Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
А К А Д Е М И Я Н А У К С С С Р
НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПРОБЛЕМЕ «КИБЕРНЕТИКА»
А. Р. ШАХНОВИЧ, Д . И. ШАПИРО
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О « Н А У К А »
М О С К В А
1973
У ДК 621 : 612.815
Ш а X н о в il ч А. Р., Ш а п и р о Д. И. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования. «Наука», 1973.
Книга посвящена актуальной проблеме использования матема тических методов для моделирования биологических систем.
Рассматривается наиболее важный раздел этой проблемы — моделирование регуляторных функций нервной системы. Книга сос тоит из трех разделов. В первом разделе изложены математические методы исследования сложных систем (методы идентификации, тео рии оптимального управления, теории игр автоматов, теории ней ронных сетей и др.). Во втором разделе приведено описание основ ных нейрорегуляторных систем организма, начиная от процессов, происходящих в нервной клетке, вплоть до поведения. В третьем разделе рассмотрены математические модели этих основных нейро регуляторных систем организма. В книге представлены результаты собственных исследований авторов, а также материалы обзорного характера по отечественным и зарубежным источникам.
Книга предназначена для специалистов в области нейрокибернетикп, биофизики, нейрофизиологии, математики и врачей разных специальностей, интересующихся проблемами моделирования фи зиологических процессов, а также аспирантов и студентов соответ ствующих специальностей.
Табл. 2. Рис. 39.
3-5-1 |
го -927-73 |
© Издательство «Наука», |
042(02)-73 |
|
|
«Математика представляется скоплени ем математических структур, л оказывается (хотя по существу п неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некото рые из этих форм».
Н. Бурбаки 1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Применение математики к исследованию процессов в живой природе является одним из важнейших научных направлений и объединяет весьма широкий круг исследований.
Одним из них, вероятно самым значительным, является ис пользование математических и кибернетических методов и вы числительной техники в биологических и медицинских иссле дованиях. При этом имеют место два аспекта: а) использование современной вычислительной техники для эффективной обра ботки медико-биологической информации; б) создание математи ческих моделей медико-биологических систем.
Книга посвящена обсуждению медико-биологических задач и методов в плане второго из упомянутых аспектов. В первом раз деле книги изложены основные математические методы исследо вания сложных систем — теории оптимальных систем, теории игр, теории статистических решений, теории нейронных сетей и топо логии, которые необходимы для моделирования биологических систем.
Во втором разделе приведены основные сведения о регуляторных функциях нервной системы, начиная от процессов регуляции импульсной активности нервной клетки и кончая регуляцией сложного поведения.
Третий раздел представляет собой краткий обзор моделей регуляторных функций нервной системы, включая некоторые ре зультаты, полученные авторами книги.
Авторы не ставили целью изложение всех медико-биологиче
ских |
проблем, требующих применения математических методов. |
В |
книге опущены такие задачи, как машинная диагностика, |
система слежения за больным и др., по которым имеется большая литература. Предлагаемая] читателю книга не претендует на
1 Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963, стр. 258.
полное обсуждение всех математических проблем биокибернетики и полный литературный обзор.
Авторы также не ставили своей целью дать подробный обзор состояния методов исследования сложных систем или всех задач, возникающих при исследовании регуляторных функций нервной системы и соответствующих моделей.
При описании математических методов (I раздел) и физиологи ческих систем (II раздел) авторы не ограничиваются только теми методами и системами, которые рассматриваются при описании математических моделей ( I I I раздел), поскольку работы по мате матическому моделированию физиологических систем только на чинаются.
Вместе с тем, учитывая ограниченный объем |
книги, авторы |
не могли дать достаточно подробного описания |
математических |
методов и физиологических систем, ограничиваясь ссылками на со ответствующую библиографию.
Авторы надеются, что книга окажется полезной специалистам, работающим в области биокибернетики: математикам, биофизикам, физиологам и неврологам, аспирантам и студентам старших курсов соответствующих учебных заведений.
