ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
20 |
ГЛАВА t |
электрических полей <§?(ѵг), колеблющихся с частотами ѵ,, от личающимися на 5ѵ. Плотность энергии в единичном интервале частот должна равняться
TS?£ К м Г
і=і
иѵ (1.3.3)
ябѵ
Сохраняя п постоянным, устремим бѵ к бесконечно малой dv. Мы знаем, что излучение абсолютно черного тела непрерывно, поэтому
|
і=і |
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
||
|
uv d v ^ ~ { ^ y f . |
|
(1.3.4) |
||
Используем уравнение (1.3.4) для исключения |
из |
||||
(1.3.1). Поскольку иѵ меняется незначительно |
в интервале ча |
||||
|
■т |
стот порядка у/4л, его можно вынести |
|||
|
из-под знака интеграла, и после эле |
||||
|
|
ментарного интегрирования |
с учетом |
||
hi> |
(1.1.9) получим |
|
|
||
uv = 8nv2kT/c3. |
(1.3.5) |
||||
|
|
||||
|
|
Это так называемый |
закон |
Рэлея — |
|
|
|
Джинса. Он не согласуется ни с опы |
|||
Рис. 1.3.1. |
Два энергети |
тами, ни со здравым смыслом, так как |
|||
ческих |
уровня. |
предсказывает бесконечную |
плотность |
||
|
|
энергии для излучения на самых высо |
|||
ких частотах. Правда, на низких частотах закон Рэлея—Джинса согласуется с наблюдениями.
Точное выражение для плотности энергии излучения абсо лютно черного тела было выведено Планком в 1900 г. Мы вы ведем формулу Планка методом Эйнштейна [48, 49].
Рассмотрим два элементарных |
состояния п и т атома, по |
|
мещенного в полость с температурой Т. |
Атом может перейти |
|
из состояния пг в состояние п (рис. |
1.3.1), |
излучив на частоте ѵ, |
удовлетворяющей соотношению |
|
|
hv = %m — Хп, |
(1.3.6) |
|
где h — постоянная Планка, а %т и %п — энергии возбуждения состояний т и п . Эйнштейн обосновывал это соотношение (1.3.6), исходя из теории Бора [17] для атома водорода и его излучения.
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
21 |
Следуя Эйнштейну, предположим, что если в 1 см3 имеется Nm атомов в состоянии т, то для числа спонтанных переходов в 1 с на нижний уровень можно записать
NmAmn. (1.3.7)
Эйнштейн сравнил свою постулированную вероятность пере хода с аналогичной величиной, описывающей радиоактивный распад.
При наличии излучения с частотой ѵ атом может также перейти из состояния п в состояние т с поглощением кванта световой энергии. Если плотность энергии излучения равна иѵ> то число таких переходов вверх за 1 с в 1 см3 составит
NnBnmUv, |
(1.3.8) |
где Впт— вероятность перехода вверх из состояния |
п в со |
стояние т за 1 с в единичном интервале плотности энергии. Эйнштейн отметил, что в случае классического осциллятора взаимодействие поля излучения с осциллятором может приво дить не только к поглощению энергии осциллятором, но и к возвращению ее полю. Поэтому был введен третий коэффициент вероятности. Число переходов вниз из т в п в 1 см3 за 1 с, вызванное полем излучения, записывается в виде NmBmnuv. Ве личина Втп называется эйнштейновским коэффициентом вероят ности вынужденного излучения (или отрицательного поглоще ния). В полости, в которой вещество и излучение пришли в равновесие, общее число переходов вниз должно быть равно числу переходов вверх, т. е.
NщАтп “Ь NтВтпЦу == NnBnmuv. |
(1.3.9) |
Если бы это соотношение не выполнялось, то можно было бы создать избыток или недостаток излучения на частоте ѵ = = (%т— %n)/h, что противоречило бы эксперименту.
Насколько нам известно, нет строгого доказательства прин ципа детального равновесия, который утверждает, что в термо динамическом равновесии каждый элементарный процесс точно уравновешен соответствующим обратным процессом. Конечно, можно представить себе вид атомов или сочетания их, в кото рых избыток излучения, вызванный отсутствием равновесия из лучения для перехода от m к п, компенсируется другим пере ходом от т' к п'. Но если заселенности состояний т, п, т' и п' определяются формулой Больцмана, то нужно представить себе очень специальный процесс, скажем столкновения, благодаря ко торому заселенности атомных состояний поддерживаются в рав новесии. Однако трудно сказать, как такие условия могли бы
привести к |
универсальному закону излучения, не зависящему |
от состава |
вещества, с которым излучение взаимодействует. |
22 ГЛАВА I
Уравнение (1.3.9) приводит к выражению
________ Атп!Втп_____ |
(1.3.10) |
|
ѵ ~ (NnB nrn/NmBmn) - 1 ' |
||
|
Обычно при выводе соотношений между коэффициентами ве роятности Эйнштейна, входящими в уравнение (1.3.10), тре буют, чтобы в левой части этого уравнения стояло уже извест ное выражение для плотности энергии абсолютно черного тела. Здесь же мы, следуя Эйнштейну, получим одновременно и фор мулу Планка, и соотношения между коэффициентами вероятно стей, сделав следующие допущения:
1. Выражение для иѵ должно быть лишь функцией темпера
туры |
и не 'зависит от химического состава вещества. |
|
форму |
2. |
Отношение заселенностей состояний п и т дается |
||
лой Больцмана |
|
|
|
|
Nm/Nn = {gm/gn)exp{ — (%т—Xn)/kT], |
■ |
(1.3.11) |
где gm и gn — статические веса состояний т и п, а k — постоян ная Больцмана (гл. 3).
