Файл: Федоров, Н. Д. Электронные и квантовые приборы СВЧ учебник.pdf

Число вынужденных переходов сверху вниз с излучением энер' гии в единицу времени в единице объема пропорционально вероят­ ности ш2і(в) и населенности верхнего уровня /Ѵ2, т. е. с учетом (10.10)*

Аналогично при тех же условиях число вынужденных переходов

рассмотрения состояния термодинамического равновесия системы атомов при определенной температуре Т.

Пусть система атомов имеет два уровня энергии $ 2 и при переходах между которыми излучается или поглощается квант энергии /гѵ21. При термодинамическом равновесии в системе не происходит изменения энергии, поэтому число излученных квантов должно быть равно числу поглощенных квантов. Следовательно, в единицу времени во всей системе общее число переходов из верх­ него энергетического состояния в нижнее должно быть равно общему числу переходов из нижнего состояния в верхнее:

«21 ~ «12- (10.13)

Это положение называется принципом детального равновесия.

В рассматриваемой системе формально нет внешнего поля и должны существовать только спонтанные переходы. Однако спон­ танное излучение каждого атома является внешним для других атомов и вызывает вынужденные переходы с поглощением или излу­ чением энергии электромагнитного поля. В состоянии равновесия в системе должно существовать равновесное значение плотности поля собственного излучения иѵ, которое можно использовать для расчета числа вынужденных переходов в системе по формулам (10.11)

и (10.12).

Полное число переходов сверху вниз п21 в (10.13) в состоянии равновесия определяется суммой числа спонтанных переходов n21(c> и вынужденных переходов с излучением энергии п2ив\, т. е. с учетом

(10.6) и (10.11):

Число переходов п12 снизу вверх определяется только вынужден­ ными переходами с поглощением, т! е. с учетом (10.12):

Приравнивая на основании (10.13) п21 и я12, получаем

162

Из выражения (10.16) найдем равновесную плотность собствен- ного поля

Соотношение населенностей уровней в состоянии термодинамического равновесия определяется законом Больцмана

получаем

_______ Иаі/В%і_______

(10.19)

( В і г і В г і ) exp [(Аѵ21/АГ) —1]

Эйнштейн постулировал, что равновесное значение собственного поля wv должно совпадать с величиной, рассчитанной по формуле Планка для равновесного излучения абсолютно черного тела:

если вместо hv подставить hv21. Сравнивая с учетом этого формулу

Таким образом, если квантовая система и поле излучения нахо­ дятся в состоянии термодинамического равновесия, то вероятности вынужденных переходов в единицу времени при единичной плот­ ности поля В12 и В21 должны быть одинаковы. Вероятность спон­ танных переходов пропорциональна третьей степени частоты пере­ хода, поэтому спонтанное излучение сильнее всего проявляется в оп­ тическом диапазоне волн.

Безызлучательные переходы. Атомы и молекулы газа в резуль­ тате неупругих соударений друг с другом или с электронами теря­ ют или приобретают энергию. При этом не происходит ни излуче­ ния, ни поглощения энергии электромагнитного поля. Такие энер­ гетические переходы принято называть безызлучательными. В твер­ дом теле безызлучательные переходы происходят вследствие коле­ бательного движения кристаллической решетки.

Безызлучательные переходы характеризуются также вероят­

равна сумме вероятностей обоих процессов (Л2і -Г С21), а время жизни уровня 2 по аналогии с (10.5)

§ 10.2. Ширина спектральной линии

Естественная ширина линии. До сих пор мы неявно предполага­ ли, что энергетические уровни вещества бесконечно узкие. Од­ нако даже в идеализированном случае, когда на частицу не дейст­ вуют внешние силы, ширина энергетических уровней конечна. Другими словами, излучение для данного перехода не монохрома­ тическое, а занимает некоторый спектр частот.

Узкую область с одним максимумом интенсивности в спектре излучения или поглощения называют спектральной линией, а гра­ фическое изображение ее формы — контуром спектральной линии.

Рассмотрим идеализированный случай, когда атом изолирован, неподвижен и не подвержен внешним воздействиям. В этом случае ширина уровней следует из соотноше­

ния неопределенностей Гейзенберга:

Применим соотношение неопределенностей (10.25) к атому. Пред­ положим, что хотим измерить энергию атома в возбужденном состоя­ нии, которому на рис. 10.2 соответствует уровень 2 с энергией (о2. Среднее время жизни в возбужденном состоянии определяется выражением (10.5): т2 = 1/Л21. Так как спонтанные переходы имеют статистический характер, то величину т2 можно считать неопреде­ ленностью измерения момента времени излучения кванта, т. е. At — т2. Подставляя At в (10.25), получаем неопределенность энернии уровня 2 А($2 ^ h!т2. Это рассуждение можно применить

к многоуровневой системе. Неопределенность энергии уровня і равна

164

где т,• — время жизни уровня і, определяемое по формуле (10.9) вероятностями спонтанных переходов с него на нижние уровни.

Соотношение (10.26) определяет зависимость конечной ширины любого энергетического уровня А$г от среднего времени жизни этого уровня т;. Если оно бесконечно велико (тг -> со), то А$г ->- 0, т. е. неопределенность энергии, или ширина уровня, бесконечно мала. Считают, что основной энергетический уровень бесконечно узкий. Наиболее широкими оказы­

излучению и называется естест­ венной шириной спектральной линии. Ширину контура спектраль­

ной линии принято определять как разность частот, на которых

хода) называют частоту, соответствующую максимуму спектраль­ ной линии. Форма спектральной линии (контур) может быть пред­ ставлена так называемой лоренцевой кривой, совпадающей с резо­ нансной кривой колебательного контура. Реальные наблюдаемые спектральные линии имеют ширину больше естественной. Рас­

ющихся частиц. В результате неупругих соударений изменяются энер­ гии частиц, т. е. уменьшается время жизни в определенном энерге­

форма ее остается прежней, лоренцевой. Уширение спектральной линии, при котором форма ее контура не изменяется, называется

однородным уширением.

165

В общем случае лоренцеву форму контура получают всегда, когда есть причины, приводящие к уменьшению времени жизни (спонтанное излучение, неупругие и упругие соударения излуча­ ющей частицы с другими частицами, соударения со стенками сосуда и с кристаллической решеткой твердого тела).

Допплеровское уширение. Это уширение связано с эффектом

Допплера — зависимостью наблюдаемой частоты излучения от ско­ рости движения источника. Если источник излучения, имеющий частоту ѵ0, движется по направлению к наблюдателю со скоростью ѵх, то наблюдатель регистрирует из­ лучение с более высокой частотой ѵ,

причем

лекулы. В газообразной среде при термодинамическом равнове­ сии существует распределение скоростей по закону Максвелла — Больцмана. Учитывая лишь проекции скорости ѵх на линию на­ блюдения, можно получить следующее выражение для допплеров­ ской формы линии:

С увеличением массы частиц и понижением температуры ширина допплеровского контура уменьшается. Для легких частиц и обыч­ ных температур допплеровская ширина может превышать естествен­ ную на несколько порядков.

Уширение вследствие влияния электрических и магнитных полей.

Воздействие электрических и магнитных полей может приводить к расщеплению энергетических уровней на несколько подуровней и к сдвигу уровней (эффекты Штарка и Зеемана). Если величина расщепления меньше ширины каждого подуровня, то расположен­ ные рядом подуровни частично перекрываются (неполное расщепле­ ние). Поэтому сливаются и спектральные линии переходов, а ре­ зультирующая ширина спектральной линии при воздействии полей будет больше исходной ширины.

166