ВВ Е Д Е Н ИЕ
Впроцессе взаимодействия организма с окружающей средой существенную роль играет регуляция различных функций, начи ная от тех, которые кажутся простыми, например регуляция импульсной активности нервной клетки, и кончая гораздо более сложными, такими, как поведение человека в социальной среде.
Задача |
физиолога состоит не |
только |
в получении |
фактических |
|
данных о |
работе биологических |
систем |
регулирования, но |
также |
|
в построении стройных концепций об |
организации |
этих |
систем. |
||
При построении подобных концепций, по-видимому, могут ока заться полезными математические методы, которые, к сожалению, еще мало используются в биологических и медицинских исследо ваниях. Одной из причии подобной ситуации является плохая осведомленность физиологов о возможностях современной матема тики для построения теоретических концепций о механизмах организации физиологических систем. Чаще всего физиологи ограничиваются использованием математики только для статисти ческой обработки результатов своих исследований.
Биология является широким полем для использования и совершенствования математических методов. Поэтому вполне оправданным представляется систематическое изложение как математических методов, которые, по мнению авторов, могут быть использованы при исследовании регуляторных функций нервной системы, так и сведений об этих функциях (первый и второй раз делы настоящей книги).
При этом рассматриваются как концептуальные модели, так и аналитические. Особенно ценной для физиолога является такая модель, которая позволяет наметить пути дальнейших экспери ментальных исследований и оценить их результаты. Однако при использовании этих моделей нельзя забывать образного высказы вания Клода Бернара:> «Предвзятые идеи необходимы, без них нельзя было бы работать. Необходимо только уметь вовремя от казаться от них, когда они начинают противоречить фактам».
5
Раздел первый
МА Т Е М А Т И Ч Е С К ИЕ М Е Т О Д Ы
ВИССЛЕДОВАНИИ С Л О Ж Н Ы Х СИСТЕМ
Глава 1-0
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Математические методы исследования сложных систем, которые могут быть использованы при создании модельных представлений о регуляторных функциях нервной системы, базируются на ряде понятий, некоторые из которых приведены ниже.
Дифференциальным уравнением с частными производными ?г-порядка называется уравнение
F{x1... |
хп, |
Q |
0Q |
3Q |
|
дх+ |
дх |
|
|||
|
|
|
1 |
п |
|
- f t - - - - »1*1, |
v[Q]) |
= 0, |
(1-0-1) |
||
содержащее по меньшей мере одну частную производную /г-по- рядка от функции Q ... хп) нескольких независимых переменменных. Решением уравнения является функция Q (хг, ... хп), удовлетворяющая этому уравнению в некоторой области точек {хг, ... хп). Обыкновенным дифференциальным уравнением по рядка п называется уравнение
F (t, X (t), X' (t), ... an (t), и (t)) = 0, |
(1-0-2) |
связывающее независимую переменную t, искомую функцию х (t) и
ее производные х' (t), ... £(u) (t). Решение |
дифференциального |
уравнения состоит в отыскании функций х |
(t), удовлетворяющих |
этому уравнению при всех значениях х в интервале [а, Ь]. |
|
Общее решение этого уравнения имеет |
вид х = х (t, с х . . . с п ) , |
где сг ... сп — произвольные постоянные. Нелинейное обыкновен
ное дифференциальное уравнение в форме, |
разрешенной относи |
тельно производной, записывается как |
|
•Щ- =f(x,u,t). |
(1-0-3) |
6
Линейное |
дифференциальное |
уравнение |
имеет вид |
|
= |
ап (t) a**-» (t) + ... |
+а0 (t) X (t) |
+ Ъ (І) и. |
(1-0-4) |
Система линейных дифференциальных уравнений |
записывается |
|
в виде |
п |
|
% п ) |
= S аИ (О 4 ° + h (9 щ. |
(1-0-5) |
В векторно-матричной форме система линейных дифференци альных уравнений имеет вид
X = A (t) X + В (t) U, |
(1-0-6) |
где X — гс-мерный вектор; U — /и-мерный вектор; А — матрица порядка п X л; В — матрицы порядка п X m (в случае (1-0-5) m = 1).
