Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

два значения:

(1.6)

где х — величина ошибки, равная g (t) — ср, g (t) — за­ дающее воздействие. Если в пачальпый момент g ср, как это показано на рис. 3, б, то согласно (1.6) в системе будет иметь место положительная обратная связь и координата

а1

Рис. 3.

Ф, равная ф0еа', «догонит» задающее воздействие. После изменения знака ошибки обратная связь станет отрица­ тельной и ошибка вновь станет положительной (рис. 3, б). В результате в системе возникнет скользящий режим, во время которого координата ф воспроизводит задающее воздействие *).

Задачу о компенсации влияния внешнего возмущения рассмотрим на примере системы второго порядка, в кото­ рой объект и исполнительное устройство являются ин­ тегрирующими звеньями (рис. 4, а). К объекту приложено недоступное для измерения внешнее возмущение / (г). Управление составим в виде суммы воздействий по регу­ лируемой величине х, которую нужно свести к нулю

*) Разумеется, воспроизводимость будет иметь место, если

|g |<С I ф I- Здесь же отметим, что в случае, когда ср и g в началь­ ный момент времени имеют разные знаки и величина g не меняет знака, то скользящий режим в системе не возникает, так как регу­ лируемая координата ф также ие может сменить знак. Для того чтобы обеспечить воспроизводимость при произвольных начальных условиях, достаточно к управлению и добавить линейное во дей­ ствие по координате ощибки —кх (к > 0 ) .

выберем следующий закон изменения структуры системы:

а при ays > 0,

— а при ays < 0

В при ys ^> 0,

—В при ys < 0,

где s = сау + х2, а, с — const, с 0.

Как уже отмечалось выше, в случае, если внешнее воз­ мущение отсутствует (/ (t) = 0), коэффициент а можно подобрать таким образом, чтобы на всей прямой s = 0 существовал скользящий режим (фазовый портрет такой

/ (t) ^ 0, то особые точки фазовых портретов каждой из четырех линейных структур сместятся из начала коорди­ нат, причем величины и знаки смещения определяются ко­ эффициентами а, В п возмущением / (t). На рис. 4, б, в представлены отдельно правая и левая полуплоскости фазового портрета системы (1.7) для области |х2 | / (t), в которой согласно (1.7) знаки у и / совпадают. Как сле­ дует из рассмотрения фазового портрета, особые точки смещаются таким образом, что фазовые траектории в окрестности прямой переключения s = 0 направлены на­ встречу друг другу и в системе всегда возникает скользя­ щий режим*). Движение в скользящем режиме описывает­ ся однородным дифференциальным уравнением (1.5), реше­ ние которого устойчиво. Таким образом, в результате изменения структуры удается парировать внешнее воз­ мущение, которое недоступно для измерения, и сделать величину ошибки после окончания процесса управления равной нулю. Все вопросы, связанные с достижением вос­ производимости регулируемой величиной задающего воз­ действия и независимости от внешних возмущений для систем произвольного порядка с постоянными и перемен-

*) Строго говоря, кривые на рис. 4, б, в не являются фазовыми траекториями, так как дифференциальные уравнения системы изза наличия возмущения являются нестационарными. Каждую из этих кривых следует рассматривать как геометрическое место точек, для которых в каждый фиксированный момент времени касательная к кривой совпадает с направлением вектора фазовой скорости.

§ и СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ 21

иыми параметрами рассмотрены в работах [30, 31, 42, 44, 59—61, 67, 82, 83, 85, 87, 88, 9 6 -9 9 , ИЗ].

Итак, при решении различных задач синтеза в классе систем с переменной структурой весьма эффективным ока­ залось использование скользящих режимов. Идея синтеза в большинстве случаев сводилась к созданию в системах скользящих движений, не зависящих ни от характеристик управляемого объекта, ни от приложенных к нему возму­ щений. Существенно, что для формирования скалярной функции управления не требовалась информация об этих параметрах и возмущениях, но возникла необходимость в использовании помимо координаты ошибки ее произ­ водных, число которых определялось порядком системы. В соответствии с этим движение системы рассматривалось

впространстве координаты ошибки и ее производных.

Спрактической точки зрения применение такого под­ хода может натолкнуться на существенные технические

трудности, связанные с получением производных высо­ к и х порядков. Как известно, реальные дифференцирую­ щие устройства обладают собственными инерционностями, и поэтому рассмотрение движения системы в простран­ стве координаты ошибки и ее производных может ока­ заться недопустимой идеализацией. Анализ поведения систем с переменной структурой с учетом инерционностей был проведен в работах [49—51, 93] и, кроме того, были предложены методы уменьшения влияния неидеальностей за счет создания скользящих режимов в самих дифферен­ цирующих устройствах [54, 55, 94].

