Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 3
§ 4] МЕТОД СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 121
Таким образом, процедура синтеза на основе метода диагонализации после выбора уравнения скольжения (или поверхности разрыва) предполагает два возможных пути, позволяющих обеспечить возникновение скользя щего режима, описываемого этим уравнением. Первая возможность заключается в выборе компонент управле ния в виде линейной комбинации функций, каждая из которых претерпевает разрывы на одной из выбранных поверхностей, а вторая — в такой замене уже выбранных поверхностей разрыва новыми, при которой не изменя ются уравнения скольжения.
§ 4. Метод синтеза на основе квадратичных форм
Метод, о котором ниже пойдет речь, так же как и ме тод диагонализации, предполагает замену либо вектора управления, либо уже выбранных с точки зрения урав нений скольжения поверхностей разрыва. Целью этой замены является приведение уравнений системы к виду, для которого можно составить такую положительно опре деленную квадратичную форму v и функцию управления, что производная v на решениях системы будет отрица тельно определенной функцией. Существование такой функции v согласно § 2 главы III и свидетельствует о су ществовании скользящего реяшма на пересечении по верхностей разрыва.
Итак, рассматривается система (2.2), (2.3) в предпо ложении, что поверхности разрывах; (х) = 0 (г = 1, . . .
. . ., тп) уже выбраны. Проекция движения системы на подпространство (sl5 . . ., sm) описывается системой (3.10).
Введем новый нг-мериый вектор управления и*, ком поненты которого изменяются в соответствии с (4.5) и
который связан с |
вектором и |
преобразованием |
и .= |
{GB)~'D (х, |
t) (Z7*)-1»*, |
где U* — диагональная матрица с элементами (ы*+ — щ ')
(г = 1, . . ., иг), D (х, t) — произвольная симметричная матрица, которая на всем пересечении поверхностей раз рыва удовлетворяет сформулированным в § 3 главы ЦП условиям, т. е. все диагональные определители матрицы
— [D (х , /)]~х положительны и имеют верхнюю и нижнюю
1 2 2 |
ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СИНТЕЗА |
IV |
границы. В этом случае в уравнениях проекции движения на подпространство s (3.12) вектор d (х , t) равен Gf +
+ D (£/*)_1и*0, если и*0 = у (и*+ + и*~), и**ши*~ — векторы
с компонентами (г^Д . . . , i +) и (иГ> . . ., Um). В построен ной таким образом системе, как доказано в § 3 главы III, область скольжения выделяется соотношениями (3.22), которые справедливы как для постоянных, так и для зави сящих от а;и t элементов матрицы!) и вектора d. Потребуем, чтобы в рассматриваемом случае неравенства (3.22) вы полнялись на всем пересечении поверхностей разрыва
sup|Zft( z , i ) l < l |
{к = \ ,...,т ), |
(4.12) |
s=0 |
|
|
где lh (к = 1, . . ., тп) — компоненты вектора |
I, равного |
|
—D~ld. Эти неравенства можно выполнить, если, напри мер, вектор и*0 выбрать равным — U* (jD)- 1G/. Тогда вектор d, а следовательно, и вектор I равны нулю. Если такая точная компенсация окажется неудобной с точки зрения реализации, то можно область скольжения не ограниченно увеличивать за счет увеличения величины разрывов компонент управления вектора и* или, что то же, за счет увеличения элементов матрицы U* и эле ментов матрицы D (х , <). В этом случае элементы вектора I, равного D-1G/ + (t/*)-1 и*0, будут уменьшаться, что приведет к расширению области значений х, при которых справедливы неравенства (4.12). Для попадания изобра жающей точки достаточно, чтобы неравенства (4.12) были справедливы не только на многообразии s = 0, но и во всем пространстве (х1г . . ., х п).