Решение системы (1-0-6) пр формуле Коши имеет вид
|
т |
|
|
X (Т) == | х (0) Ф (Т, 0) + |
Ф (Т, 0) J ф-і (т, 0) S |
(t) W t ) , |
(1-0-7) |
|
о |
|
|
здесь X (0) — начальное |
значение векторной |
функции |
X (t); |
Ф (Тх 0) — фундаментальная матрица решений системы X = АХ с начальным условием X (0) = I; I — единичная матрица.
Одной из распространенных форм записей линейных диффе ренциальных уравнений в задачах управления является
2ai(t)xV!> |
= '2bi(t)uV>, |
* |
(1-0-8) |
і =0 |
3=0 |
|
|
которая с помощью несложных |
преобразований |
может быть при |
|
ведена к (1-0-6). |
|
|
|
Частным случаем уравнения 1-0-8 являются линейные диффе |
|||
ренциальные уравнения с постоянными коэффициентами, |
которые |
||
в форме, разрешенной относительно высшей производной, имеют вид
71—1 |
m |
|
z ( n ) = S M |
0 + S bjuV>. |
(1-0-9) |
i=0 |
. 3=0 |
|
С помощью приведенных обыкновенных линейных дифферен циальных уравнений описываются процессы в непрерывных линей ных системах, являіощиесянепрерывнымифункциямивремениз;(г). Однако в приложениях распространены системы, в которых процессы являются функциями дискретного времени. Динамика подобных систем описывается дифференциально-разностными урав-
7
нештяміг, которые в общем виде записываются как
F (tk, xk, x k i l ... xk+n, ик) = О
(1-0-10)
(к = 0, ± 1 , ± 2 ... п = 1, 2 ... ) .
Эти уравнения связывают значения хк = х (t,{) = х (t0 + к M) функции X — X (t) на дискретном множестве зиачешш t = tk =
— t0 + kAt, где à.t — фиксированное приращение (в качестве иезависимой переменной удобно ввести к = — - . Решением
дифференциально-разностного уравнения является такая функ ция X (t), что последовательность а:Л. удовлетворяет уравнению для некоторой области значений к.
Линейное дифференциально-разностное уравнение (по аналогии
с 1-0-4) имеет вид |
|
|
хып = а-п-і [к] |
+ . . . + я.0 [Щ хк + Ь [к\ ик. |
(1-0-11) |
В векторпо-матричной форме система линейных дифференциальноразностных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
Хк+1 = АХк |
+ Вик. |
(1-0-12) |
Решение подобной системы может быть представлено как |
||
fc-i |
|
|
Хк = А*Х0 + 2 |
A^BUh. |
(1-0-13) |
/1=0 |
|
|
Приведенные выше дифференциальные уравнения представляют |
||
собой довольно широкий класс математических моделей управляе
мых систем. |
Для обыкновенных |
дифференциальных уравнений |
|||
функция X (t) |
характеризует |
регулируемую |
величину, |
функция |
|
и U) — управление (соответственно |
функция |
Q (%, ... хи) |
харак |
||
теризует регулируемую величину, а и [х] и V [Q (х)] характеризуют |
|||||
управления для уравнений |
в частных производных). |
Поэтому |
|||
одна из первых проблем, возникающих при аналитическом иссле довании регулируемых систем, состоит в создании конкретной мо дели и в оценке ее соответствия реальности — в идентификации системы.
Поведение системы можно рассматривать в фазовом простран стве состояний Q (X), в котором хх ... хп являются координатами. Изменение состояния системы характеризуется траекторией точ ки X {х^ ... хп) в этом пространстве.
Часто при исследовании динамики управляемых, систем тре буется получить не просто решение (траекторию) при конкретных значениях граничных условий, а оптимальное решение. При этом вводится критерий оптимальности, т. е. некий функционал, эк стремум которого соответствует оптимальному (наилучшему в оп ределенном смысле) состоянию системы. В результате .решения