3. |
В пределе при А .-> оо, или ѵ->0, |
полученное выражение |
должно перейти в классический закон Рэлея — Джинса *) |
||
|
uv = 8nkTv2/cz. |
(1.3.12) |
Поскольку формула Планка может считаться квантовоме ханической, мы замечаем, что невозможно использовать кванто вую механику без обращения к классической механике (Ландау и Лифшиц [102]). И при выводе соотношений для коэффициента Эйнштейна мы также обращаемся к классической механике, де лая предположение (3).
Исходя из приведенных выше допущений и уравнения
(1.3.10), легко получить |
|
|
ёпВат |
§тВщп> |
(1.3.13) |
Атп = |
^ ^ В тп. |
(1.3.14) |
Стоит отметить, что если в (1.3.9) используется удельная интен сивность **) (ср. разд. 2.2), а не плотность энергии (ср. [2]), то получатся другие соотношения между Атп и Втп.
*) Первоначально Эйнштейн обращался к закону смещения Вина. Нам кажется, что закон Рэлея — Джинса имеет определенные преимущества.
**) ^Есть два способа определения коэффициента Эйнштейна 4, исходя из удельной интенсивности, и оба общеупотребительны, так что читателю нужно быть внимательным, чтобы заметить, какое определение использует автор.
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
23 |
Уравнение (1.3.10) теперь обращается в
8я/гѵ3 |
1 |
|
(1.3.15) |
|
== ~ c r ~ |
exp (hv/kT) - |
1 ’ |
||
|
т. е .мы получили закон Планка.
1.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЭЙНШТЕЙНОВСКИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ ПЕРЕХОДОВ
И СИЛАМИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ fntn
Когда свет интенсивности / ѵ проходит сквозь слой вещества толщиной dx, интенсивность уменьшается, согласно (1.2.5), на величину
dlv = — Klydx. |
(1-4.1) |
Если мы рассматриваем слой как совокупность атомов, находя щихся в состоянии іі и способных поглощать излучение интен сивности / ѵ, то мы должны считать, что поглощенная энергия израсходована на переход атомов из состояния п в некоторое более высокое состояние т. Коэффициент поглощения х и про порциональная ему сила осциллятора f должны быть тесно свя заны с коэффициентом Эйнштейна Впт.
Коэффициент поглощения х сильно зависит от частоты, и впредь мы будем подчеркивать эту сильную частотную зависи мость записью Хщ (или хѵ, или хх). Подставив N - > N nfnm в урав нение (1.2.24), получим
Aü)2+Y(y/2)2 • |
(1-4.2) |
Соотношение (1.4.2) показывает, что излучение на частоте соо должно поглощаться значительно сильнее, чем на несколько от личающихся частотах. С другой же стороны, выражение uvBnmNn для полного числа актов поглощений в 1 см3 за 1 с слабо зави сит от частоты V. Ясно поэтому, что нужно найти соотношение
между коэффициентом Эйнштейна Впт и проинтегрированным по частоте коэффициентом поглощения хи.
Часто бывает желательно выразить коэффициент поглоще ния в функции длины волны, а не частоты. Такую формулу можно получить из формулы (1.4.2) заменой
I Ли 1= АЛсооДо = 2яс ЛЯДо-
Тогда получаем *)
яе2 |
yN nfn |
|
(1.4.3) |
|
тс |
4я 2с2:/я ; |
|
||
А |
0 |
|||
|
ЛЛ2 + |
|||
|
|
2 |
2пс |
*) Заметьте, чтохѵ, х и хл имеют в системе СГС размерность см*1,
24 ГЛАВА I
Входящая в формулу для классической постоянной затухания величина со равна собственной частоте осциллятора соо. Мы не писали ©о в уравнениях (1.1.3) и (1.1.9), так как хотели под черкнуть, что колебания осциллятора не происходят точно на
частоте сооДля |
всех частот |
со = |
соо ± |
Асо, на которых имеет |
место заметное |
поглощение, |
со « |
со0 > |
Асо, поэтому в формуле |
(1.4.3) мы записали Х0 = 2яс/соо.
Формула для интегрального коэффициента поглощения есть
+00 |
|
|
J X, dM = (пе2/тс2) l 0Nnfnm2 |
= 8,85 • КГІЗА02Л упт, |
(1.4.4) |
— со
где Л-о берется в сантиметрах. Если вместо длины волны взять частоту V, то получим
+ 0«
j %v dv — {ne2/mc)Nnfnm. |
(1.4.5) |
—СО
Рассмотрим теперь параллельный пучок света с плотностью энергии иѵ, падающий в направлении х. Поток излучения в
эрг/(см2-с) 'в интервале частот от |
ѵ до ѵ + dv, или в (v, dv), |
равен |
(1.4.6) |
cuv dv. |
Когда свет проходит расстояние dx в слое вещества с коэффи циентом поглощения хѵ, количество энергии, поглощенное за 1 с в элементарном объеме dV = 1 cM2-dx в интервале (v, dv),
равно
сиѵкѵ dv dx.
Полная поглощенная энергия равна интегралу от этого выраже ния по всем частотам ѵ. На таком малом интервале частот, как естественная ширина линии поглощения, функция wv практиче ски постоянна. Таким образом, полная энергия, поглощенная за 1 с в объеме dV, равна
(ne2/mc)Nnfnmcuv dx. |
(1.4.7) |
Она также должнаравняться энергии, поглощенной, согласно теории Эйнштейна, переходами от п к т при наличии излучения с плотностью энергии иѵ. Происходит NnBnmuv переходов в 1 см3 за 1 с, и при каждом переходе поглощается энергия hv. Следо вательно, для элементарного объема dV
(ne2lmc)Nnfnmcuv dx = NaBnmuvhv dx, |
(1.4.8) |
откуда |
|
fпт = (mhvlne2)Bnm- |
(1.4.9) |