Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 129
Скачиваний: 3
§ 1] |
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ |
253 |
способа поиска заключается в том, что в системе нужно предусмотреть устройство, которое всегда решает одномер ную задачу независимо от размерности общей задачи, а элементы, меняющие направление в каждом канале, также реализуют функцию одного переменного (меняют kt в зави симости от цср) и функционируют независимо друг от друга.
Наконец, описанный в . этой главе метод одномерной оптимизации с переменной скоростью задающего воздейст вия может быть использован для построения двухуровне вой системы оптимизации, позволяющей осуществить гра диентный поиск *). Второй контур оптимизации предпо лагает минимизацию функции
Ф (к) = |
ктк -f- к -j J | |
(X = const). |
Как показано в § 4, величина |иср |определяется из соот ношения
I ________ррцр_______
ср ' ро + иоI grad f-k\ ’
поэтому экстремум функции ф (к) достигается в точке
X
к0 — -------- sign (grad f-k) grad /, т. e. найденное направление
ро
совпадает с градиентом функции f(x). Естественно, ско рость оптимизации второго уровня, осуществляемой, на пример, покоординатно, должна значительно превосхо дить скорость оптимизации в основном контуре. Это обычно удается сделать, так как в управляющем устройстве на скорости изменения компонент вектора к ограничений не накладывается.
г л а в а хш
, ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
§1. Постановка задачи и уравнения модели
спеременной структурой
Во многих случаях перед этапом выбора управляющего устройства возникает необходимость в определении пара метров управляемого объекта. Кроме того, такая задача
*) Принцип двухуровневой оптимизации предложен С. К. Ко ровиным и докладывался на V конгрессе ИФАК в 1972 г.
254 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. XIII
должна решаться и при управлении объектами с изменяю щимися параметрами, когда предполагается использова ние средств адаптации, которые призваны улучшать дина мические свойства системы при различных вариациях характеристик объекта.
В этой главе задача восстановления дифференциальных уравнений объекта будет решаться с помощью моделей с переменной структурой за счет преднамеренного введе ния в динамическую систему «объект — модель» движе ний в скользящем режиме *).
Предполагается, что известна система функций фj (x,t) (J = 1, . . N), являющихся компонентами вектора ср (х , it), по которым правые части дифференциальных уравнений объекта могут быть разложены в конечные ряды. Тогда задача идентификации динамического объек
та, описываемого |
уравнениями |
|
|
|
|
|
||
|
х = |
Ац>(х, <), |
хт= х1г. . . , хп, |
|
(13.1) |
|||
сводится к восстановлению |
постоянной матрицы .А = |
|аи \ |
||||||
(г = 1, . . |
п\ |
/ = 1 , . . , , |
iV) |
— |
коэффициентов |
этого |
||
разложения. |
Предполагается, |
что |
на |
любом |
решении |
|||
х (t) функции ф; (х (t), t) (/ |
= 1, . . ., N) |
линейно незави |
||||||
симы всюду, кроме множества точек меры |
нуль. |
Частным |
||||||
случаем является задача восстановления матрицы А = |а^-Ц системы линейных дифференциальных уравнений
П |
|
( i = 1,. . ., tz) . |
(13.2) |
Xi — 2 |
dij Xj |
||
j'= i |
|
|
|
В любом случае задача состоит в том, чтобы определить |
|||
матрицу А = |ац |, |
зная лишь протекание процесса х (<) |
||
на конечном интервале времени. Будем далее считать, что диапазон возможных значений коэффициентов ац ограни чен и известен.
Подобная задача изучалась применительно к линей ным уравнениям (13.2) (см., например, [22]) или же при менительно к системе «типа Лурье», которая отличается от линейной системы (13.2) наличием одной аддитивно
*) В этой главе отражены результаты, полученные в работе [68] и в доложенном на V конгрессе ИФАК в 1972 г. докладе А. Д. Браславского, С. К. Коровина, Н. Е. Костылевой, В. И. Ут кина, А. М. Шубладзе.
