Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

к\, btf — элементы вектора kz и матрицы B"h, и? — компо­ ненты вектора uh. Условие (12.42) означает, что положи­ тельная величина Мг всегда превосходит любой элемент

вектора кги -}- Bh.nh, и из этрго условия следует, что в разрешенной области управление иг на движение не влияет.

В этой системе будет осуществляться поиск точки х* и эта точка будет найдена, если она лежит в допустимой области. Если же ограничения являются существенными и точка х* находится в запрещенной области, то в процессе поиска траектории изображающей точки, лежащие на

поверхностях hi = 0, попадут на одну или несколько плоскостей zt = 0, и при выполнении условия (12.43) на пе­ ресечении этих плоскостей возникает скользящий режим. В результате движения в скользящем режиме, так же как и в задаче с ограничениями типа равенств, будет най­ ден условный экстремум на границе допустимой области. Если на координаты системы наложены ограничения обоих типов (12.30) и (12.38), то для решения следует использо­ вать оба алгоритма одновременно.

Для того чтобы гарантировать сходимость всех приве­ денных здесь алгоритмов, нужно сделать соответствующие предположения о виде оптимизируемой функции и о функ­ циях, задающих область допустимых значений входных параметров, например, ограничиться рассмотрением лишь выпуклых функций.

§6. Обсуждение метода оптимизации

Вэтом параграфе мы кратко обсудим возможности при­ менения алгоритмов с постоянной и переменной скоростью поиска для нестационарных объектов, а также различные способы организации многомерного поиска иа основе ис­ пользования специфических особенностей этих алгоритмов.

Поиск экстремальной точки услоясняется в случае, когда координаты этой точки и вид нелинейной характе­ ристики изменяются во времени. Это обусловлено тем, что для нестационарной характеристики затруднено измерение компонент градиента (или знаков каких-либо его проек­ ций). Попытаемся с помощью алгоритма (12.3) осуществить оптимизацию нестационарного объекта, описываемого

^предположении, что в любой момент времени характери­ стика имеет единственный минимум в точке х*, у*, а вели­ чина df/dt ограничена при любых х и t. Задача состоит в построении системы, обеспечивающей равенство выходной величины меняющемуся во времени экстремальному зна­ чению. Скорость изменения величины у* не превосходит максимальное значение величины df/dt *). Поиск миниму­ ма осуществляется за счет скользящего режима, во время которого выходная величина у отслеживает задающее воз­ действие g (t), монотонно убывающее со скоростью р. Оче­ видно, для того чтобы координата g (или равная ей коор­ дината у) «была способна догнать» изменяющую свое положение точку экстремума, должно выполняться ус­ ловие

Запишем теперь условия возникновения скользящего ре­ жима, во время которого осуществляется такая «погоня». Для этого нужно воспользоваться уравнением относитель­ но рассогласования е = g — у, в котором в отличие от (12.6) должна быть учтена нестационарность характери­ стики (12.43):

Из (12.45) получаем аналогичное (12.5) условие возникно­ вения скользящего режима для алгоритма с постоянной скоростью воздействия:

Для алгоритма с переменной скоростью (12.19) после на­ рушения скользящего режима величина р становится рав­ ной нулю, поэтому условием его существования согласно

Неравенствами (12.46) и (12.47) можно воспользоваться для оценки точности поиска экстремума рассмотренных здесь алгоритмов оптимизации в случае нестационарного объекта. За счет увеличения коэффициентов А и и0 можно уменьшить размер области, в которой срывается скользя­ щий режим и нельзя гарантировать движение к экстре­ муму.

В заключение отметим те возможности построения си­ стем многомерного поиска, которые появляются за счет использования усредненного значения уравнения цср. Как мы выяснили, при фиксированном направлении поиска но мере приближения к условному экстремуму величина ггср стремится к одному из своих предельных значений: а0 или — и0. Этой информацией можно воспользоваться для непрерывного изменения направления поиска, например, следующим образом:

& = T(ucp,k, t),

где к — вектор направления поиска, у — вектор-функ­ ция, зависящая от иср таким образом, чтобы при значени­ ях цср, по модулю, близких к и0, скорость изменения к увеличивалась, и близких к нулю — уменьшалась. Это приведет к тому, что в системе будет наблюдаться тен­ денция к смене направления поиска по мере приближе­ ния к условному экстремуму и большая часть времени движение будет происходить по направлениям, близким к градиенту*).

Изменение направления за счет измерения иор можно осуществлять и случайным образом. Например, в момент времени, когда начинает выполняться неравенство (12.29), в каждом канале параметры кь вектора к выбираются по какому-либо случайному закону. Очевидно, что в такой системе, у которой на каждом шаге решается одномерная детерминированная задача, также будет реализовано движение к экстремуму. Существенная особенность этого

*) Функции у следует выбрать таким образом, чтобы компонен­ ты вектора к были ограниченными, например, функциями вида sin Ш, у которых параметр о. растет при приближении |и ср|к и0.