного применения какого-либо линей­ ного оператора L к фу (х, t). В этом случае правые части, вообще говоря, являются функциями времени.

Введем обозначения

Lk{е?}, так как в процессе поиска параметров модели коэф­ фициенты l(j будут изменяться во времени и тогда левая 'часть в уравнении (13.11) не является результатом /с-кратиого применения оператора L к линейной комбина-

N

ции 2 k№h которая согласно (13.7) равна е°.)

3=1

Убедимся теперь, что все функции sf могут быть изме­ рены непосредственно, несмотря на то, что параметры объекта а гу, от которых зависят коэффициенты li}- в (13.11),

260 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. XIII

неизвестны. Из условий st = 0 при щ = г4ВКв следует

N N N

Применяя линейный оператор Ькк правойи левой части уравнения (13.12), получаем

N N N

2 а«Фз- (я,о = £к'{2 ьрФз(ж. о +(2 dpiФз(*>oiWbkd}.

Как следует из (13.14), все функции в левой части известны

и это позволяет вычислить величины ef.

Линейный оператор L подберем таким образом, чтобы

N

1V)

ц= — 2 1Ф если коэффициенты Ьц модели изменяются

3=1

по следующему закону:

Запишем производные по времени для функций гзр.

N

V i = 2

3=1

§ 3] ПРИМЕРЫ ВЫБОРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 261

или с улетом (13.16)

N N -1

JV-1

Щ= — С 2 (8i)2I

к=о

т. е. функции vt являются ограниченными снизу (^ > 0) и монотонно убывающими при всех е£, одновременно не

равных нулю. Процесс прекратится, когда все ef обра­ тятся в нуль. Из уравнений (13.11) и условия (13.15) *) следует, что при этом

lim lij — 0,

( —►СХЭ

ИЛИ

lim Ъц = &'хj, /—►00

Таким образом, процедура поиска (13.16) для линейных операторов типа (13.15) позволяет определить все пара­ метры идентифицируемого объекта.

§ 3. Примеры выбора линейных операторов

Описанная процедура определения параметров объекта правомерна для линейных операторов типа (13.15). Приве­ дем примеры таких операторов.

П р и м е р 1. Пусть объект является линейной системой (13.2), т. е. ер,- = Xj, И является квадратной матрицей раз­ мерности п X п с действительными и различными собствен­ ными числами. Покажем, что для линейного оператора L типа «элемент запаздывания» условие (13.15) выполняется.

*) Предполагается, что процесс настройки параметров моде­ ли происходит намного быстрее процессов в объекте и если

lim del |tpf |= 0, то Н т (е^ / clet |tpf ||) = 0.

При изучении оператора типа «элемент запаздывания» в примере 1 было показано, что все с,- и det | | не равны нулю. Последний сомножитель, как и в примере 1, являет­ ся определителем Вандермонда и поэтому ои также отли­ чен от нуля. Это означает, что и для оператора L типа «инерционное звено» выполняется условие (13.15), при котором процедура поиска (13.16) позволяет найти пара­ метры объекта.

П р и м е р 3. Покажем, что для систем произвольного вида (13.1) в качестве оператора L можно выбрать опера­ тор дифференцирования

кdk<Pj (*. О

Докажем, что найдутся такие интервалы времени, на которых условие (13.15) выполняется. Доказательство проведем методом математической индукции.

Рассмотрим определитель второго порядка

Функция а2(£) не равна тождественно нулю, поэтому