§ U |
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ |
255 |
входящей нелинейной функции одного аргумента. Им мо жет быть какой-либо из x t или их линейная комбинация
[95].В [22, 95] предполагалось, что исходным материалом
■служит набор одновременно выполненных замеров xt и жг. Значения x t определяют значения правых частей уравне ний (13.2), и задача сводится к обычной задаче восстанов ления линейной функции по набору ее значений при фик сированном наборе аргументов. Известны многочислен ные алгоритмы решения задач такого рода. Трудности применения их к задаче восстановления оператора (13.2) связаны с доказательством сходимости алгоритма. Это доказательство требует предположений о том, как отби раются решения, в ходе которых выполняются одновре менные замеры Xi и ж;. Всегда существует подмножество решений, не удовлетворяющих условию независимости, и даже если это подмножество имеет меру нуль, надо избе жать случая, когда либо решение целиком лежит в этом подмножестве, либо отобранные точки оказываются в нем. Обычно при доказательстве сходимости алгоритмов делает ся предположение о случайном разбросе начальных дан ных и доказывается, что алгоритмы сходятся в некотором вероятностном смысле (например, почти наверное).
Для решения этой же задачи применительно к опера тору (13.1) составим модель, которая описывается урав нениями типа (13.1), но коэффициенты этих уравнений выберем разрывными функциями. Попытаемся так изме нять структуру модели, чтобы изучаемые объект и модель, рассматриваемые как совместная система, всегда выходили на скользящие режимы, во время которых процессы в объекте и модели протекали одинаково. В силу того, что объ ект и модель имеют подобную структуру уравнений движе ния и их выходные величины совпадают, по средним зна чениям разрывных коэффициентов модели в скользящем режиме можно судить о неизвестных параметрах объекта. Напомним, что среднее значение управления в скользящем режиме совпадает с эквивалентным управлением и эта величина может быть легко измерена с помощью инерцион
ного звена с достаточно малой постоянной времени
(§ 6 главы II).
Итак'наряду с системой (13.1) рассмотрим уравнение модели
У = Щ |
(13*3) |
256 ИДЕНТИФИКАЦИЯ д и н а м и ч е с к и х о б ъ е к т о в [ГЛ. хш
где у и и — п-мерные векторы состояния модели и управ ления с компонентами (?/х, . . уп) и (н^, . . ип) соот ветственно. Составим вектор управления в виде кусочно линейной функции компонент вектора ср:
N |
N |
|
и, = 2 |
(®, t) + Г2 с1а I (*» о |
(dy — const), |
У=1 |
S'=1 |
(13.4) |
|
|
Г1 при s4> О,
1 — 1 ПРИ S; < 0 |
(£ --= 1 ,.. . ,/г), |
а функции Si, определяющие поверхности разрыва, равны рассогласованиям между соответствующими координатами объекта и модели
si = |
xi — yi. |
(13.5) |
Вычисляя величины st из (13.1), (13.3) — (13.5) |
||
N |
|
|
Si = 2 [{ац |
by) <Pj |
dij |ср,-1Hi], |
;'=l |
|
|
находим, что условия скользящего режима (1.9) будут вы
полнены на каждой поверхности st = 0, |
если |
dy > max |a{j by |. |
(13.6) |
aij |
|
Условия (13.6) при достаточно общих предположениях о функциях cpj являются одновременно и условиями попа дания. Это означает, что в рассматриваемой динамической системе «объект — модель» с некоторого момента времени возникнет движение в скользящем режиме по пересечению всех поверхностей разрыва и при этом все рассогласования между выходными величинами объекта и модели будут тождественно равны нулю.
Для определения уравнений скольжения согласно методу эквивалентного управления (глава II) нужно в уравнение модели вместо и' подставить функции ц*01(в, которые являются решениями уравнений st — 0 (£ = 1, ...
. . . , « ) относительно управлений. Из этого следует, что ве-
§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 257
личины Si при и' = н’ экв тождественно равны нулю, т. &
N
— |
2 |
hffli |
(®> Z) |
— |
Щ |
(i |
• , п ) , |
(13.7) |
|
|
|
|
— 1, . • |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
hi ~ |
® ij |
btf, |
|
— 2 |
dijU{ экв |Ф ; ( * , t) |. |
(13.8) |
|
Компоненты |
u ' 0 K B |
совпадают со средними значениями u * , |
||||||
и их можно получить на выходе фильтров с малой постоянной времени, если на входы этих фильтров подавать истин ные значения ut. (Вопросы, связанные с выбором парамет ров и погрешностью измерения, рассматривались в § 6 гла вы II.)