Приведенные здесь примеры указывают на принци­ пиальную возможность решения наиболее часто встре­ чающихся задач управления за счет использования свойств скользящих режимов. В то же время этими задачами да­ леко не исчерпывается вся совокупность проблем, успеш­ но решенных на основе преднамеренного введения в

систему скользящих движений. В ряде публикаций отра­ жены методы построения систем, в которых принцип пе­ ременности структуры позволил обеспечить необходимые по техническим условиям ограничения на координаты объ­ екта [4], реализовать оптимальную фильтрацию при изме­ нении непредвиденным образом вероятностных характе­ ристик входных сигналов [45], улучшить качество управ­ ления за счет адаптации во время скользящего режима

184], решить задали миогосвязанного регулирования [83] осуществить идентификацию управляемого объекта [68], построить системы, осуществляющие поиск экстремума [66], и др. Систематическому изложению результатов исследований по теории систем с переменной структурой посвящены монографии [34, 45]. В этих же монографиях, а также в статье [5] приводятся достаточно полные обзоры работ по системам с переменной структурой.

§ 2. Условия возникновения и математическое описание скользящих режимов

Рассмотренные в § 1 примеры систем с переменной структурой носили частный характер, так как изучались лишь системы второго порядка с управляющим воздей­ ствием, составленным из координаты ошибки и ее про­ изводной. Тем не менее с помощью этих примеров удалось выяснить, насколько целесообразным является предна­ меренное введение в систему движений в скользящем ре­ жиме, и первые результаты оказались достаточно обна­ деживающими. В связи с этим возникает интерес рассмот­ реть возможности использования скользящих режимов в системах более общего вида.

Отметим те основные особенности, которые могут воз­ никнуть в таких системах и которые не имели место в при­ веденных выше примерах. Во-первых, повышение порядка дифференциальных уравнений системы, как это обычно бывает при использовании метода фазового пространства, приводит к существенному возрастанию аналитических трудностей, связанных с изучением поведения системы. Во-вторых, во многих случаях имеется возможность для измерения помимо координаты ошибки каких-либо физи­ ческих координат системы, которые; несмотря на отсут­ ствие производных от ошибки, характеризуют состояние системы. Этой особенностью целесообразно воспользо­ ваться при формировании функции управления. И, нако­ нец, третья особенность, которая зачастую присуща си­ стемам автоматического управления, заключается в том, что управляющие воздействия могут быть приложены к различным точкам объекта, т. е. управление является векторной величиной.

§ г] УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ 23

Итак, более общая постановка задачи об использовании скользящих режимов относится к системам, в которых функция управления формируется с использованием каких-либо координат системы, не являющихся, вообще говоря, ошибкой и ее производными, а сама функция уп­ равления может быть как скалярной, так и векторной ве­ личиной. Отметим, что в работах [6, 7, 63, 66, 83, 100— 102, 110—112, 114] рассмотрены вопросы, связанные с этими задачами.

Прежде всего необходимо уточнить формальные мате­ матические вопросы, которые возникнут при изучении указанной совокупности задач. Для этой цели обратимся к динамической системе общего вида с разрывным скаляр­ ным управлением, описываемой уравнениями

где х и / — гс-мерные векторы-столбцы, и — скалярная функция, которая претерпевает разрывы на поверх-

' ности s (х) = 0:

U |u~ {х, t) при s (х) < 0,

и+ (х, £), и~ (х, t), s {х) — некоторые непрерывные функ­ ции, и+ =)= и~. Так как мы планируем построить систему таким образом, чтобы в ней возник скользящий режим, то необходимо найти в аналитической форме условия, при которых на поверхности s — 0 возникает такой вид движе­ ния. Ранее при изучении систем второго порядка вопрос решался исходя из геометрических соображений, согласно которым в окрестности поверхности разрыва фазовые траектории должны быть направлены навстречу друг

другу.

Скользящий режим имеет смысл вводить в систему лишь в том случае, когда этот вид движения обладает желаемыми динамическими свойствами с точки зрения пре­ дъявляемых к процессу управления требований. Это озна­ чает, что мы должны уметь записывать уравнения, описы­ вающие движение в скользящем режиме. В системах второ­ го порядка, у которых поверхность разрыва была задана В пространстве координаты ощибди ц ре производной,