ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
11 |
первый взгляд может показаться, что в падающем пучке будет поглощена только частота, в точности равная <и0, так как ыо— собственная частота колебаний осцилляторов. Однако «свобод ные» колебания на собственной частоте соо — лишь одно из трех зависящих от времени явлений, действующих на классические осцилляторы. Другие два процесса следующие:
а. Если падающее излучение непрерывно, т. е. присутствуют все частоты, то осциллятор приводится в колебания любой из частот, на которую он откликается.
б. Колебания осциллятора являются затухающими. Без па дающего излучения, возбуждающего его колебания, энергия осциллятора постепенно бы убывала, так как он непрерывно излучает электромагнитные волны.
Ключом к пониманию естественной ширины линии является концепция затухающего гармонического осциллятора, т. е.
осциллятора, гармонические колебания которого экспонен
циально затухают со временем (если нет |
подкачки энергии от |
падающего излучения). |
|
Рассмотрим теперь заряд, совершающий гармонические ко |
|
лебания в направлении у с частотой со: |
|
у = у0ехр (Ш). |
(1.1.3) |
Произведение амплитуды смещения электрона относительно протона у на заряд е является дипольным моментом конфигу рации (зависящим от времени). Согласно классической теории излучения, ускоренный заряд е излучает при этом энергию, меняющуюся со временем по закону
dW |
2 е2 тх |
(1.1.4) |
|
|
|
Мы не будем останавливаться |
на выводе уравнения (1.1.4), |
|
но так как представление о скорости расхода энергии ускорен ным зарядом существенно для понимания нашей задачи, ука жем несколько ссылок, где можно найти вывод уравнения [53; 102, § 9.2; 127]. _
Средний квадрат ускорения у2 гармонического осциллятора,
описываемого уравнением (1.1.3), оказывается равным |
|
у2 = (— а2у0еш )2 = а4у2/2, |
(1.1.5) |
где взято среднее по времени от
cos2 at = [Re (eitöf)]2.
Сумму кинетической и потенциальной энергий осциллятора W также можно выразить через уо. Полная энергия равна кине тической энергии осциллятора в точке у = 0, т. е. при соt = л/2.
12 ГЛАВА I
Следовательно, |
|
|
|
|
W — та>2уЦ2. |
(1.1.6) |
|||
Комбинируя уравнения (1.1.4) — (1.1.6) и исключая уо, |
получим |
|||
_ dW_ __ 2_ е2а>2 1Г/ |
(1-1-7) |
|||
dt |
|
3 тс3 |
||
Поэтому |
W0exp(—yt), |
( 1. 1.8) |
||
W(t) = |
||||
где |
__ 2 |
е2(02 |
|
|
|
(1.1.9) |
|||
^ |
3 |
/ис3 |
||
|
||||
называется классической постоянной затухания, a |
W0— по |
|||
стоянная интегрирования. |
|
|
|
|
Спросим теперь: какова частотная зависимость осцилля тора с резонансной частотой ©о, который теряет энергию со скоростью lF ~ e x p (—-\()? Ответ на этот вопрос содержится в теории анализа Фурье. Мы дадим другой метод получения частотной зависимости в разд. 1.2. Но поскольку анализ Фурье позволяет получить ответ быстрее, начнем с этого метода.
Уравнение (1.1.6) показывает, что энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. Следо вательно, эта амплитуда будет спадать как ехр(—уt/2). Рас
смотрим затухающий гармонический осциллятор, |
приведенный |
|||
в движение в момент t = 0. Для него имеем |
|
|
|
|
f ifoexp(/ü>oOexp(— yf/2) при |
f > |
0, |
|
|
УК) 1.0 |
при |
t < |
0. |
11ЛЛ°) |
Частотная зависимость |
дается преобразованием |
Фурье |
|
|
|
+ 00 |
|
|
|
У(©) = |
J у {t) exp (— Ш) dt. |
|
|
(1.1.11) |
Частотная зависимость для излученной энергии, т. е. выходной мощности Р(©), определяется соотношением
Р ( . ) - Г ( . ) У М = | . . ^ + № . |
(1.1.12) |
Р (ю )— хорошо известная дисперсионная функция, называе мая также профилем или контуром Лоренца. Дисперсионная функция имеет максимум при со — ©о, который уже или шире в зависимости от того, меньше или больше постоянная зату хания у. Таким образом, из классической теории излучения следует, что слабое затухание приводит к меньшей ширине
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ в л и н и и ІЗ
линии, чем сильное. Мы также видим, что затухающий осцил лятор способен поглощать в целой области частот, составляю щей «естественную ширину» линии.
На рис. 1.1.3 представлен контур Лоренца с полной полу шириной у. Часто требуется проинтегрировать Л(со) (1.1.12)
Рис. 1.1.3. Контур Лоренца (1.1.12) с полной шириной у по половине максимума.
по всем частотам от ■—оо до + °°- Этот интеграл имеет элемен тарный вид. Произведя замену Асо = со — соо, получим
+ 00 |
+00 |
1 Р (Асо) d Асо = у\ у arctg(2Ao)/Y) |
= Уо2я/Ѵ- (1.1.13) |
1.2. КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ в л и н и и
На рис. 1.1.1 показано ослабление интенсивности светового пучка по мере его прохождения через слой, содержащий осцил ляторы. Мы объяснили физически, что энергия, отнятая у падаю щего пучка, так рассеивается (диспергирует) дипольными по лями осциллятора, что большая часть ее теряется и падающий пучок ослабляется. Мы можем описать это ослабление светового пучка, вводя комплексный коэффициент преломления в диспер гирующей среде.