Второй вариант метода синтеза на основе квадратич ных форм предполагает замену уже выбранных исходя из желаемого характера движения в скользящем режиме поверхностей разрыва в соответствии с преобразованием (4.1), к которому уравнения скольжения инвариантны. Для этого случая, когда компоненты вектора претерпе вают разрывы на новых поверхностях s* (х, t) = 0 ( i — = 1, . . ., тп), вместо уравнения (3.12) запишем уравнение, описывающее проекцию движения на подпространство s*:
в* = £2 (х, t) D (х, t) sign s* -(- Q (x, t) d (x, t) +
+ Я (* Д )[а (* , o r 1**, |
(4.13) |
l/
5 4] МЕТОД СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ |
123 |
|||||
где D (X, |
t) — GBU, d (х , t) = |
Gf + |
GBu°, u° = ~ |
(ut -f- щ), |
||
U — диагональная |
матрица |
с |
элементами |
(ut — щ), |
||
Q (х , <) — матрица преобразования вектора s в вектор |
s*. |
|||||
Выберем произвольную симметричную матрицу D*(x, t), |
||||||
которая |
на всем |
пересечении |
поверхностей |
разрыва |
||
s* (х , t) = 0 удовлетворяет сформулированным в § 3 главы III условиям, т. е. все диагональные определители
матрицы —[D* (х , г)]-1 положительны и имеют |
верхнюю |
|||
и нижнюю |
границу. |
Тогда если Q = D*D~X(матрица |
||
D~l существует, |
так как det GB ф 0 и detC/ Ф 0), то |
|||
уравнение |
(4.13) |
преобразуется к виду |
|
|
s' = D* (х , t) sign s* + D* (ж, £) Z>-1 (ж, t) d (a:, i) + |
|
|||
|
|
+ |
[± ( D * D - ^ ) ] D ( i n - 4 \ |
(4.14) |
Относительно матрицы |
Q (x, t) делается предположение, |
|||
что величины |Q | и |Q- 1 1| ограничены.
При решении вопроса о возникновении скользящего режима на пересечении поверхностей разрыва можно
всоответствии с рассуждениями предыдущего параграфа
вуравнении (4.14) отбросить последнее слагаемое, так как на пересечении поверхностей разрыва вектор s * равен нулю. В системе (4.14) матрица —D* (х , it) является положительно определенной, поэтому для этой системы, как показано в § 3 главы III, область скольжения также выделяется соотношениями (3.22), которые совпадают с
неравенствами (4.12). |
Условия |
(4.12) выполняются, |
если и0 = —(G5)-1G/ и |
вектор I |
равен нулю. Если же |
такую точную компенсацию не удается обеспечить, то область скольжения, определяемую неравенствами (4.12), моз&но расширить за счет увеличения элементов матрицы U, так как это приведет к уменьшению элементов вектора
-d, равного U~r (GB)-1.
Вопрос о попадании для такого метода синтеза не может быть решен простым распространением действия неравенств (4.12) на все пространство s* при любых зна чениях х и t. Это следует из того, что для получения усло вий скольжения (4.12) из (3.22) мы отбросили последнее слагаемое в (4.14), а это можно делать лишь для малой окрестности многообразия s* = 0. Кроме того, при дока
124 |
ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СИНТЕЗА |
1ГЛ. IV |
зательстве |
правомерности применения условий |
(3.22) |
для переменной матрицы D (х , t) (а система (4.14) является таковой) существенным образом использовался тот факт, что движение происходит в малой окрестности пересе чения поверхностей разрыва и величина s* близка к нулю.
Здесь мы ограничимся лишь тем, что наметим последо вательность действий, направленных на определение об ласти попадания, т. е. области, из которой любая траек тория изображающей точки попадает на пересечение по верхностей разрыва. Сначала в соответствии с описанным в § 3 главы III методом нужно составить положительно определенную функцию v и найти ее производную в силу системы (4.13), уже не предполагая, что s* является до
статочно малой величиной. |
Следующий |
шаг состоит |
в определений такой области Г значений s*, |
для которой |
|
при любых х и t функция v |
является отрицательно опре |
|
деленной. Область попадания будет ограничена поверх ностью v — с (с — const) с таким максимальным значе нием с, при котором эта поверхность целиком принад лежит области Г. Задача синтеза будет решенной, если удастся подобрать такую матрицу D*, что область попа дания включает область допустимых начальных условий. Отметим, что согласно § 3 главы III матрицу —D* можно искать не только среди симметричных матриц с положи тельными диагональными определителями, но и среди матриц, приводимых к такому виду в результате умно жения на произвольную диагональную матрицу с поло жительными элементами.
§ 5. Метод иерархии управлении
Этот метод предполагает искусственное создание ’ие рархии управлений, о которой шла речь в § 4 главы III. Иерархия управлений предполагает выполнение условия (3.30) на всем пересечении выбранных поверхностей сколь жения. Процедура синтеза иа основе такого подхода осу ществляется в следующей последовательности. Прежде всего нужно выбрать, на какой из поверхностей st — О будет претерпевать разрывы каждая из компонент век тора управления. Предположим, что в уравнении (3.29), записанном для поверхности sx — 0 (т. е. для к — 0)-,