Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I

уравнение поверхности являлось одновременно и уравне­ нием скольжения. К сожалению, в случаях, когда уравне­ ние поверхности разрыва задается в пространстве произ­ вольных координат, из него, вообще говоря, не удается однозначно получить уравнения скользящего режима. (Здесь же напомним, что и для систем второго порядка в § 1 уравнения скользящего режима были получены не стро­ го, а с помощью эвристических соображений.)

Таким образом, к обсуждению вопроса о целесообраз­ ности использования скользящих режимов для решения различных задач управления можно приступить лишь после того, как будут решены задачи об условиях возник­ новения скользящего режима и его математическом опи­ сании.

Необходимо отметить, что скользящие движения были обстоятельно исследованы для конкретных случаев си­ стем регулирования в работах [80, 32], появившихся в до-- военный период. Работа Г. Н. Никольского [80], по-ви­ димому, является первой публикацией по этому вопросу.

В работе [32] рассмотрена задача построения кривых пе­ реходных процессов при возникновении скользящих ре-- жимов для случая, когда в системе используется серво­ механизм постоянной скорости, а переключающее устрой­ ство обладает зоной нечувствительности.

Более детальные исследования для общих случаев стали возможны в связи с развитием методов теории колебаний. На основе фазовых представлений движения условия воз­ никновения скользящих режимов в системах со скаляр­ ным управлением применительно к линейному случаю были получены в [29]. Эти условия оказалось возможным использовать и для систем общего вида, описываемых уравнениями (1.8). Скользящий режим в системе (1.8) воз­ никает, если на поверхности s {х) = 0 могут быть ука­

знаки и направлены навстречу друг другу (рис. 5). В ана­ литической форме условия возникновения скользящего режима, полученные в [29], запишем в более удобном для

§ 2] УСЛОВИЙ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЁЖИМОВ 25

Условия (1.9) выделяют область скольжения на по­ верхности разрыва. Принято считать, что после попадания в эту область изображающая точка движется по поверх­ ности разрыва в пределах указанной области до момента достижения ее границ. Такое дви­ жение будем называть идеальным скольжением.

Обсудим теперь вопрос о ма­ тематическом описании скользя­ щих движений. С формальной точ- f ки зрения уравнения с разрывной правой частью не удовлетворяют классическим теоремам о суще­ ствовании и единственности реше­ ния и, кроме того, правая часть на границе разрыва чаще всего вообще не определена. Одним из возможных подходов к решению

этой задачи является аксиоматический подход, который предполагает доопределение уравнений скольжения. Есте­ ственно, что при этом возникает элемент неоднозначности,

ис инженерной точки зрения необходимо выбрать такие доопределения, которые позволяют правильно описывать движения, протекающие в реальных системах.

Вработах А. А. Андронова [2, 3], посвященных ис­ следованию нелинейных динамических систем, указыва­ лось, что неопределенность в поведении системы будет устранена, если в уравнениях движения учесть малые неидеальности (запаздывание, инерционности, гистерезис

ит. д.) и рассматривать так называемое реальное сколь­ жение, происходящее в некоторой малой окрестности по­

верхности разрыва. Идеальное скольжение следует рас­ сматривать как предельное движение, получаемое при стремлении всех неидеальностей к нулю.

В большом числе работ, посвященных исследованию разрывных систем, различным авторам удалось получить математическое описание процессов скольжения, причем в одних случаях эти уравнения постулировались, в дру­ гих — обосновывались предельными переходами. Поста­ новка такой задачи во всех случаях сводится к нахождению некоторой системы дифференциальных уравнений с неп­ рерывными правыми частями, которые, несмотря на раз­

5 4] ДРУГИЕ ДООПРЕДЕЛЕНИЯ 27

жение происходит по поверхности разрыва, вектор фа­ зовой скорости этого движения лежит в касательной пло­ скости к поверхности, и поэтому для его нахождения надо

где ц — параметр, зависящий от взаимного расположения ■и величин векторов-столбцов /+, f~ и вектора-строки grad s — градиента функции s (х) *). Вычисляя р из ус­

описывающее движение в скользящем режиме при допол­ нительном предположении, что начальные условия для уравнения (1.10) выбираются на поверхности разрыва, т. е. s ( х (0)) = 0. С помощью уравнений (1.10) Филиппов предложил доопределять движение в скользящем режиме.

§ 4. Другие доопределения

Рассмотрим теперь различные способы доопределения, которые были опубликованы до появления работы Филип­ пова и которые применительно к линейным системам с

*) Этому уравнению можно дать достаточно простую физиче­ скую интерпретацию. Если предположить, что в окрестности поверх-^ ности разрыва происходят переключения с достаточно высокой частотой, причем Дtx — время движения, соответствующее фазовой скорости /+, а Дt2 — фазовой скорости / _, то, обозначая через р величину Дtxl (Aij -f- Дг2), получим, что вектор р равен средней скорости такого движения.

28 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 1

релейным управлением позволяют полупить уравнения движения в скользящем режиме.

В работах [65, 89] изучались релейные системы второго

[.Tj = ^21^1 “ Ь ®22*^2 “ Ь ^1

( М при S]> О,

1— М при s < 0, s = схг + х2>

где х-у, х, — координаты состояния, ац (£, 7 = 1, 2), с, М — const. Для получения уравнения скольжения вдоль пря­ мой s = 0 предлагается исключить из исходной системы второе уравнение, решить уравнение s = 0 относительно х2 и подставить полученное значение в первое уравнение

Авторы обратили внимание на то, что в скользящем режи­ ме уравнения движения линеаризуются *).

В работе [29] приведено обобщение предложенного в [65, 89] метода получения уравнений скольжения для линейных систем произвольного порядка, у которых разрывное управление входит лишь в одно из уравнений движения

*) Отметим, что явление линеаризации элемента с разрывной характеристикой впервые было детально исследовано в работе [69], в которой режим переключений этого элемента создавался ис­ кусственно за счет введения на его вход высокочастотного сигнала рт постороннего источника.

И в этом случае последнее уравнение в (1.11) исключается из рассмотрения, а в первые (п — 1) уравнения подстав­ ляется решение уравнения s = 0 относительно хп\

3=1

Полученная в результате этой процедуры линейная си­ стема (1.12) и принимается в качестве уравнений сколь­ жения .

В работе [78] указывается последовательность дей­ ствий, которая дает возможность записать уравнения скольжения для случая, когда помимо Ъп могут быть от­ личны от нуля и остальные элементы вектора Ъ. Согласно приведенному в этой работе методу координаты и и s системы (1.11) рассматриваются как входное и выходное воздействия, а переходная функция этой системы ср (t — т) считается известной. Тогда реакция системы на произволь­ ное входное воздействие и (t) будет иметь вид

где s0(t) — функция времени, зависящая от начальных условий, s0 (0) = 0. В качестве уравнений скольжения автор предлагает принять уравиения, которые получатся в результате подстановки решения интегрального уравне­ ния

s0(£) + ^ ф (t — т) и (т) dx = 0

о

относительно и (t) в исходную систему (1.11).

Отметим еще один метод получения уравнений сколь­ жения, основанный на замене элемента с разрывной ха­ рактеристикой линейным звеном с бесконечным коэффи­ циентом усиления [105]. Согласно этому методу в качестве уравнений скольжения следует принять предельные урав­ нения, которые получаются в результате подстановки в исходную систему (1.11) вместо управления и линейной функции ks (к = const) с последующим стремлением ко­ эффициента к к бесконечности.