Если n = dv — коэффициент преломления вещества, с — скорость света в вакууме, а ѵ — скорость света в рассматри ваемом веществе, то ѵ = ®/k = ѵХ, и уравнение ( 1.1.1) можно переписать следующим образом:
8 = 8°ехр гео |
— (jj = ^ °ехР |
{—■---- |
(1.2.1) |
|||
Если п может быть комплексным, то нужно заменить п на |
||||||
п — п-\-іп'. Уравнение |
(1.2.1) |
тогда принимает вид |
|
|||
8 = 8°ех р |
m |
пх |
— і |
Г |
п' |
( 1.2 .2) |
с |
ехр [------ |
|||||
Амплитуда гармонических колебаний, описываемых уравне нием (1.2.2), уменьшается как ехр [—п'ах/с]. Замечая, что
14 |
I |
ГЛАВА I |
интенсивность излучения пропорциональна (среднему по вре мени) квадрату амплитуды электрического и/или магнитного полей, делаем вывод, что наличие мнимой части в комплекс ном показателе преломления приводит к спаду интенсивности, пропорциональному ехр[—2п'&х/с]. С точки зрения наблюда теля, который может видеть только излучение, идущее в на
правлении |
падающего пучка, некоторое |
количество |
первона |
|||
|
|
А |
|
чальной энергии поглотилось средой. Оп- |
||
|
|
Ч41 |
ределим коэффициент поглощения соот- |
|||
|
|
/ |
ношением |
2и'ю/с. |
(1.2.3) |
|
|
|
|
|
х = |
||
|
|
|
|
Интенсивность излучения в слое можно |
||
|
|
|
|
представить в функции х: |
|
|
|
|
|
|
I = /о ехр (— нх), |
(1.2.4) |
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
Рис. 1.2.1. Заряжающий |
dl = |
— /к dx. |
(1.2.5) |
|||
ся конденсатор. Поверх |
/° — интенсивность излучения, падающего |
|||||
ность |
S расположена |
|||||
между |
двумя |
пластина |
на слой. |
|
|
|
ми. |
dl — элемент конту |
Если мы сумеем найти выражение |
||||
ра, |
ограничивающего эту |
для мнимой части п' коэффициента пре |
||||
|
поверхность. |
ломления в поглощающей среде, то смо- |
||||
|
|
|
|
|||
жвхм получить и выражение для коэффи циента поглощения х. Коэффициент преломления можно вывести из классической теории электричества и магнетизма.
Запишем уравнения Максвелла в гауссовой системе еди
ниц (СГС): |
|
|
|
|
|
V X B = |
-tt(4 » J + 4 K ) |
(й); V • D = |
4яр |
(в); |
|
|
|
|
V • В = |
0 |
(1.2.6) |
ѴХ Е = |
- Т 1 ІГ |
^ |
(г). |
||
|
|
|
|||
(Список обозначений приводится в конце книги.)
Цель большинства вводных курсов электричества и магне тизма — показать, что разнообразные электрические явления можно описать как частные случаи этих соотношений. Тогда целесообразно постулировать систему уравнений и выводить их математические следствия.
Кратко рассмотрим одну ситуацию, которая требует введе ния вектора электрической индукции D, так как понимание физического смысла этой величины существенно для класси ческой теории поглощения. На рис. 1.2.1 мы изобразили заря жающийся конденсатор. По обе стороны от него по провод
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ в л и н и и |
15 |
нику течет ток плотности J, но ток не может пройти через кон денсатор.
Рассмотрим поверхность S, перпендикулярную проводнику и параллельную пластинам конденсатора, и используем инте гральную форму уравнения ( 1.2.6, а):
J В •<*!=-£ J (4nJ + - ~ ) d S |
(1.2.7) |
(теорема Стокса), где d\ — элемент длины, а d S — элемент по верхности.
Поскольку на этой поверхности J = 0, то при отбрасывании ÖD/dt получим
J В • (/1 = 0.
Существование магнитного поля около заряжающегося конден сатора привело Максвелла к введению дополнительного члена. Ток возникает из-за того, что на заряды действует электриче ское поле 8. В заряжающемся конденсаторе ток проводимости течь не может, но под действием поля связанные положитель ные и отрицательные заряды будут смещены пропорционально Е, поэтому запишем
D = еЕ, |
(1.2.8) |
где коэффициентом пропорциональности является диэлектри ческая постоянная е.
Электрическую индукцию D можно также представить суммой электрического вектора Е и члена, содержащего сме щенные заряды. Если расстояние между положительными и от рицательными зарядами у, то они образуют диполь с электриче ским дипольным моментом еу. Если имеется N таких диполей
на единицу объема, то можно записать в одномерном |
случае |
D = 8 + 4nNey. |
(1.2.9) |
В рационализированной системе единиц МКС множитель 4л отсутствует.
Для среды без тока проводимости (J = 0) уравнение рас пространения электромагнитных волн выводится очень просто. Запишем электрическую индукцию D как произведение ди электрической постоянной е на напряженность электрического поля 8 и исключим В из уравнений (1.2.6, а и б). Если в рас сматриваемом веществе нет свободных зарядов (наши осцил ляторы являются связанными зарядами), то получаем волно вое уравнение
Ѵ2Е — |
Ц8 д1Е |
0. |
( 1.2. 10) |
|
dt2 |
|
|