Рассмотрим теперь следующие два случая.
1. Наблюдаемый на выходе фильтра i-ro фильтра сигнал и*экв равняется постоянной величине.
2. Сигнал и* экв изменяется во времени.
С л у ч а й 1. Рассмотрим интервал времени, на кото ром ф;- (х, t) не меняют знака и сохраняются постоянными значения dijUi3KBsign срj(x, t). В силу независимости функ ций фх (х, t) из равенства (13.7) сразу получаем
ац = by + d^ul эквsign cpj {х, t\ |
(13.9) |
где н’ вкв— непосредственно наблюдаемый сигнал на выходе фильтра. Подставляя в (13.9) это значение иТэкв и соответ ствующие разным / значения Ъц и dtj, восстанавливаем г-то строку матрицы А .
В частном случае, когда неизвестен лишь один элемент матрицы А , например ап , а все остальные ее элементы —за данные числа, параметры модели (13.4) выбираются таким образом, что все dц, за исключением du , равны нулю, все 'btj, за исключением Ьп , равны atj, а коэффициенты Ьп и
выбираются так, чтобы они удовлетворяли условиям существования скользящего режима (13.6). Тогда из (13.7),
(13.8) |
следует, что все ltj |
= 0 кроме ZX1, и так как функция |
|
фх (х, |
t) ф 0, то |
|
|
|
«11 = |
Ьц + |
dijUlер sign фх (х, t), |
т. е. |
неизвестный |
коэффициент ап восстанавливается с |
|
258 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. XIII
помощью предлагаемого метода без какой-либо поисковой процедуры.
С л у ч а й 2. В этом случае и*вкв — функция времени^ и поэтому функциями времени являются величине* dijUi эквsign cpj (х, t). В таких условиях из уравнения (13.7)'
уже не следует, что |
все коэффициенты |
1ц — d^u* экв X |
||
X sign ф; (ж, t) равны |
нулю и формулы |
(13.9) |
не могут |
|
служить |
для определения коэффициентов |
ац. |
Заметим, |
|
однако, |
что всегда существует такой выбор чисел btj и d |
|||
при котором возникнет не случай 2, а случай 1, какова бы ни была матрица А. Действительно, величина и‘ зкв, являющаяся решением уравнения st = 0 относительно и*, имеет вид
N
У ( в ц - Ь у ) ф Д * , * )
_______isi__________________ |
(13.10) |
|
**1 ЭКВ — |
дг |
|
Y (<*у sign qpj (х, i)) ф. (x, t)
3=1
Если выбрать коэффициенты diS так, чтобы они были пропорциональны числам агу — Ъц с одним и тем же ко эффициентом пропорциональности, и рассмотреть затем часть процесса, при котором срг (a;, t) ие меняют знака, то
на этом участке заведомо будет «i8KB = const. Таким обра зом нельзя, конечно, непосредственно подсчитать, как надо выбрать и dtj, так как коэффициенты аи неиз вестны. Однако это рассуждение показывает, что коэффи
циенты bij-adij, при которых щ ЭКп= const, заведомо сущест вуют. Задача сводится к их поиску.
Разумеется, и в описанном приеме методы систем с пере менной структурой используются в конечном счете для восстановления производной х. Однако в отличие от цити рованных выше работ восстановление матрицы А осу ществляется здесь не с использованием дискретных одно-^ временных замеров векторов жиже последующей обработкой этих замеров с помощью какой-либо вычислительной процедуры, а в ходе непрерывного процесса, без дискрет ных замеров. Поэтому предлагаемый способ оказывается нечувствительным к тому, что в ходе изучаемого процес са траектория его в фазовом пространстве «прошивает» подмножество меры нуль, где нарушается линейная неза висимость функций ср^ (ж, t) на решениях системы (13.1),