Файл: Авдеев, Н. Я. Аналитико-статистические исследования кинетики некоторых физико-химических процессов учеб. пособие.pdf

§ 6. Распределение скоростей звезд подсистем Галактики

Пусть имеем облако, состоящее из п одинаковых звезд со средней скоростью движения относительно Солнца Ѵ0 км/сек. И пусть со времени т0 это облако стало разрушаться под дейст­ вием некоторых сил (например, в процессе сближения с объек­ тами большой массы [68]), сообщающих каждой звезде постоян­ ное ускорение а км/сек;2. Время начала движения с ускорением каждой звезды xt есть независимая случайная величина с одной и той же функцией распределения Р (тг <; т) = Р (т). Спра­ шивается, как будет распределено время разрушения облака. Обозначая через rz, т2, ..., тп время начала ускоренного движе­ ния отдельных звезд и через Тп время разрушения облака, найдем вероятность неравенства Тп> т. Очевидно, для того чтобы время разрушения облака Тп было не меньше т при любом і,

по условию одинаково распределены с одной и той же функцией распределения Р (т), то по правилу умножения для независим мых событий вероятность одновременного выполнения всех не­

женно описывается параболой порядка р с параметром с. Из (46) и (47) следует:

Откуда аналогичным [19] преобразованием получаем закон

41

[69, 70J обозначения, получим асимптотический закон распре­ деления скоростей звезд подсистем Галактики в окрестности Солнца

Отметим, что форма закона (50) определялась поведением функции распределения в начальный момент разрушения облака (47); в остальном закон распределения Р (т) был совершенно произвольным.

Дифференцируя уравнение (50) по переменной V, получим аналитическое выражение закона плотности распределения ско­ ростей звезд подсистем Галактики

Исследуя функцию (51) на экстремум, получим моду распре­ деления

42

m

Таким образом, мы видим, что если распределение скоростей звезд системы подчиняется закону (50), то полный комплекс по­ казателей статистической характеристики этой системы опреде­ лится по асимптотическим формулам (52—58).

В случае усечений системы звезд на интервале скоростей

0 q* 70 = Утіп< V < Ѵт = Ѵтм q* OO

уравнение (50) в нормированном виде может быть записано так:

Параметры распределения а и р уравнения (59) в каждом конкретном случае могут быть вычислены по способу последова­ тельных приближений. Например, по способу итерации Ньютона для решения системы двух уравнений [63].

Представляют интерес случаи вырождения уравнения (59). Например, при а = 0 и р qt 0 из уравнения (59) предельным пе­ реходом получаем степенную форму распределения:

распределения:

43

Реализация уравнения (50, 51) и формул (52—58) для полу­ чения статистических характеристик распределения компонен­ тов и модулей пространственных скоростей звезд различных классов иллюстрируется на большом числе примеров, представ­ ленных таблицами 15—22, наблюденные данные, в которых (чис­ литель) заимствованы из работ [74—76]. Оценка согласованно­ сти расчетных и наблюденных распределений (табл. 16, 18, 22) определялась по критерию К. Пирсона [4, 7 ]. Общая среднеаб­ солютная погрешность взаимного отклонения расчетных и опытных определений по всем испытанным образцам не превы­ шает 1 — 2%; максимальная погрешность по отдельным изме­ рениям в полных выборках составляет не более 2—3%; в част­ ных выборках в отдельных единичных случаях максимальная погрешность взаимного отклонения расчетных и наблюденных определений равна 4—5% от измеряемой величины.

§ 7. Оптическая характеристика некоторых космических и земных поверхностей

Статистическая обработка большого экспериментального ма­ териала [77] показала [18], что распределение цвета поверхно­ сти малых планет (астероидов), Луны, метеоритов и некоторых земных горных пород (табл. 23) удовлетворительно аппроксими­ руется уравнением вида (50)

где D — показатель желтизны цвета; Ф (D) — относительное количество образцов испытуемого объекта; а и р — параметры, определяемые по формулам (12, 13).

Далее поступая, как в предыдущих случаях, приходим к за­ ключению, что по минимальному числу опытных данных кумуля­ тивной кривой распределения цвета поверхности может быть получена относительно полная оптическая характеристика изу­ чаемого объекта (табл. 23—25).

44

45